Teorema degli zeri

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo

Teorema degli zeri

Con questo teorema ci andiamo ad assicurare, laddove esista, che all'interno dell'intervallo di una funzione del tipo y=f(x), esista almeno un punto x tale che la funzione stessa si annulli.

Enunciato

Consideriamo una funzione f: R → R, e sia l'intervallo [a,b] un sottodominio del Dom(f) (ovviamente l'intervallo deve essere chiuso e limitato). Supponiamo che inoltre f sia una funzione continua in tale intervallo e che agli estremi essa assuma valori di segno opposto tale che:

f(a)*f(b) < 0

Allora f ammetterà almeno uno zero all'interno dell'intervallo [a,b], ovvero esiste almeno un punto, che chiameremo x, tale che f(x) = 0.

Dimostrazione

Per dimostrare questo teorema ci serviremo di un punto, che chiameremo x_M, che sarà il punto intermedio dell'intervallo [a,b]. Supponiamo sempre che f(a) < 0 e che f(b) > 0, per metterci nelle condizioni che il teorema stesso prevede. Fatto questo possiamo avere tre casi:

• f(x_M) = 0: Abbiamo risolto e siamo arrivati all'asserto.
• f(x_M) < 0: Per cui f(b) > 0.
• f(x_M) > 0: Per cui f(a) < 0.

Il primo caso è quello che verifica immediatamente il teorema, ma per la dimostrazione ci serviremo del secondo e terzo caso!

Proseguiamo con una reiterazione, costruendo una serie di intervalli inscatolati cioè: [a,b]=I₀ I₁ I₂ … I_n