Teoremi sui limiti, continuità e derivabilità

Unicità del limite:

IP: lim_x→c g(x) = l e lim_x→c g(x) = m g(x): A

TESI: l = m

DIM: l ≠ m (per assurdo)

lim_x→c g(x) = a ∀V intorno di a ∃ un U intorno di c tale che se x ∈ A∩U-{c} ⇒ g(x) ∈ V

lim_x→c g(x) = l

V₁ =]l-ε, l+ε[ ⇒ ∃ V₁ intorno di l

V₂ intorno di m → V₂ =]m-ε, l+ε[

V₁∩V₂ = ∅

∀V₁ intorno di l ∃U₁ intorno di c tale che ∀x:

x ∈ A∩U₁-{c} ⇒ g(x) ∈ V₁

∀V₂ intorno di l ∃U₂ intorno di c tale che ∀x:

x ∈ A∩U₂-{c} ⇒ g(x) ∈ V₂

le g(x) appartiene ad entrambi ⇒ ✕ FALSO

Permanenza del segno

Ip: lim_x→c f(x) = l > 0    f(x): A

Tesi: ∃U intorno di c in cui f(x) ha lo stesso segno del limite (non in c)

Dim: lim_x→c f(x) = l    ⇒ ∀V intorno di l (V =] l−ε, l+ε [) esiste V intorno di c tale che ∀x ∈ A∩V ⇒ f(x) ∈ V

          ⇒ l−ε < f(x) < l+ε

Primo teorema del confronto

Ip: f, g, h: A→R    c ∈ A oppure    c esterno di A.

∃U₀ intorno di c tale che ∀x ∈ A∩U₀−{c} e f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

∃ lim_x→c g(x) = lim_x→c h(x) = l ∈ R

Tesi: lim_x→c g(x) = l

Dim: ∀ε>0 ∃U₁ intorno di c, ∀x (x ∈ A∩U₁−{c}) ⇒ l−ε ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ l+ε

∀ε>0 ∃U₂ intorno di c, ∀x (x ∈ A∩U₂−{c}) ⇒ l−ε ≤ h(x) ≤ l+ε

Sia U = U₀ ∩ U₁ ∩ U₂    => l−ε ≤ g(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ l+ε

Teorema di Rolle

Ip:

• f: [a,b] → ℝ
• f(x) è continua in [a,b]
• f(x) è derivabile in ]a,b[
• f(a) = f(b)

Tesi:

∃c ∈ ]a,b[, f'(c) = 0 (PUNTO STAZIONARIO)

Dim:

Per Weierstrass ∃ p, q ∈ [a,b], f(p) ≤ f(x) ≤ f(q) ∀x ∈ [a,b]

1. Se ALMENO uno dei due punti (ad esempio p) è INTERNO all'intervallo [a,b] ( {p,q} ⊄ {a,b} )
   • per FERMAT f'(p) = 0 (se p è un estremo)
2. Se p e q coincidono con a e b ( {p, q} ⊆ {a, b} )
   • f(x) è COSTANTE ⟺ f(p) = f(q) (f(a) = f(b))

La derivata di una costante = 0

Teorema di Lagrange

Ip:

• f: [a,b] → ℝ
• f(x) è continua in [a,b]
• f(x) è derivabile in ]a,b[

h(a) = h(b)   ⇒   ∃c ∈ ]a, b[   tale   che   h(c) = 0

h'(x) = g'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[g(b) - g(a)]

h'(c) = g'(c)[g(b) - g(a)] - g'(c)[g(b) - g(a)]

⇓

^g'(c)/_g'(c) = ^{g(b) - g(a)}/_{g(b) - g(a)}