Tecnica delle Costruzioni - Assunti base teoria delle strutture

Teoria delle strutture

Assunti di base

La teoria delle strutture si basa sui seguenti teoremi:

1. La deformazione per effetto dello sforzo normale può essere spesso trascurata rispetto a quella per momento flettente. La presenza dell'avverbio «spesso» significa che questo è un assunto quasi generale!

Che significa «spesso»? Di solito, infatti, applicando il metodo della congruenza o il PLV, siamo abituati a trascurare di norma il contributo deformativo del taglio, e non quello dello sforzo normale.

La domanda, dunque, è: Quando, in una struttura, posso trascurare l'effetto di deformazione dello sforzo normale?

Esempio

Supponiamo di avere la seguente struttura iperstatica. Per risolverla, si usa il metodo della congruenza: sopprimiamo cioè il vincolo in A e vi sostituiamo X₁, la reazione vincolare incognita che diventa la nostra incognita iperstatica.

Scriviamo poi l’equazione di congruenza:

η₁₀ + η₁₁ X₁ = 0

η₁₀ = ∫ (N₀N₁) / EA ds + ∫ χ T₀T₁ / GA ds + ∫ M₀M₁ / ES ds

η₁₁ = ∫ N₁² / EA ds + ∫ χ T₁² / GA ds + ∫ M² / ES ds

(Si è trascurato il contributo deformativo del taglio)

Ora, vediamo cosa deve accadere per poter trascurare N:

η₁₀ = η₁₀(N) + η₁₀(M)

η₁₁ = η₁₁(N) + η₁₁(M)

Trascurando il segno di X₁:

|x₁| = |^{η₁₀(Nʹ) + η₁₀(Mʹ)}/_{η11(Nʹ) + η11(Mʹ)}|

Adesso occorre determinare il valore di questi contributi. Prendiamo dunque l'isostatica principale:

A ----- d₀B

Come sappiamo dal problema di Saint-Venant, la presenza di sforzo di sforzo normale induce un allungamento (o accorciamento) nella trave. Per il concio di trave esso vale:

Δs = Nʹ/E A * d₀d₀Δs

Ma poiché la trave è curva, questo allungamento/accorciamento produce anche un sollevamento/abbassamento di tutti i punti della trave. Esso vale:

Δsd₀αΔsΔs * sin α

Dunque: η(n) = N Δs sinα / EA

Invece la presenza di momento flettente induce una rotazione nella trave. Per il concio elementare vale: dψ = M ds / E3

Lo spostamento del punto A vale dunque:

η(M) = dψ ⋅ x

(Riflettere bene su x)

Dunque: η(M) = M ⋅ xds / E3

Condizioni per trascurare il contributo di N

Detto questo, perché il contributo di N sia trascurabile, occorre che:

η(M) / η(n) >> 1

η(M) / η(n) = M x ds / E3 x EA / N ds sinα >> 1

η(M) / η(n) = M / N ⋅ A / 3 ⋅ x / sinα >> 1

Supponendo la sezione della trave rettangolare. La retta, sappiamo che: ℓ = W·h/2

E dunque: η^(m)/η^(r) = (M/W) (2/h) (A/N sinα)

Quindi: η^(m)/η^(r) = σMmax/σN (2x/h sinα) >> 1

Questo accade, se si suppone σM/σN ≈ 1, se x >> h.

Conclusione: È possibile trascurare il contributo deformativo di N nelle travi snelle.

Enunciazione utile

Esiste un'altra enunciazione, utile perché ci permette di pervenire ad altre considerazioni:

η^(m)/η^(r) = M/3 A/N x/sinα

Ora, M/N = ∈ eccentricità dello sforzo normale

ℓ³/A = ρ² raggio d’inerzia

Dunque: ∈/ρ² x/sinα >> 1

Ora, ρ² per le travi snelle si calcola in questo modo:

1. Supponiamo la sezione rettangolare.

J = ∫ y² dA = ∫_-b/2^b/2 y²ady = |_-b/2^b/2 y³ = _a³b/4 = ab³/12

A = abρ = ₅¹²

2. Supponiamo la trave snella.

J = A_tot(2a)(½h)²ρ² = (h/½)²

Secondo quest'ultima definizione:

η(m)/η(cr) = ^4e/_h²sinα = 4/sinα x/(h/e) >> 1

(6) Questo succede se:

1. x/h >> 1 ⇒ Trave snella
2. ℓ/h >> 1 ⇒ E questo succede per travi « prevalentemente inflesse », cioè per quelle travi in cui la linea d'asse è discosta dalla linea di pressione.

Curva di pressione

La curva di pressione è il «luogo delle eccentricità».

Es~q(z)

Troviamo M(z)V = qℓ²/2

M(A) = Vℓ/2 - qℓ/2 ℓ/4 - Hℓ = 0

H = qℓ²/8ℓ

M(z) = M(V,q) + M(H)qℓ²/8

CONCLUSIONE:

1. M = 0 → M coincide con l'asse
2. N ≠ 0 → Nella freccia è H, per esempio

Dunque non posso ignorare il contributo di N.

Statica grafica

Es 2L o risolviamo con la statica grafica.

R₁ (reazione cerniera 1) passa per C₁₂

R₂ passa per la cerniera 2 e, con R₁, equilibra F, secondo la regola del parallelogramma.

Il momento in ogni punto è dato da:

R x br = Mbr : eccentricità

Corollari

1. La curva delle pressioni non dev'essere troppo intrecciata. (Infatti, se M(z) cambia spesso di segno la somma dei vari tratti si annulla).
2. I tratti soggetti a N ed M devono avere lunghezza paragonabile.
3. Es: Se il tratto con M è molto più piccolo di quello con N, non è possibile trascurare N.
4. Se la struttura è un'iperstatica la cui struttura principale soggetta solo a sforzo normale, non è possibile trascurare lo sforzo normale.

Es: (Sappiamo che è soggetta solo a sforzo normale)

Per la congruenza

φ(x_c) + φ(p_r) = 0

φ(x_c) = φ_m(x_c)

φ(p_r) = φ_n(p_r) perché l'abbiamo appena visto;

φ_x(_m) = φ_p(_nr)

Dunque φ_x(_m) ≈ 1 = σ_M/σ_N 2/x ∟/sinα h

Nella travi snelle: x_c/h ≫ 1

Dev'essere allora: σ_M ≪ 1

Corollario

Nel caso di strutture in cui la struttura isostatica principale associata coincida con la "Funicolare dei carichi" (sia soggetta cioè solo a sforzo normale) il contributo delle reazioni iperstatiche è inessenziale

Seconda versione dell'appunto

Teoria delle strutture

"La deformazione per sforzo normale può essere spesso trascurata nei confronti di quella a momento flettente"

Dimostrazione

Se voglio X₁, Müller-Breslau è:

η₁₁ X₁ + η₁₀ = η(_t) = 0

η₁₁ = spostamento in A rispetto a X₁

η₁₁ = ∫_st N² ds / EA + ∫_st M² ds / EŜ

η₁₁(N) η₁₁(M) questo si trascura

η₁₀ = ∫_st N/ N_o ds / EA + ∫_st M/ M_o ds / EŜ questo si trascura

Conclusione: η = η_(N) + η_(M)

Isostatica principale

Vediamo l'isostatica principale. Per effetto di N, il concio elementare si allunga. Per effetto di M si abbassa.

Δ = ^{N ds}/_EA

Questo spostamento provoca:

dη_N = ^{N ds sin α}/_EA

Δυ = ^{M ds}/_ES

Questo movimento provoca:

dη_M = ^{M x ds}/_ES

Dev'essere:

dη_η = ^{M x A}/_{dηN S N sin α} = ^{M A 2x}/_{W h sin α}

= ^{M/W 2 x 1}/_{N/A h sin α} - ^{σ_m 2 x 1}/_{σn h sin α} >> 1

Travi snelle

Di solito ^σ_M/_{σN ≃ 1}

Se la trave è snella (^x/_h >> 1) → dη_M/dη_N >> 1

Possiamo vederlo da un altro punto di vista:

^M⁄_N = ^x⁄₅ sinα

dove ^M⁄_N = eλρ_x = 1^⁄2ρ²

Quanto vale ρ? Se la sezione consta di 2 aree al quadrato esso è il più grande possibile

ρ² = a²⁄4 → ρ = a⁄2A_tot. 2A

Se la sezione è quadrata ρ² = a²⁄12

Dunque ρ_max. = a⁄2

Dunque: ^dnM⁄_dnh = ^exα^t ⁄ _h sinαx⁄h >>1 (Trave snella)

Oppure:^e/_h >> 1 curva delle pressioni distante dall’asse

Curva delle pressioni

È il luogo dei punti dove passa lo sforzo normale

Se e ↑ ➔ la struttura è prevalentemente inflessa

Secondo assunto

Esiste un secondo assunto. Lo vediamo adesso.

L s. Linea d’asse parabolica con cerniera in chiave.

M(C) _f = PL²/8

H = PL²/8f_f

H è la spinta dell’arco

Momenti

Vediamo M: Le forze sono verticali e orizzontali

M_tot = M_v + M_o

M_oM_vertM_orizz

Questa struttura coincide con la “funicolare dei carichi”

Calcolo di η

Dunque: Per calcolare η = ∫ dn

Dunque, il segno dei dn non deve cambiare troppo di segno → La curva delle pressioni non dev'essere "troppo intrecciata"

Ora, possiamo trasformare N in termini di deformazione ζ, ma non in termini di tensioni!

(Una struttura presso-inflessa è presso-inflessa!)

Conclusioni

E_s ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ p

La risolviamo: ↓ ↓ ↓ ↓

φ_cQ = φ_cX ovviamente

φ_canr + φ_cλm = φ_cXn' + φ_cλm

φ_cXm/φ_canr = 1

DUNQUE:

^M/_W = ^{A 2x}/_{h Nσn cos α} - 1

Se ^x_c/_h < ^σ_m/_σn