Teoremi Analisi matematica 1

A

di accumulazione

A-IR E per

Xo

: .

.

f(x le

= Xo

X = f(x xA

S

50 1

&

20 Xo

X

2 - :

- - - ,

Pa

Simostrazione sfx

X8

-8 X-X

E E

0 o

2 a

:

: X -

= . -

. . 3

-

--

Supp Fixn

Se de f(x

Xn-4o ↑

O

Xn Eu In Xo

: -

. M

Sia

21 Xn Xo

Xn

Xo = .

, &" fx)

fXn

Simostro 1 E

Xn-to

issoe :

.

: e A

X f(x

Im -do

f(x S

· 0X

- X

:

o

o

+

= - .

XXfx

· as

=

im -

XXo Fix

no 100

=

no IEIR

f(x) =

di Weizstrass

enzema

F 14 compatto di R

: , fammette Fix-fix fix Ve

Xnxel

min .

max :

F continua . ,

in

Simostrazione erifichiamo maxf

K -Xnek f

SYPF

SYPf too

+ x

o :

- ne m

=

- 2 fixm

Supf -1

Xe1

-ne

too :

suo.

costruito elementi

di di f(x

,

-o una x +oo

=

fXn

compatt

oprietà dei

· toe i e

k

u max

2 .

-

KEuofXnx F X

= Derivate

relativi

locali

assimi o

e

inimi

F 4

(R

b

a a

: Tot ,

-

.

Definizione relativo xeIXo

FX-FXo

di

dice b

I 1

: Xo - a

to si minimo : ,

di

dice relativo xeIxo

FX-FXo b

I 1

:

To si massimo Xo - a

: ,

assoluto

Se relativo

pto anche

perfi

di è

è Xo

sservazione max

max

xo .

.

Se relativo

pto anche

perfi

assoluto

di min.

è

min

è Xo

xo .

di -ermat

cozema estremo locale

di

IR

Siafi ab ad

fot

. .

f(x

che detivabile

Supp f Xo

sia 0

in =

.

Dimostrazione relativo

Supp Xo min

.

& 0Sko

foth-fx =

h -Sha

-

T f(x

+xoth)

perm fx

segno o

. . - = f(x)

T 0

=

Foth-fX F

O-18 Xo

= sufficiente

Il -ermat il

solo

da

di

Teorema vale

condizione cioe viceversa

necessaria

una non

non ,

di Rolle

eszema

Fi continua derivabile fa f) if c

I ab ab

ad

ab ce 0

in

in =

=

, ,

Dimostrazione minf=a waxf

- =

, fio

costante

f

entrambi

assunti dell'intervallo

estremi

agli

Se al

sono in

mi m = Interno

pto

assunto fa

ermati

di di

due all'interno dove

Se dei al

è ab

se

per o max

min o

uno = .

, .

f

l importante detivabile a,b

: supporre sia in

di

cozema agrange Fib)-flo

f if c

continua

Sia dezivabile b

ab ab

R ab -ce

in a

: in =

i

,

, b 0

-

Simostrazione fixi-fib-fla d

(x-a

gia in Xe a ,

P a

-

continua Rolle

detivabile ob

ad

ge in

in ab

-Ce gc 0

, : =

g) fa

fa

ga =

=

= f(G

fc

jc 0

= =

-

Alcune di Lagrange

conseguenze

funzioni monotone

Caratterizzazione

ab continua

Sia fi derivabile a,b

a,b in

in ,

farescente b

f'(x

a.

Sia 0 x

in a

-

. ,

decrescente

f b

f'(x

a.

Sia 0 x

in a

-

. ,

Simostrazione Ecrescente

Supp b

6 Not

2

in a

. . .

fx fXo &

-

X Xo

- f(xo f(x

- fx -b

=

seu 0

-

p x

- -

.

· ↑

X Xo

-

ab

ano -CE

.

e Xi Xz

,

Legangefic

Fxz -fX fX

fxz

&

. -

Xz X

- costo

funzion

-oratezzatore

e b

x a

-

0

=

e se

ateizzatore

funtost. Can sottointervallo ab

nessun

l'Hopita

De

di

essema derivabili

funzioni

fig

Siano Xo X + o

a

in -

Supp :

- +X y -9x 0

=

= =

2gX 0 X

XE a

= - ,

,

f'x

Im

3 - 9 x

-

x x

+

Dimostrazione Supp XoelR

.

Prolungo continuità fig f(x g(Xz

Xo

per in = Hp

perché 15 * -E .

9X g 0

g per

0 2

:

se

0

0m xo : =

= =

- .

Sia

↓ Xn XnE

Xo Xo

D ,

che e

Jero verificate

Tisso Xn :

Saendo et -9. te continua

inf decivabile

+ f Meto

g Anita

in tanto in

,

ho Rolle

0 h

= En X 0

- :

x =

+

h(x 0

= G

=

fX

fi ve

+

h'(t + g

gx -

=

L'En f' f(x)

En

En 9xn - 0

= =

Se t i -

= 1

! =

=I Hopital

Im Applicando No

: De l Es

-sent invece

= :

X +

1 o X COSX

+

- di

di

armula .

aylor ord

fi IR derivabile

Suppo b volte a,b

mi

a in

, , dezivabile

volte to

in

n

* dove

Fx el

= di di ordin

ayla

polomo

o Xx

+ to

X ex

to

fX in

Peand

Resto di di

noltre l'unico quale vale

il

grado al

polinomio più

e pez

f y n

Dimostrazione Pez nduzione

fatto

nei Fatto

n 2

=

Supp ( per

vezo n -1

.

dezivabile Vale

-f *

1-1

nez V conn-

V Xo

in

, . ,

E n

Suppo volte derivabile

derivabile

volte ab

1-1

Xo

in in

,

Fx-Pi F

* o

=

Xov

x -

=

PfX K

Taylz

di

zmula agrange

Ex-fx f'cX

fx

=f'c fx -(x

+ x x

C

= - =

. .

Xo

x - di

ormula Taybz volte

F desivabile Resto

ab di Lagrange

.

n

in ,

fix

tea

ab )v

5 Stx

X toex X x

= - ,

!

n

Per di Laghange

n conema

=

Dimostrazione fissati

Siano Xoix .

Fx Prf()

costante

Chamo la (x-xoru

*

: +

per cui =

fl

Levo dimostrate che -g : =

Definisco :

gt Payft /u

ft I

-

= -

-

gx) 0

= Pf

f(xo)

gk )

g(x) 0 otkzn

0 + 1

-

=

-

= = -

f(t)

git !

n

-

=

Rolle Tra

g(x

gx) (X

g 1

0 0

XeX

X

· : =

=

= .

Applico pti

Rolle

· Xo

gi nei e

X

a . tra

g'(x) g'(x g"(x

) 0

Xa

0 :

e

X Xo

0 =

= =

,

, .

gl/glorzo il

· 0

=

· giu Gui 0

Xn Xn

: =

Fr(x)

F"

gu'(x) ! 3

(xn)

o 1 xn

= = =

= - !

1

fixi- (-Xo

Enk e

erzoe

sservazione = K !

finte S + 1

n

X To

= -

1

+

n

umezo e

zazionale -abe a

e

e non : = b

Simostrazione che be D

Supp a

p a ! e =

,

. . . G

e

+

ex E aylor

1 + agrange

con

+

x

= + +

- - - e

j intir

---+ i

2

e 1 1 + + +

= +

+

st ↑

ovi-e 3

e3 0

E

- grande

. n abb

I per u

= -

n + 1

intero

e

! grande

scelgo abb

ve n n

= . intero

19

neb) e

differenza interi

di izzazionale

e è Integrazione

IR2

Peano-Jordan

di

isura in

d S ad

b

mk c

-

= -

S b

D

= plairettangolo

2 Un

V

. --- interni

rettangoli punti

due

Ri due di

privi

a in

a comune

=

mp R

ACIXIR limitato

A

, G

suplap cas

plunettangolo

p

/A too

mi ,

SUZD

mi

interna di A A

za)

infamip pluzzettangolo

↑

A

de = ,

miSVIQ

esterna A

di ni(A Met

- misurabile

Definizione P

dice

A secondo d A

% Mila-meA

: ma

si misura

.. =

Se P

Proprietà misurabili

A Az secondo .

J

i, .

A A

A VA A

A

misurabile misurabile

è è

, . a

,

. . . ,

MA UAz mAz

MA +

2 . ,

-

. Se disgiunti

A A

ma Az

A VAz +

sono m a

=

, .

.. . punti coordinata zazionale

misurabili Si

? Sia

- insiemi non a

. coordinate

punti zazionali

Sia

piana

A a non

= -

(A Mela)

0 1

mi = =

Proprietà Alimitato BRA

Più Pl PEA

misurabile secondo phezetangoli mp-miP

è : e

.

ntegrale Riemann

di Definito

F Imitata

↓ R

a

: . "dazortiki---iteb3

di

Una partizione ad 6

è af

insieme + +

un =

. . .

In b

D

= Integrale

SP Inferiore

diffx Somma

- Xi-1 Xi

,

·

I

=Vi

SP Somma

supf Integrale Superiore

-X- =

: Xi X :

-1 ,

ipschitzione ipschitz

- unzioni

Fil lipschitzionanti -texax-xxet

dice Fx-fx

le D

si :

↑* rapporto

i incrementale limitato

L è

-

Proposizione fe

limitata falso

Il

l

f dezivabile derivata in hip

Se Il : è

viceversa

con

: .

Legge fig

Fx/-fx

Simostrazione Spifx

(x-x

. x

-

-

Proposizione Sef fe

I continua

uniformemente ni

hip.

e in

Santoz

Heine

Cozema Fe uniformemente continua

continua

Il

Jef ab a,b

in

: f uniformemente

Dimostrazione continuo a.b

è

pa non in

. Exs-fxg

jeab Xg-xy5

-80Xg do

Esp : / :

-

Peso Sei f(x fxi)E

1

:

4

:

: 14. 4 4 -

-

. .

f(xz

1x2 -

% f(x)

x

S 12

= -2 : - .

. 2 f(x

fxy

S XX ,

XX Es

↑ : -

= 3 fxn fxi)

-15 , Es

Xi ↑

1 1

:

-Xn x -

= -

. -

M

1

costruito due

to b b

XXi

:

successioni XoE 0-

a x1k

-

, .

fa-fixin1

Ti Xi E & Es

e

To u

↑

fixel continuo

fixol

perkesto

ipschitzione ipschitz

- unzioni

Fil lipschitzionanti -texax-xxet

dice Fx-fx

le D

si :

↑* rapporto

i incrementale limitato

L è

-

Proposizione fe

limitata falso