Teoremi Analisi 1

LIM SUCC. REGOLARI

SIA (2m) _m∈N UNA SUCC. DI NUMERI REALI

f: m∈N -> 2m∈R

E SIA 2∈R

DICIAMO CHE 2 È IL LIMITE DELLA SUCC. 2m O CHE 2m CONVERGE AD 2 O CHE 2m TENDE AD 2 E SCRIVIAMO:

lim_m->∞ 2m = 2 <_def> ∀ε>0 ∃V: |2m-2|<ε ∀m>V

Teorema Unicità Limite

Una successione convergente non può avere 2 limiti distinti, afferma che il limite se esiste è unico.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che la succ. 2_m abbia 2 limiti distinti cioè:

lim_m→∞ 2_m = 2

e

lim_m→∞ 2_m = b con a≠b

Vače per entrambi la definizione:

1. lim_m→∞ 2_m = 2 se per ogni (∀ε>0) esiste un indice n tale che |2_m−2|<ε ∀m>n
2. lim_m→∞ 2_m = b ∀ε>0 ∃n2 : |2_m−b|<ε ∀m>n2

CHE È VERA PER M+1 OVVERO PER IL

SUO SUCCESSORE:

(1+x)^m+1 =

(1+x)^m(1+x) =

(1+mx)(1+x) =

ESSENDO CHE QUESTO

È SICURO IL GRANDE

ALLORA (1+x)² MAGGIORE

È QUESTO

≥ 1+ x + mx = 1

+ (m+1)x

QUINDI

(1+x)^m+1

≥ x (m+1) +1

ABBIAMO DIMOSTRATO CHE SE PM È VERA

È VERA ANCHE PM+1 E QUINDI È VERA

PER ∀ M ∈ ℕ (TUTTI I NUMERI NATURALI)

Teorema dei Carabinieri

Siano 2m, bm e cm successioni di numeri reali tali che:

2m ≤ cm ≤ bm ∀n ∈ N

E il limite delle successioni 2m e bm converge a 2

lim_n→∞ 2m = lim_n→∞ bm = 2

Allora anche il limite della succ. di cn converge ab 2.

lim_n→∞ cn = 2

Dimostrazione:

Per ipotesi per ogni ε > 0 esiste

Teo. Regolarità Succ. Mono

Una succ. monotona ha sempre un limite finito o infinito (regolare).

N.B. Una succ. è detta monotona se per ogni suo termine a_m è sempre > o < al successivo termine a_m+1.

Se è > o min. è detta strettamente monotona.

Dimostrazione:

Per dimostrare il teorema analizzo 2 casi. Nel 1° la succ. monotona è limitata mentre nel 2° è illimitata.

1° Ipotesi

Ho una succ. mon. limitata e crescente fissato un ε>0 esiste un valore V tale che ∀m>V si ha:

l-ε < 2V ≤ 2m ≤ l < l+ε

Limite di Funzioni

Siano dati una funzione f:X→ℝ definita su un sottoinsieme X della retta reale ℝ, e un punto di accu. x₀ ∈ X. Un numero reale L è il limite di f(x) per x tendente a x₀ se fissato arbitrariamente un valore ε della distanza fra f(x) e L, si riesce a trovare un valore δ della distanza tra X ed x₀ tale per tutti gli x escluso che distano da x₀ meno di δ, si ha che f(x) dista da L - ε.

Si ha lim f(x) = L se e soltanto

Se, qualunque sia ε > 0, esista un numero δ > 0 in modo che L - ε < f(x) < L + ε∀ x ∈ A - {x₀} tale che X₀ - δ ≤ x ≤ X₀ + δ

DIMOSTRAZIONE:

SUPPONIAMO CHE f(x) → l PER x → x₀

ALLORA:

∀ε > 0 ∃δ : |f(x) - l| < ε ∀ x ε A

E CHE IL VALORE ASSOCIATO è:

0 < |x - x₀| < δ

• SIA POI x_m ε A - {x₀} UNA SUCC. CONVERGENTE A x₀. DALLA DEF. DI LIM DI SUCC. SI HA:

∃ν > 0 : |x_m - x₀| < δ   ∀m > v

QUINDI IL VALORE ASS. è:

0 < |x_m - x₀| < δ

TEOR. di WEIERSTRASS

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b].Allora f(x) assume massimo e minimo in [a, b], cioè esistono in [a, b] x₁ e x₂ tali che:

f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂)

Inoltre x₁ e x₂ sono detti punti di minimo e di massimo.

f(x₁) = min f(x)f(x₂) = max f(x)

Dimostrazione:

Sia M = sup f([a, b]), proveremo che ∃x₀ ∈ [a, b] tale che f(x₀) = M

In primo luogo dimostriamo che esiste una succ:

Avremo che:

b₁ - 2₁ = (b-2)₂ e f(2₁) < 0

fissiamo la stessa cosa sul intervallo [2₁, b₁]

c₁ = 2₁ + b₁₂

Se f(c₁) = 0 il teorema è dimostrato

Se f(c₁) ≠ 0 definiamo

[2₁, b₂] = { [2₁, c₁] se f(c₁) > 0

[c₁, b₁] se f(c₁) < 0

evidentemente

quindi:

2 ≤ 2₁ ≤ 2₂ ⊂ b₂ ≤ b₁ ≤ b

b₂ - 2₂ = b-2_(2)²

f(a₂) < 0

f(b₂) > 0

Crit. Continuità f. Monoto.

Una funzione f(x) monotona in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è anche una funzione continua se e solo se l'immagine della funzione Im(f) comprende ogni valore tra gli estremi f(a) e f(b). Im(f) = { f(a), ..., f(b) }

Dimostrazione:

La funzione f(x) è monotona ossia è crescente o decrescente nell'intervallo chiuso [2,b].

Se la funzione è continua:

• Tutti i valori della funzione sono compresi tra f(2) e f(b)

• Se è crescente: f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)
• Se è decrescente: f(b) ≤ f(x) ≤ f(2)

In entrambi i casi, secondo il teorema di esistenza dei valori intermedi, la f. ammette tutti i valori intermedi tra gli estremi f(a) e f(b)