Teorema del confronto per successioni convergenti e divergenti e Teorema di Bolzano Weierstrass

Teorema del confronto per successioni convergenti

Siano (a_n)_n, (b_n)_n e (e_n)_n tre successioni tali che a_n ≤ b_n ≤ e_n. Supponiamo inoltre che:

lim_n→∞ a_n = l = lim_n→∞ e_n

Allora:

lim_n→∞ b_n = l

Ipotesi

Sia a_n che e_n convergono ad "l". Per definizione di limiti di successioni convergenti, fissato un ε > 0, esistono m₁ e m₂ appartenenti a ℕ tali che:

• |a_n - l| < ε ⇔ ∀n>m₁ ⇒ l-ε < a_n < l+ε
• |e_n - l| < ε ∀n>m₂ ⇒ l-ε < e_n < l+ε

Definito N = max (m₁, m₂), allora per n>N si ha che:

l-ε < a_n ≤ b_n ≤ e_n < l+ε

Teorema del confronto per successioni divergenti

Siano (a_n)_n e (b_n)_n due successioni per cui a_n ≤ b_n ∀n∈ℕ, allora:

• Se lim_n→∞ a_n = +∞ ⇒ lim_n→∞ b_n = +∞
• Se lim_n→∞ a_n = -∞ ⇒ lim_n→∞ b_n = -∞

Dimostrazione

Andiamo a dimostrare la tesi, 1). Per ipotesi il lim_n→∞ a_n = +∞, allora ∀M ∃ m₀ ∈ ℕ tale che ∀n ≥ m₀ a_n≥M. Sempre per ipotesi:

a_n ≤ b_n ⇒ M ≤ a_n ≤ b_n

Da questa catena di disuguaglianze si evince che lim_n→∞ b_n = +∞

Corollario senza dimostrazione sul limite del prodotto

Tra una successione limitata ed una infinitesima, sia (a_n)_n successione limitata e (b_n)_n successione infinitesima, allora:

lim_n→∞ a_n b_n = 0

Teorema di Bolzano Weierstrass

Se (x_n)_n è una successione di numeri reali e se essa è limitata, allora esiste una sottosuccessione (x_nk)_k convergente.

Dalla definizione di successione limitata, significa che esistono due numeri reali (a₀ e b₀ ∈ ℝ) tali che:

a₀ < x_n < b₀ ∀n ∈ ℕ

Questo significa che tutti i termini della successione x_n appartengono all'intervallo I₀ = [a₀, b₀]. Chiamiamo il punto medio di tale intervallo:

e₀ = (a₀ + b₀) / 2

Otteniamo così due sotto intervalli del tipo [a₀, e₀] e [e₀, b₀]. Almeno uno dei due intervalli racchiude un’infinità di termini della successione (x_n)_n. Possiamo supporre che tale intervallo sia [a₀, e₀], per cui:

a₁ = a₀, b₁ = e₀

Costruiamo un intervallo del tipo I₁ = [a₁, b₁] la cui ampiezza sia:

b₁ - a₁ = e₀ - a₀ = \(\frac{b₀ + a₀}{2}\) - a₀ = \(\frac{b₀ - a₀}{2}\)

Ripetiamo il processo e consideriamo il punto medio e₁:

e₁ = \(\frac{a₁ + b₁}{2}\)

Dividendo l'intervallo I₁ in [a₁, e₁] e [e₁, b₁], in uno di essi ricadranno gli infiniti termini di (x_n), supponiamo che sia [a₁, e₁]. Poniamo allora:

a₂ = a₁, b₂ = e₁

Costruiamo un intervallo del tipo I₂ = [a₂, b₂] ampiezza:

b₂ - a₂ = e₁ - a₁ = \(\frac{a₁ + b₁}{2}\) - a₁ = \(\frac{b₁ - a₁}{2}\) = \(\frac{b₀ - a₀}{2}²

In generale, dato un intervallo I_k = [a_k, b_k]:

e_k = \(\frac{a_k + b_k}{2}\)

[a_k, e_k] e [e_k, b_k]

Allora:

a_k+1 = a_k, b_k+1 = e_k

Otteniamo così I_k+1 = [a_k+1, b_k+1] la cui ampiezza:

b_k+1 - a_k+1 = e_k - a_k+1 = \(\frac{a_k + b_k - a_k}{2}\) = \(\frac{b₀ - a₀/_2^k+1

Abbiamo quindi una sequenza di intervalli I_k e successioni (a_k)_k e (b_k)_k per cui:

• a_k ≤ a_k+1 e b_k ≤ b_k+1

Facendo il limite:

lim_k→∞ a_k = a e lim_k→∞ b_k = b

Successioni monotone emergenti. Limiti