Lezioni, Tecnica delle costruzioni

Vettori

Grandezze scalari: Caratterizzate da un numero (tempo, massa, ecc.).

Grandezze vettoriali: Caratterizzate da modulo, direzione e verso (forze, momenti, ecc.).

Il modulo è la lunghezza, la direzione è la retta su cui agisce ed il verso è la freccia.

Il versore è un vettore parallelo (stessa direzione e verso) ma con modulo 1.

La somma tra vettori è un vettore che si può ottenere con la regola del triangolo o del parallelogramma.

Un vettore può essere visto come somma delle sue componenti lungo x ed y.

In 3D: la somma è data da Ax + Ay + Az.

La differenza tra vettori è ottenuta come la somma con il vettore inverso.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è uno scalare (numero).

Formula: A · B = |A||B|cosθ. Se C = 0, i vettori sono ortogonali.

Componenti: C = AxBx + AyBy + AzBz

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un vettore con modulo uguale al prodotto, direzione e verso tale che un osservatore posto all'origine vede A sovrapporsi a B con angolo < 180° (regola della mano destra).

Componenti: Cx = AyBz - AzBy, Cy = AzBx - AxBz, Cz = AxBy - AyBx

Teorema di Laplace

Permette di calcolare determinanti di matrici tramite espansione lungo una riga o colonna.

Leggi di Newton

• Prima legge: Se la risultante delle forze applicate a un corpo è 0, il corpo è in equilibrio o si muove di moto rettilineo uniforme.
• Seconda legge: L'accelerazione è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa del corpo: F = ma.
• Terza legge: A ogni azione corrisponde una reazione di uguale intensità e direzione, ma di verso opposto.
• Legge di gravitazione universale: F = G(m1m2)/r²

L'equilibrio del punto materiale si basa sulla prima legge di Newton. Se la risultante delle forze applicate è zero, il punto è in equilibrio: il poligono delle forze è chiuso. Questo equivale all'equilibrio alla traslazione in direzione x (ΣFx = 0) e y (ΣFy = 0).

Il corpo rigido è un corpo che non si deforma sotto l'azione di forze applicate.

Momento

Il momento è la tendenza di una forza a far ruotare il corpo rigido attorno a un punto P. Consiste in una coppia di forze con lo stesso modulo e di verso opposto che agiscono su rette parallele.

Formula: Mp = rFsinα, dove r è la distanza tra le rette e α è l'angolo tra le forze e la direzione.

Teorema di Varignon: Se abbiamo n forze applicate in un punto a una certa distanza da P, il momento si può calcolare come la somma dei momenti delle n forze.