Teoremi Analisi 1

Limite di una successione

Sia (2m)_men una successione di numeri reali: f: men -> 2m ∈ RE. Sia 2 ∈ R. Diciamo che 2 è il limite della successione 2m o che 2m converge a 2 o che 2m tende a 2 e scriviamo: lim 2m = 2 _m->∞ <-> ∀ε>0 ∃V: |2m-2|<ε ∀m>V.

Sia (2m)_{m ∈ N} una successione di numeri reali: N → 2m ∈ RE. Sia 2 ∈ R. Diciamo che 2 è il limite della successione 2m o che 2m converge a 2 o che 2m tende a 2 e scriviamo: lim_{m → ∞} 2m = 2 <_def> ∀ε > 0 ∃∀: |2m - 2| < ε ∀m > v.

Teorema di unicità del limite

Una successione convergente non può avere due limiti distinti, afferma che il limite se esiste è unico.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che la successione 2n_m abbia due limiti distinti, cioè: lim_m->+∞ 2n_m = a e lim_m->+∞ 2n_m = b con a ≠ b. Vale per entrambi la definizione:

1. lim_m->+∞ 2n_m = a se per ogni (∀ε>0) esiste un indice tale che |2n_m-a| < ε ∀m>n
2. lim_m->+∞ 2n_m = b ∀ε>0 ∃r₂ : |2n_m-b| < ε ∀m>r₂

Fissiamo che ε = |2-b| / 2 > 0 e otteniamo che:

• ∃v₁ = |2m-2| < ε = |2-b| / 2 ∀m > v₁
• ∃v₂ = |2m-b| < ε = |2-b| / 2 ∀m > v₂

Ponendo v = max (v₁, v₂) le relazioni scritte valgono contemporaneamente e si ha utilizzando la disuguaglianza triangolare |x₁+x₂| ≤ |x₁| + |x₂|. Da cui: |2-b| = |2-2m| + |2m-b| ≤ |2m-2| + |2m-b| < 2ε. Da cui |2-b| < |2-b| che è assurdo.

Principio di induzione

Il principio di induzione, detto anche procedimento intuitivo, è una tecnica di dimostrazione che consente di dimostrare la validità di una tesi. Non è necessario partire da 0; spesso una proposizione è vera per un certo numero naturale k in poi; per esempio la proposizione:

La somma degli angoli interni è significativa per n ≥ 3. È ovvio che il primo numero naturale per cui dimostrare che la proprietà è vera per k = 3, ossia: è vera per tutti i numeri naturali n ≥ 3. Il Principio di Induzione si può così porre:

1. Se una proposizione P è vera per k, e se tutte le volte che P è vera per k è vera anche per k + 1, allora P è vera per tutti i numeri naturali…

Disuguaglianza di Bernoulli

La disuguaglianza di Bernoulli può essere dimostrata attraverso il principio di induzione. Essa afferma che una potenza è sempre più grande di una funzione lineare. Afferma quindi che fissando un qualunque n. reale x maggiore uguale di -1 vale la seguente disuguaglianza:

In termini matematici ∀x ∈ R, x ≥ -1 e ∀n ∈ N risulta:

Dimostrazione

Tale disuguaglianza è vera per m = 1. ^(1+x)_m ≥ 1 + mx → (1+x)₁ ≥ 1 + 1x = 1 + x ≥ 1 + x.

Quindi supposta vera per m dimostriamo che è vera per m+1 ovvero per il suo successore: (1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) = (1+mx)(1+x). Essendo che questo è sicuramente più grande di questo allora possiamo riscrivere così come un prodotto 1+x+mx+mx². Quindi (1+x)^m+1 ≥ x(m+1)+1 1+x+mx ≥ 1+(m+1)x.

Abbiamo dimostrato che se Pm è vera è vera anche Pm+1 e quindi è vera per ∀m ∈ (Tutti i numeri naturali).

Successioni estratte

Una successione estratta 2m_k è composta soltanto da alcuni indici m_k di una successione 2m. Esempio: ho una successione 2m: 2m = 2₁, 2₂, 2₃, 2₄, ..., estraggo da questa successione soltanto i termini con indice pari: m_k = 2k. 2m_k = 2₂, 2₄, ... la successione 2m_k è una successione estratta da 2m.

Dimostrazione

Sia 2m una successione regolare. Allora ogni estratta 2m_k di 2m è regolare. Quindi 1c: lim 2n = 2n→∞ lim 2m_k = 2k→∞. Per ogni 2m_k estratta da 2m. Se m_k è una successione di interi strettamente crescente, si verifica con il principio di induzione che: m_k ≥ k. Essendo m_k+1 > m_k risulta anche m_k+1.