Teorema di Bolzano Weierstrass

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il teorema ha 2 enunciati differenti ma il concetto è equivalente.

1. Ogni insieme E ⊂ ℝ limitato e infinito (cioè con infiniti punti) ha almeno un punto di accumulazione.
2. Ogni successione reale limitata possiede almeno una sottosuccessione (o successione estratta) convergente.

Dimostrazione del teorema n° 1

Dim.

Dato che l'insieme E è limitato, esisteranno e e b tali che E ⊂ [e, b]. Se E si divide in 2 intervalli di uguali dimensioni \[ \left[e, \frac{e+b}{2}\right], \left[\frac{e+b}{2}, b\right] \] in almeno uno dei 2 intervalli vi saranno infiniti punti di E. Otteniamo tale intervallo (per esempio, \[\left[e_1, b_1\right] = \left[e, \frac{e_1+b_1}{2}\right], \left[\frac{e_1+b_1}{2}, e_1\right]\], \[\left[e_2, b_2\right]\]) e ripetiamo l'operazione precedente, cioè li dividiamo ancora in 2 parti uguali, ottenendo così altri intervalli \[ \left[e_1, \frac{e_1+b_1}{2}\right], \left[\frac{e_1+b_1}{2}, b_1\right] \], come prima uno dei due deve contenere infiniti punti di E. Supponiamo che sia il primo, lo rinominiamo e lo chiamiamo \[\left[e_2, b_2\right]\] esercitiamo nuovamente tale operazione, ottenendo così degli intervalli: \[\left[e_3, b_3\right], \left[e_4, b_4\right], \left[e_5, b_5\right], \ldots\] ognuno contentuto nel precedente e lungo la metà di questo, in ciascuno dei quali cadono infiniti punti di E.

Per rendere meglio l'idea, sono costruiti così:

• a_1
• a_2
• a_3
• a_4
• b_1
• b_2
• b_3
• b_4

Allora consideriamo i n estremi costruiti così: