Tecnica delle Costruzioni - Travi di fondazione

Argomento fondazioni

Introduzione

Le fondazioni sono travi, realizzate con CLS, la cui sezione trasversale risulta fatta così: su di essa poggiano poi i pilastri dell'edificio che, visti in sezione longitudinale, sono fatti così: trave su suolo _{alla Winkler (elast)}. La fondazione viene così schematizzata: si suppone cioè comportamento elastico (rappresentato dalle molle) tra fondazione e terreno.

Azioni fondazione-terreno

Cioè la pressione che la fondazione esercita sul terreno: σ_n = K · N. σ_n = compressione (esercitata dai carichi) N = N(z) allassam., deformazione. K = Costante di sottofondo (o di Winkler) K = [F/_L³] = 1 ÷ 10 Kgf/cm³ = 0.01 ÷ 1 N/mm³. N(z) è esprimibile con equazione.

Note: Ed è il parametro che ci interessa determinare. RICORDIAMO CHE: χ = -N'' dove: χ = M/ES M' = T; T' = -q; Il problema è la forma ed il valore di questo carico q che la fondazione esercita sul terreno. Possiamo dire che: q(z) = q_ext - q_fond.

Dettagli su q_fond

Dove: q_fond = PESO FONDAZ q_fond = σ_n x BB = impronta fondazione ORA, σ_n x B = K · n r(z) x B. Chiamiamo β = K x B, q_fond = β n r(z) q(z) = q_ext - n r(z) β. NOTO q, possiamo determinare r(z) con le equazioni appena viste: M'' = -q; M_z = -E S n r''(z) (E S n r''(z))'' = q E S = COST. E S n r^IV = q - q_ext - β n r(z) n r^IV + ^β/_{E S} n r = ^q_ext/_{E S} SE q_ext = 0, L'EQU. E' OMOGENEA.

Soluzione delle equazioni

ADESSO LA SOLUZIONE DIVENTA: N^ = N^_GEN + N^_PART. FACCIAMO UN'IPOTESI: q ^E' AL PIÙ UN POLINOMIO DI 3^o GRADO. OVVERO: q_ext = ⁿΣ_i=0 a_iz_i n ≤ 3 IN QUESTO CASO: N^_PART = ^q⁄_β = ⁿΣ_i=0 a_iz_i⁄_β SE q FOSSE ADDIRITTURA LINEARE (n ≤ 1), IL TERRENO SI ABBASSA SECONDO IL CARICO E LA QUESTIONE ^E' MOLTO SEMPLICE: q_ext = q_o E ^q_o⁄_β = N^_PART.

LA SOLUZIONEE DELL'^OMOGENEA, INVECE, VALE: N^^IV_GEN + ^β⁄_E3 N^_GEN = 0 α⁴ = β/4 E₃ N^IV_gen + α⁴ N_gen = 0 N(z)_gen = A e^αz cos(αz) + B e^−αz sin(αz) + C e^αz cos(αz) + D e^αz sin(αz).

Condizioni al contorno

Condizioni al contorno (2 per ogni estremo): N′φ = N′′ M = − E₃ N′′ T = − E₃ N′′′ z = 0, z = ℓ. Questa soluzione in seno e coseno è complessa! Esiste un modo per calcolarla in modo più semplice?

Parentesi: risoluzione di una struttura semi-infinita

Vediamo come risolvere una struttura semi-infinita: supponiamo che la trave sia semi-infinita: ORA, PER z=∞, DEV'ESSERE C₂=0. ALTRIMENTI L'ESPONENTE CHE È ELEVATO A+∞ VA ALL'INFINITO, E NON PUÒ ESSERE! DUNQUE: n'·e^-az(A₁cos(αz)+B₁sen(αz)) ANDIAMO AVANTI: ψ(z) = n'(z) = e^-αz(A₁cos(αz)+B₁sen(αz)).

M_L = ES(-n''(z)) = e^-αz(A₂cos(αz)+B₂sen(αz)) T = e^-αz(A₃cos(αz) + B₃sen(αz)). Dunque: F(z) = e^-αz f(z) dove f(z) è una funzione periodica. Ora, se f(z) = f(z + πλ). λ = _2π/^α lunghezza d'onda.

Ovvero: F(_z̄ + λ) = e^{-α(_z̄ + λ)} f(_z̄ + λ). Ovvero: e^-α_z̄/e^-αλ f(_z̄) = F(_z̄) e^-αλ. Dove: e^-αλ = e^-2π ≈ 0.0019 < ₁/⁵⁰⁰.

Conclusione

Ogni volta la deformata si abbatte di almeno 500 volte ad ogni onda. A che cosa ci serve questo risultato? Perché, anche se la trave non è infinitamente lunga, possiamo considerarla come tale. (O per lo meno, possiamo usare questi risultati per la trave reale.) Ovvero, la soluzione per la trave semi-infinita è tabulata nei vecchi testi secondo due casi: ↓ P                   ε         M (Dunque anche       P       M).

Esempio

• Caso reale           A           B
• I)       A           B
• II')       A           B           μ₁
• II'')           A          B

Gli applico, cambiate di segno, le sollecitazioni calcolate. La stessa cosa in A (come se riapplicassi il caso II''). Ovvero: -(μ_I+μ_II)-(z^I+z^II).

Altro caso

Dunque, conosciamo la soluzione di: Ovvero, facendo un'ipotesi (quella di trascurare la deformazione della trave rispetto al terreno): P_I = P₁ + P₂ + P₃ M = M₁ + M₂ + M₃ = x₁P₁ + x₂P₂ + x₃P₃. La deformata avrà forma trapezoidale: Per determinarla, si usano 2 schemi limiti:

1. Trascurare la deformabilità della trave rispetto alla sovrastruttura

K_sovr << K_forn

2. Trascuro la deformabilità della sovrastruttura rispetto alla trave.

Verifiche

• Verifiche come quelle delle travi in altezza su terreno σ_{r max} < σ_ammtera
• Sulle ali che ripartiscono il carico

Aggiunta: trave su suolo elastico

P = K _y TERRENO SU SUOLO ELASTICO (ALLA WINKLER) K _F ^L3 ; VEDIAMO IL COMPORTAMENTO DI UNA TRAVE SU QUESTO PARTICOLARE TERRENO: LETTO DI MOLLE INFINITAMENTE VICINE p(x_c) = K