Successioni numeriche

Successioni numeriche

Una successione {a_n} è una funzione che ad ogni numero naturale associa un numero reale a_n.

• {a_n}: n → a_n
• 0 → a₀
• 1 → a₁
• n → a_n

Il limite della successione {a_n} è il numero reale a (si dice che a_n converge ad a) e si indica:

lim a_n = a n → ∞

(a_n - a) = ε_n, qualunque sia ε > 0 ∃ γε: |a_n - a| < ε ∀n > γε

Tramite la definizione dimostriamo che:

lim ¹/_n = 0 n → ∞

• si ha: |a_n - 0| = |¹/_n - 0| = ¹/_n < ε ⇒ n > ¹/_ε

quindi basta porre γε = ¹/_ε e si ha che ∀n > γε lim ¹/_n = 0

• se il limite della successione {a_n} è un numero finito, allora la successione si dirà convergente (o regolare);
• se il limite di {a_n} è infinito, allora la {a_n} si dirà divergente (regolare);
• se invece tale limite non esiste, allora la {a_n} si dirà indeterminata (o irregolare);

lim a_n = +∞ n → ∞

∀K > 0 ∃N = N(K): ∀n ≥ N . a_n > K

lim a_n = -∞ n → ∞

∀H > 0 ∃M = M(H): ∀n ≥ M . a_n < -H

se lim