Successioni

Successioni

Def: Si chiama successione una funzione avente come dominio ℕ (oppure {m ∈ ℕ | m ≥ m₀} per qualche m₀ ∈ ℕ)

f : ℕ → ℝ

m → f(m)

Notazione: Scriveremo a_m oppure b_n, c_m al posto di f(m)

ES: Un esempio di successione è

a_m = m²

(f : ℕ → ℝ, m → m²)

Altre successioni sono

• a_m = (-1)ⁿ , m ∈ ℕ
• a_m = 1/(m² + 1) , m ∈ ℕ

Grafico di una successione

Se f : A → ℝ, A ⊆ ℝ, si chiama grafico di f il sottoinsieme di ℝ² così definito

gr(f) = gra f(f) = {(x, f(x)) | x ∈ A}

Il grafico di f ha equaz. cartesiana y=f(x)

Se (a_n) è una successione il suo grafico è {a_m} dato da {(m, a_m) | m ∈ ℕ} che è un insieme

formato da punti isolati.

ES: a_m = m^e

m ∈ ℕ

m = 0, 1, 2, …

P_m = (m, m²)

Proprietà

• Una successione (a_n) si dice limitata inferiormente se ∃ m ∈ ℝ t.c. ∀ m ∈ ℕ m ≤ a_m
• (a_n) si dice limitata superiormente se ∃ M ∈ ℝ t.c. ∀ m ∈ ℕ M ≥ a_m
• (a_n) si dice limitata se ∃ m, M ∈ ℝ t.c. ∀ m ∈ ℕ m ≤ a_m ≤ M

Altrimenti se |l₁-l₂| > 0 possiamo scegliere

ε = ^|l₁-l₂|⁄₄ > 0

da sostituto in (*): |l_n-l₂| < ^{(|l₁-l₂|)}⁄₂ impossibile!

Pertanto l₁ = l₂.

Se l₁ = l₂ allora prendendo ε piccolo trovo due strisce disgiunte e la successione dovrebbe avere una coda contenuta in entrambe; impossibile!

Def: Se (a_n) è una successione convergente, chiameremo limite di (a_n) l'unico l ∈ ℝ che soddisfa le def. di succ. convergente.

E scriveremo lim_{n → ∞} a_n = l.

maggiore di ^√M

M = 10000

100 = ^√M

M = 10000 → m_M = 100

M = 10010 → m_M = 101

Def:

Diciamo che la successione (a_n) è divergente a -∞ se

∀ M > 0 ∃ m_M ∈ ℕ t.c. a_n < -M ∀ n ≥ m_M

Es:

Un esempio di successione divergente a -∞ è (-n²)

DEF:

Una successione non convergente e non divergente si dice indeterminata.

Nel caso di succ. divergente, scriviamo

q = -1

q < -1

Obiettivo: Date una successione, vogliamo calcolarne il limite, se esiste.

Il primo risultato in questa direzione riguarda le successioni monotone.

Successioni Monotone

Def:

• crescente se   a_n < a_n+1   ∀n∈ℕ
• strett. crescente se   a_n ≤ a_n+1   ∀n∈ℕ
• decrescente se   a_n ≥ a_n+1   ∀n∈ℕ
• strett. decrescente se   a_n > a_n+1   ∀n∈ℕ

Es:

a_n = ¹/_{n² + 1}

Provare che (a_n) è strett. decrescente

a_n > a_n+1 ∀n∈ℕ ⇔ ¹/_{n² + 1} > ¹/_{(n + 1)² + 1}   ∀n∈ℕ