Teoremi sulle successioni

1) lim_{n -> +∞} a_n = a

2) lim_{n -> +∞} a_n = b

a ≠ b

Poniamo ε = |a - b| / 2 > 0

Dunque per la definizione di limite si ha:

1. ∃n₁∈ℕ : |a_n - a| < ε ∀n > n₁, con n₁ > 0
2. ∃n₂∈ℕ : |a_n - b| < ε ∀n > n₂, con n₂ > 0

Ponendo n₀ = max {n₁, n₂} le relazioni sopro

scritte valgono contemporaneamente e si ha:

|a-b|=|a-b+a_n-a_n|=| (a-a_n)+(a_n-b) |

aggiungiamo e riscriviamo come

|(a-a_n)+(a_n-b)| ≤ |a-a_n| + |a_n-b|

per la disuguaglianza triangolare

|a - a_n| + |a_n - b| = |a_n - a| + |a_n - b|

riscriviamo come

|a_n - a| + |a_n - b| < ε + ε → 2ε

per le relazioni ^*1 e ^*2

Dunque:

|a - b| < 2ε ossia ε > |a - b|₂

che è un assurdo poiché avevamo posto ε = |a - b|₂. Motivo per il quale la tesi è dimostrata.

Teorema di Limitatezza delle Successioni Convergenti

Sia {a_n} una successione numerica. Se {a_n} è convergente allora {a_n} è limitata. Dunque:

{a_n} convergente → {a_n} limitata

Dimostrazione:

Supponiamo che la successione {a_n} converga al numero reale l, ossia supponiamo che:

lim_{n → +∞} a_n = l

Fissiamo =1 e per la definizione di successione convergente allora:

∀₀∈ℕ. |−| < ∀ ≥ ₀.

Ovvero:

∀₀∈ℕ. −1 < < +1 ∀ ≥ ₀,

perciò siamo di applicare lo disugua¬glo tringolo, è facile rompireche possiamo scrivere:

|a_n| = |a_n - l + l|

Per la disuguaglianza triangolare,

|a_n - l + l| ≤ |a_n - l| + |l|

per possiamo affermare che:

|a_n - l| + |l| < 1 + |l|

Compostando tutto ciò otteniamo che:

|a_n| = |a_n - l + l| ≤ |a_n - l| + |l| < 1 + |l|

espressione valida ∀n ≥ n₀.

Più precisamente:

|a_n| ≤ 1 + |l| ∀n ≥ n₀. ∎

Ma allora

∀n ∈ N ε ho che:

|a_n| ≤ M

Ciò equivale a scrivere:

-M ≤ a_n ≤ M ∀n ∈ N

Ed è facile dedurre per # che:

-M ≤ |a_n0| ≤ a_n ≤ 1 + |1∧| ≤ M

doveM = max{|a₁|, |a₂|, ..., |a_n0|, 1 + |1∧|}

Presi α, β ∈ ℝ con α = -M e β = M allora

l'espressione x diventa:

d < a_n < β ∀n ∈ ℕ

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Ipotesi: Sia {a_n} una successione. Supponiamo che:

lim_n→+∞ a_n = a > 0

Tesi: ∃n₀ ∈ ℕ: a_n > 0 ∀n > n₀

DIMOSTRAZIONE:

Dato che a > 0, fissiamo ε = a/2 > 0. Dunque

per la definizione di limite si ha:

∃n₀∈ℕ: |a_n – a| < ^a⁄₂   ∀n > n₀   con   n₀ > 0

Ma   |a_n – a| < ^a⁄₂   significa che:

-^a⁄₂ < a_n – a < ^a⁄₂

a_n > a – ^a⁄₂   ossia   a_n > ^a⁄₂   → > 0   ∀n > n₀

Tesi dimostrato.

COROLLARIO. — Se _n→+∞ a_n = a , e se a_n ≥ 0 per ogni n, allora anche a ≥ 0.

COROLLARIO. — Se _n→+∞ a_n = a, _n→+∞ b_n = b , e se a_n ≥ b_n per ogni n, allora a ≥ b.

Teorema dei Carabinieri

Ipotesi: siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tre successioni tali che:a_n ≤ c_n ≤ b_n ∀n ∈ ℕ

Supponiamo che:

1. lim_n→+∞ a_n = a
2. lim_n→+∞ b_n = a

Tesi: La successione {c_n} è convergente ed il suo limite vale lim c_n = a

DIMOSTRAZIONE:

Per ipotesi, ∀ ε > 0 si ha:

1. ∃n₁ ∈ ℕ : |a_n - a| < ε   ∀n > n₁ con n₁ > 0
2. ∃n₂ ∈ ℕ : |b_n - a| < ε   ∀n > n₂ con n₂ > 0

Riscriviamo le disuguaglianze con il valore assoluto:

1. - ε < a_n - a < ε ossia a - ε < a_n < a + ε
2. - ε < b_n - a < ε ossia a - ε < b_n < a + ε

Poniamo n₀ = max {n₁, n₂}. Allora ∀n > n₀ valgono le relazioni ✱1 e ✱2 cioè vale:

a - ε < a_n < a + ε

a - ε < b_n < a + ε

a_n ≤ c_n ≤ b_n (per l'ipotesi)

Dallo quale si deduce che:

a - ε < a_n ≤ c_n ≤ b_n < a + ε

ovvero lim_n→+∞ c_n = a (tesi)

TEOREMA DEL CONFRONTO

Ipotesi: Siano {a_n} e {b_n} due successioni. Supponiamo che a_n ≤ b_n ∀n ∈ ℕ e che:

lim_n→+∞ a_n = +∞     lim_n→+∞ b_n = -∞

Tesi:

1. lim_n→+∞ a_n = +∞   ⟹   lim_n→+∞ b_n = +∞
2. lim_n→+∞ b_n = -∞   ⟹   lim_n→+∞ a_n = -∞

DIMOSTRAZIONE:

Dimostriamo la 1). Poiché per ipotesi:

lim a_n = +∞ allora per la definizione di limite.

∀M > 0 ∃n₀∈ℕ: a_n > M   ∀n > n₀, con n₀ > 0

Inoltre, sempre per ipotesi, sappiamo che:

a_n ≤ b_n   ∀n∈ℕ

Allora unendo + e - si ottiene:

{a_n > M

a_n ≤ b_n

⇒ M < a_n ≤ b_n

Dunque b_n > M   ∀n > n₀, che equivale alla definizione di _{n → +∞}lim b_n = +∞ (tesi).

8.3. La successione { |a_n| }

Data la successione {a_n}, possiamo prendere in esame la successione { |a_n| }, ottenuta dalla precedente considerandone i termini in valore assoluto.

Per quanto riguarda l'esistenza del limite abbiamo che se la successione {a_n} è regolare anche { |a_n| } è regolare. Più