Teoremi di Analisi 1

Lemma della progressione geometrica

a_k = 9^k - progressione geometrica

∑_k=0^m q^k = q^m+1, q ≠ 1

q = 1

&frac{1 - q^m+1}{1-q} q ≠ 1

Dimostrazione:

per q = 1: ∑_k=0^m 1^k = 1 + 1 + q + q² +...+ q^m - 1 + 1 + 1 + 1...

= m + 1

per q ≠ 1: ∑_k=0^m q^k = 1 + q + q² +... q^m+1

q/9 ∑_k=0^m q^k = q + q² + q³ ...+q^m q^m+1

∑_k=0^m q^k - q ∑_k=0^m q^k = 1 - q^m+1

∑_k=0^m q^k - q^m+1 = (1 - q)^-1m_k=0q^k = (1 - q^m+1)

= ^m_k=0q^k =

∑_k=0^m q^k = &frac{1 - q^m+1}{1-q}

Teorema (unicità del limite)

Ipotesi: Assumiamo che {an} sia una successione convergente

Tesi: allora il suo limite è unico

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che a_n → l₁, a_n → l₂ con l₁ ≠ l₂

∀ε > 0 ∃ m₁(ε) ∈ ℕ t.c. │a_n - l₁│ < ε ∀n ≥ m₁

∀ε > 0 ∃ m₂(ε) ∈ ℕ t.c. │a_n - l₂│ < ε ∀n ≥ m₂

Scelgo ε = &frac{|l₁ - l₂|}{3}

Definisco n₀(ε) = max (m₁(ε), m₂(ε))

quindi 0 < |l₁ - l₂| = |l₁ - a_n0 + a_{n0 - l2}| ≤

|a_n0 - l₁| + |a _n0 - l₂| < 2ε =

2|l₁ - l₂|_/3

∴ |l₁ - l₂| < &frac{2}{3}|l₁ - l₂| <=> 1 < &frac{2}{3}

= ASSURDO

Teorema dei carabinieri

Supponiamo che {a_n}, {b_n}, {c_n} siano tre successioni t.c. a_n ≤ b_n ≤ c_n definitivamente (n ≥ n̄)Se a_n, c_n → l ∈ R allora b_n → l

Dimostrazione

∀ε > 0 ∃n₁∈ℕ t.c. l-ε < a_n < l+ε ∀n ≥ n₁∀ε > 0 ∃n₂∈ℕ t.c. l-ε < c_n < l+ε ∀n ≥ n₂Sia p.m.e. (ε) = max (n₁, n₂, n̄) allora :∀n > p.m.o. si ha: l-ε < a_n ≤ b_n ≤ c_n < l+ε ⇔l-ε < b_n < l+ε cioè b_n → l

Corollario (del teorema dei carabinieri)

Se {a_n²} è infinitesima e {b_n} è limitata, allora a_n·b_n → 0

Dimostrazione

Se {b_n} è limitata significa che ∃ M > 0 t.c. |b_n| ≤ M.Allora : 0 ≤ |a_nb_n| = |a_n||b_n| ≤ M|a_n| → 0Dal teorema dei carabinieri segue che → |a_nb_n| → 0

Teorema (condizione necessaria per la convergenza di una serie)

Sia {a_k}⊆R una successione assegnata. Se Σa_k convergeallora il termine generale tende a zero (a_k → 0)

Σa_k converge ⇔ a_n → 0

Dimostrazione

Per ipotesi S_m = ^m∑_k=1 a_k → S ∈ R , inoltre :S_m = S_m-1 + a_n → a_n = S_m – S_m-1 → S - S = 0

Derivabilità implica continuità

Sia \( f(a,b) \to \mathbb{R} \) derivabile in \( x_0 \in (a,b) \)allora \( f \) è continua in \( x_0 \).

Dimostrazione:Per ipotesi \( \exists \) finito \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \).

Poiché: \( x \to x_0 \), il denominatore \( \to 0 \), quindil'unica possibilità affinché il limite esistafinito è che anche il numeratore tenda a 0.Quindi devo imporre che \( f(x) - f(x_0) \to 0 \).

\( \lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0 \). Adesso posso portare\( f(x_0) \) fuori dal limite perché esso è un numero,ottenendo così: \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).

Teorema di Fermat

Sia \( f(a,b) \to \mathbb{R} \) derivabile in \( x_0 \in (a,b) \)Se \( x_0 \) è un punto di estremo locale per \( f \)

Allora \( f'(x_0) = 0 \)

Dimostrazione:Supponiamo \( x_0 \) punto di massimo localePer ipotesi \( \exists \) finito

\( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0 = f'(x_0) \leq 0 \)

\( f(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0 \to f'(x_0) \geq 0 \)

\( \Rightarrow f'(x_0) = 0 \)

Poiché avevamo supposto chein \( x_0 \) la funzione si eguagliava, diconseguenza il limite destro e sinistrodovranno coincidere

Teorema (di struttura delle soluzioni dell'equazione completa)

Data l'equazione differenziale espressa della seguente forma:

[a_n(x)y⁽ⁿ⁾(x) + a_n-1(x)y^(n-1)(x) + ... + a₁(x)y'(x) + a_n(x)y(x) = f(x)]

Ossiamo per comodità L(y(x)) la parte di dentro le parentesi quadre mentre “(eF)” tutta l'equazione differenziale. Tutte e sole le soluzioni di (eF) sono della forma:

y(x) = y₀(x) + y_p(x)

dove y₀(x) è soluzione di L(y(x)) = 0 e y_p è una soluzione particolare di (eF).

Dimostrazione:

1. y₀ soluzione di L(y(x)) = 0 e y_p soluzione di (eF) => y = y₀ + y_p è soluzione di (eF). Infatti L(y) = L(y₀ + y_p) = L(y₀) + L(y_p) = f(x)
2. Se y_p e y_p sono soluzioni di (eF) allora y_p - y_p è soluzione di L(y(x)) = 0

Infatti L(y_p - y_p) = L(y_p) - L(y_p) = f - f = 0

=> y_p - y_p è soluzione di L(y(x)) ossia è una y₀ => y_p - y_p = y₀

Equazioni lineare del I ordine (formula risolutiva)

Data l'equazione differenziale lineare del I ordine:

y'(x) + a(x)y(x) = f(x) con a,f <C⁰(I) allora

Y(x) = y₀(x) + y_p(x) = c (y₀(x) + y_p(x)) dove y₀(x) è una soluzione non nulla dell'equazione omogena associata e y_p è una soluzione particolare della completa. Y(x) può essere espresso mediante la seguente formula:

Y(x) = Ce^-∫a(x)dx + e^-∫a(x)dx∫e^∫a(x)dx f(x) dx