Successioni numeriche, Analisi matematica

Possibilità per i limiti di successioni

Il limite per le successioni può essere:

• +∞ (punto di accumulazione, valori naturali sono tutti punti isolati)
• -∞
• lim a
• lim a
• lim a

Le definizioni esplicite sono:

1. Sia {an} una successione e sia L ∈ R. Si dice lim an = L se per ogni ε > 0 esiste un N ∈ N tale che per ogni n > N si ha |an - L| < ε.
2. Sia {an} una successione e sia L = +∞. Si dice lim an = +∞ se per ogni A > 0 esiste un N ∈ N tale che per ogni n > N si ha an > A.
3. Sia {an} una successione e sia L = -∞. Si dice lim an = -∞ se per ogni A < 0 esiste un N ∈ N tale che per ogni n > N si ha an < A.

Definizioni:

• Una successione che ammette limite finito si dice convergente.
• Una successione che ammette limite infinito si dice divergente.
• Una successione che non ammette limite si dice indeterminata.

irregolare.Esempi: ( )=+∞lim n+1Sia e il , allora è divergente.=n+1a an nn →+∞ ( )1 1Sia e il , allora è convergente.=2=2+ alim 2+a nn n nn →+∞ n(−1 ) =∄limSia e il , allora è irregolare.an(−1 )¿lim nn →+∞Ricorda: Dato che le successioni sono delle particolarifunzioni, tutti i teoremi che abbiamo visto per le funzionicontinuano a valere per le successioni.Teorema di permanenza del segno:Definizione: Esiste un intorno di , tale che la+∞successione è positiva (negativa) se L > 0 (L < 0) dove L è∈=Llim a Ril risultato del .nn →+∞Osservazione: Quindi, se una successione ammette limitepositivo, è definitivamente positiva mentre se ammettelimite negativo è definitivamente negativa (a partire da undeterminato indice).Teorema della limitatezza delle successioni convergenti:Definizione: Sia { } una successione convergente. Alloraa n{ } è

1. Teorema del confronto:

Definizione: Se abbiamo tre successioni tali che an ≤ bn ≤ cn per ogni n e se lim an = L, lim bn = L e lim cn = L, allora anche lim bn = L.

2. Teorema della regolarità delle successioni monotone:

Definizione: Sia an una successione monotona. Se esiste L tale che lim an = L, allora lim an = L.

Se an è limitata, allora lim an = L.

Se an è illimitata, allora lim an = +∞ oppure lim an = -∞.

3. Dimostrazione:

Supponiamo che an sia una successione crescente, cioè an ≤ an+1 per ogni n.

Sia L il limite di an.

Se an è limitata, allora L è il suo estremo superiore, cioè an ≤ L per ogni n.

Se an è illimitata, allora L = +∞ oppure L = -∞.

più piccolo{ }a∀ >0ε , L−ε ndi L) (esiste almeno un termine della successione) tc∃n ∈ N0 { }L−ε< a n0La successione è crescente, quindi:, allora otteniamo che:∀a ≤ a n> n ∀ n>nn n 0 00 , cioè .| |L−ε< a ≤ a ≤ L< L+ε −Lan n n0Se riscriviamo le parti in rosso otteniamo la definizione di=Llim alimite se e il :L∈ R nn →+∞Definizione: , tale che si ha che∃n ∈ ∀N n>n∀ ε>0 0 0L−ε< a ≤ a ≤ L< L+εn n0Abbiamo quindi dimostrato che se una successione èlimitata e crescente allora ammette un limite finito L che èuguale all’estremo superiore della successione.Consideriamo il caso in cui sia crescente e illimitata.{ }a nAllora tale che .>a K∀ ∈ ∈K R ,∃ n N n0 0è crescente, quindi otteniamo che .{ } >ka ≥

a∀ n>na n n0n 0

Se andiamo ad unire le parti in rosso, otteniamo la=+∞lim adefinizione di :nn →+∞Definizione: .∀ ∈ ∈ ∀ >K R ,∃ n N tale che n>n si ha che a k0 0 nAbbiamo quindi dimostrato che se una successione ècrescente ed illimitata, allora ammette limite che è ugualea .+∞La dimostrazione è analoga nel caso in cui è{ }a ndecrescente.

Osservazione: il teorema vale anche se èa ndefinitivamente monotona.Le successioni monotone non possono essere irregolari maconvergenti o divergenti, in particolare se sono successionicrescenti, allora esse potranno convergere e divergere a, mentre se sono decrescenti, allora esse potranno+∞convergere o divergere a .−∞

Limiti di alcune successioni particolariSia fissato. Allora:∈r R{ <10 se−1<r=11 se rn =lim r +∞ >1se rn →+∞ ∄ se r ≤−1Analisi dell’ultimo caso: r = , che può

essere riscritto−2comen n n(−2 ) =(−1 ) ⋅2 =∄+∞=∄Radice n-esima di una successioneSia . Alloraa>0 1 , per .n →+∞√n n =1lim a=lim aDai limiti delle funzioni seguono i seguenti limiti per lesuccessioni:αlim n , e .∀ ∈ ∀α R a>1n →+ ∞ =0na α| |lim log n , e , .a ∀ ∈ ∀ ∀α R β>0 b>0 , b ≠ 1n →+ ∞ =0βnRicorda: scala degli infiniti (in seguito aggiornata)Se e se , la scala degli infiniti (comportamento<β <b0<α 0<adi diverse successioni quando ) in ordine crescente,n →+∞per , è:n →+∞ α β n n<n <a <blog n< log n<nb aGli infinitiDefinizioni: Siano e due infiniti per e sia{ } { }a b n →+∞n ndefinitivamente.b ≠ 0n lim a nSe , allora è un infinito di ordine { }an →+ ∞ =± ∞ nb nsuperiore rispetto a .{ }b nlim a

nSe , allora è un infinito di ordine inferiore

{ }

n →+ ∞ =0 nb n

rispetto a .{ }b n

lim anSe , allora e sono infiniti dello

{ } { }a bn →+ ∞ { }∈ ∖=L R 0 n n

bnstesso ordine.

Gli infinitesimi

Definizioni: Siano e due infinitesimi per e

{ } { }a b n →+∞n n

sia definitivamente.b ≠ 0n a

Se , allora è un infinitesimo ordine superiore

{ }n a¿ ∨¿lim 0 nbn →+∞ n

rispetto a .{ }b n| |a

Se , allora è un infinitesimo ordine inferiore

{ }n a=+∞lim nbn →+∞ n

rispetto a .{ }b n| |a

Se , allora e sono infinitesimi dello

{ } { }n { } a b∖=L∈lim R 0 n nbn →+∞ n

stesso ordine.

Ordine di infinito ed infinitesimo +¿

Definizione: Sia un infinito. Se tale che

{ }a ¿∃α ∈ Rnlim an , è un infinito di ordine .{ }a αn →+ ∞ { }∈ ∖=L R 0 nαn +¿

Definizione: Sia un infinitesimo. Se tale che

{ }a ¿∃α ∈

grande rispetto all'originale.

Quanti sono i fattori maggiorati con In totale sono?

n-n 0

Posso quindi sostituire la riga 2 con la riga 3.

Nell'ultimo passaggio divido il secondo fattore in due fattori. ( )-nna 10 0

Dato che è un numero fissato, poniamo .n =k0 n ! 20

K è un numero che non dipende da n. ( )n na 1

Abbiamo quindi dimostrato che .<k0< n! 2( )n1

Ma e quindi, per il teorema del confronto anche=0lim 2n →+∞nlim a . □n →+ ∞ =0n!

Ricorda: n =+∞

Nel in cui , , cioè la successione è unlim a na>1 an →+∞infinito.

D'altra parte, anche la successione è un infinito. Quindin !questa pr