Successioni numeriche

Successioni numeriche

a_n m ∈ ℕ   a₀, a₁, a₂, ..., a_n ...

a_n = ¹/_n → successione armonica

a_n = (¹/₂)ⁿ → ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, 0

a_n → l ∈ ℝ   ∀ ε > 0   ∃ S ∈ ℕ   ∀ n > S | a_n - l | < ε

Successioni di funzioni

f₁(x) , f₂(x), ..., f_n(x),

m ∈ ℕ   x ∈ ℝ

discreto (punti isolati) continuo

Esempi

f_m(x) = x^m

f₁(x) = x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = x³

f_m(x) = x^m   x ∈ [0,1]

Zoom:

lim f_n(x) = f(x) _{n → +∞}

∃ x₀ ∈ ℝ:

(f_n(x₀)) successione numerica

Successioni Numeriche

a_n n ∈ ℕ   a₀, a₁, a₂, ..., a_n ...

a_n = ¹⁄_n → successione armonica

a_n = ( ¹⁄₂ )ⁿ → 1, ¹⁄₂, ¹⁄₄, ¹⁄₈, ... 0

a_n → l ∈ ℝ   ∀ε > 0   ∃ S ∈ ℕ   ∀n ≥ S   |a_n - l| < ε

Successioni di Funzioni

f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x), ...

m ∈ ℕ   x ∈ ℝ

discreto (punti isolati)   continuo

Esempi

f_m(x) = x^m

f₁(x) = x

f₂(x) = x²

f₃(x) = x³

f_m(x) = x^m   x ∈ [ 0 , 1 ] zoom.

lim f_n(x) = f(x) n → ∞

∃ monotona x₀ ∈ ℝ : (f_n(x₀) successione numerica

Definizione - Limite Puntuale

f_n → f "puntualmente" se ∀x₀∈ℝ ∀ε>0 ∃N∈ℕ: ∀n>N |f_n(x₀) - f(x₀)|<ε

f_n(x₀) = x₀ⁿ

• x₀
• x₀²
• x₀³
• x₀ⁿ

f(x₀) = { 0 0≤x₀<1

1 x₀=1

ps: non è uniforme per il teorema della continuità del limite

f_n(x) = ^x2/_{n + x²}

m=1 → f₁(x)= ^x2/_{1 + x²}

m=2 → f₂(x)= ^x2/_{2 + x²}

Definizione

f_n → f "uniformemente" ∀ε>0 ∃N: ∀n>N ∀x₀∈ℝ |f_n(x₀) - f(x₀)|<ε

∀x₀∈ℝ

ε>0 ∃n ∈ℕ ∀m>n ∀x < ε

sup_x0∈ℝ |f_n(x₀) - f(x₀)| < ε

ε>0 ∃ ∀n>2 g_n<ε ⇔ g_n → 0

ESEMPI

xⁿ su [0,¹⁄₂]

Θ_n = sup_{x∈[0,¹⁄2]} xⁿ

⇒ per il teorema di W

Θ_n = max_{x∈[0,¹⁄2]} xⁿ = (¹⁄₂)ⁿ → 0

⇒ è la convergenza uniforme

f_n(x) = ^x2⁄_n²+x² [0;1]

g_n = sup_x∈[0;1] ^x2⁄_n²+x²

⇒ g_n = max_x∈[0;1] ^x2⁄_n²+x² = ¹⁄_n+1

∀ε a 0 ⇒ Convergenza uniforme

Riepilogo

Nella "puntuale" si fissa x₀ e si muove n

Nella "uniforme" si muove x₀ e si fissa n, si trova il sup e, alla fine, si muove n.