Teorema del confronto per successioni convergenti e divergenti e Teorema di Bolzano Weierstrass

1 Teorema del confronto per successioni convergenti

Siano (a_n), (b_n) e (e_n) tre successioni reali tali che

a_n ≤ b_n ≤ e_n

Supponiamo inoltre che:

lim_n→∞ a_n = l = lim_n→∞ e_n

Allora

lim_n→∞ b_n = l

⇒ Teorema dei carabinieri

Dimostrazione

Ipotesi sia a_n e_n convergano ad "l". Per def. di limiti e succ. conv., fissato un ε>0 ∃ n₁ ∈ N

|a_n - l| < ε ⇔ ∀ n>n₁ ⇔ l - ε < a_n < l + ε

|e_n - l| < ε ⇔ ∀ n>n₂ ⇔ l - ε < e_n < l + ε

Definito N = max (n₁, n₂) allora per n > N si ha che

l - ε < a_n ≤ b_n ≤ e_n < l + ε

Da questa catena di disuguaglianze si ha che

L - ε _bm < L + ε ∀ m ≥ m₀ ⇒ |bm - L| < ε

per definizione allora

lim _m→∞ bm = l

- Teorema del confronto per successioni divergenti

Siano (am)n e (bm)n due successioni per cui

am ≤ bm ∀ m ∈ ℕ

allora:

1. Se lim _m→∞ am = +∞ ⇒ lim _m→∞ bm = +∞
2. Se lim _m→∞ am = -∞ ⇒ lim _m→∞ bm = -∞

Dimostrazione

Andiamo a dimostrare la Tesi, 1). Per ipotesi il

lim _m→∞ am = α

allora

∀ ε > 0 ∃ m₀ ∈ ℝ : ∀ m > m₀ am > M

Sempre per ipotesi am ≤ bm

In generale dato un intervallo I_k [a_k, b_k] e

c_k = ^{a_k + b_k}/₂

[a_k, c_k] [c_k, b_k]

Insomma

a_k+1 = a_k b_k = c_k

Otteniamo così I_k+1 [a_k+1, b_k+1] la cui amp.

b_k+1 - a_k+1 = c_k - a_k+1 = ^{a_k + b_k}/₂ - a_k+1 =

^{b₀ - a₀}/_2^k+1

Abbiamo quindi una sequenza di intervalli I_k e successivi a_k e b_k per cui

a_k ≤ a_k+1 e b_k ≤ b_k+1

per faccio il limite di

    lim a_k = a

k→∞

    lim b_k = b

k→∞