Successioni numeriche, Analisi matematica

Lezione 17

Successioni

Definizione: Una funzione il cui dominio è un sottoinsieme

di si dice successione.

N

⊆

f : A N →R

( )=a

n → f n n

Di solito una successione si indica scrivendo i valori assunti

dalla funzione, cioè { }.

a n

si dice termine n-esimo della successione.

a n

Esempio:

n−1

=

a n n+1

Scriviamo i primi termini di questa successione:

1 1 … .

=−1, =0, = =

a a a , a

0 1 2 3

3 2

Definizione: Una successione { } si dice crescente se

a n

. Se invece , la successione si dice

∀ ∈ ∀ ∈

a ≤ a n N a ≥ a n N

n n+1 n n+ 1

decrescente.

Definizione: Una successione { } si dice strettamente

a n

crescente se

. Se invece , la successione si dice

∀ ∀

< >

a a n∈ N a a n∈ N

n n+1 n n+1

strettamente decrescente.

Definizioni:

Una successione si dice monotona se è crescente oppure

decrescente, si dice strettamente monotona se è

strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

Una successione che risulta essere sia crescente che

decrescente viene definita costante.

Ricorda: Se una successione è strettamente crescente, è

anche crescente. Se una successione è strettamente

decrescente, è anche decrescente (non vale il contrario

della proposizione).

Esempio:

Consideriamo la successione vista nell’esempio

precedente:

n−1

=

a n n+1 n−1+2−2 n+1−2 n+ 1 2 2

Osserviamo che: = = = − =1−

a n n+1 n+1 n+ 1 n+ 1 n+1

Allora, dato che:

−2 −2

1 1 2 2

⇒ ⇒

< > >

0<n< n+1⇒ 1− 1−

n+ 1 n n+1 n n+1 n

Si ha che e quindi la successione è

{ }

∀ ∈ ∖

>

a a n N 0

n n−1

strettamente crescente.

Vogliamo definire ora il limite di una successione. Dato che

il dominio di una successione è , l'unico limite è

N

possibile per le successioni è il limite per (unico

n →+∞

punto di accumulazione, valori naturali sono tutti punti

isolati).

Quindi, le sole possibilità per i limiti di successioni sono:

∈

=L =+∞ =−∞

lim a R , lim a e lim a

n n n

n →+∞ n →+∞ n →+∞

Scriviamo le definizioni esplicitamente:

Sia { } una successione e sia .

¿

a L∈ R

n ¿

lim L | |

1. , se tale che ∀

−L <ε

a n> ń

∀ ∃ ∈

ε>0 ń N n

n →+∞ ¿+

lim ∞

2. , se tale che ∀

>

a k n> ń

∀ ∈ ∃ ∈

k R ń N n

n →+∞ ¿−∞

lim

3. , se tale che ∀

<

a k n> ń

∀ ∈ ∃ ∈

k R ń N n

n →+∞

Definizioni:

Una successione che ammette limite finito si dice

 convergente.

Una successione che ammette limite infinito si dice

 divergente.

Una successione che non ammette limite si dice

 irregolare.

Esempi: ( )=+∞

lim n+1

Sia e il , allora è divergente.

=n+1

a a

n n

n →+∞ ( )

1 1

Sia e il , allora è convergente.

=2

=2+ a

lim 2+

a n

n n n

n →+∞ n

(−1 ) =∄

lim

Sia e il , allora è irregolare.

a

n

(−1 )

¿

lim n

n →+∞

Ricorda: Dato che le successioni sono delle particolari

funzioni, tutti i teoremi che abbiamo visto per le funzioni

continuano a valere per le successioni.

Teorema di permanenza del segno:

Definizione: Esiste un intorno di , tale che la

+∞

successione è positiva (negativa) se L > 0 (L < 0) dove L è

¿

∈

=L

lim a R

il risultato del .

n

n →+∞

Osservazione: Quindi, se una successione ammette limite

positivo, è definitivamente positiva mentre se amm