Limiti di funzioni - Dimostrazioni teoremi spiegate

LIMITI DI FUNZIONI DA ℝ IN ℝ

Teorema di Unicità del Limite

Sia f: D → ℝ una funzione, x₀ ∈ ℝ̅ un punto di accumulazione per D e l₁, l₂ ∈ ℝ.

Se l₁ e l₂ sono limiti di f(x) per x → x₀, allora l₁ = l₂.

Fatto importante:

Se esiste lim_x→x₀ f(x) = l, allora l è unicamente determinato.

Dimostrazione:

Siano l₁, l₂ ∈ ℝ. E.C.

l₁ = lim_x→x₀ f(x)    l₂ = lim_x→x₀ f(x)

e supponiamo per assurdo che l₁ ≠ l₂.

Per la proprietà di separazione di ℝ esistono V₁ intorno di l₁ e V₂ intorno di l₂ tali che:

V₁ ∩ V₂ = ∅.

Per la definizione di limite, sappiamo che:

• ∀V₁ intorno di l₁ ∃U₁ intorno di x₀ t.c. ∀x∈D, x≠x₀, x∈U₁ ⇒ f(x)∈V₁
• ∀V₂ intorno di l₂ ∃U₂ intorno di x₀ t.c. ∀x∈D, x≠x₀, x∈U₂ ⇒ f(x)∈V₂

Per le proprietà degli intorni sappiamo che

esiste un intorno ^* di _* t.c. ^* ⊆ _* ∩ _*.

Allora, per definizione di punto di accumulazione,

∃^* ∈ _*, ^* ≠ _* t.c. ^* ∈ ^*

Quindi, sfruttando le due definizioni di limite sopra

scr (e c) abbiamo con temporaneamente

^* ∈ ^* ⇒ ^*(^*) ∈ ^*

^* ∈ _* ⇒ ^*(^*) ∈ _*

Ovvero che ^* ∈ ^* ∩ _* = ⊘

→ assurdo

Ne deduciamo, dunque, che ^* = _* □

Teorema dei due carabinieri

Siano f, g, h: D → ℝ e x₀ ∈ ℝ di accumulazione per D.

Supponiamo che:

• f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) definitivamente per x → x₀,
• lim _{x → x0} f(x) = lim _{x → x0} h(x) = l ∈ ℝ.

Allora, anche lim _{x → x0} g(x) esiste ed è uguale a l.

Dimostrazione

Supponiamo che valga f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ D. Per definizione di limite, affinché g(x) abbia limite per x → x₀ = l, per ogni intorno V di l dobbiamo trovare U intorno di x₀ t.c. ∀x ∈ D, x ≠ x₀ ⇒ g(x) ∈ V.

Sia U₀ un intorno di x₀ t.c. ∀x ∈ D, x ≠ x₀:

x ∈ U₀ ⇒ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Fissato V intorno di l qualsiasi:

• U₁ intorno di l t.c. ∀x ∈ D, x ≠ x₀ e x ∈ U₁ ⇒ f(x) ∈ V
• U₂ intorno di l t.c. ∀x ∈ D, x ≠ x₀ e x ∈ U₂ ⇒ h(x) ∈ V

Per le proprietà degli intorni, prendiamo U = U₁ ∩ U₀ ∩ U₂

Allora U ⊆ U₀.

∀x ∈ D, x ≠ x₀, x ∈ U ⇒

V ⊇ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∈ V

U ⊆ U₁, U ⊆ U₂

Siccome V è un intervallo, per definizione di intervallo (∀a,b ∈ I t.c. a ≤ b, ∀x a ≤ b ⇒ x ∈ I), g(x) ∈ V.