Successioni numeriche

Successioni numeriche

a_n m ∈ ℕ   a₀, a₁, a₂, ..., a_n ...a_n = ¹/_n → successione armonica a_n = (¹/₂)ⁿ → ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, 0

a_n → l ∈ ℝ   ∀ ε > 0   ∃ S ∈ ℕ   ∀ n > S | a_n - l |

Successioni di funzioni

f₁(x), f₂(x), ..., f_n(x), m ∈ ℕ   x ∈ ℝ discreto (punti isolati)   continuo

Esempi

• f_m(x) = x^m
• f₁(x) = x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = x³
• f_m(x) = x^m   x ∈ [0,1]

Zoom

lim f_n(x) = f(x) _{n → +∞} ∃ x₀ ∈ ℝ: (f_n(x₀)) successione numerica

Successioni numeriche

a_n n ∈ ℕ   a₀, a₁, a₂, ..., a_n ...a_n = ¹⁄_n → successione armonica a_n = (¹⁄₂)ⁿ → 1, ¹⁄₂, ¹⁄₄, ¹⁄₈, ... 0

a_n → l ∈ ℝ   ∀ε > 0   ∃ S ∈ ℕ   ∀n ≥ S   |a_n - l|

Successioni di funzioni

f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x), ...m ∈ ℕ   x ∈ ℝ discreto (punti isolati)   continuo

Esempi

• f_m(x) = x^m
• f₁(x) = x
• f₂(x) = x²
• f₃(x) = x³
• f_m(x) = x^m   x ∈ [0,1]

Zoom:

lim f_n(x) = f(x)   n → ∞ ∃ monotona x₀ ∈ ℝ : (f_n(x₀) successione numerica

Definizione - Limite puntuale

f_n → f "puntualmente" se ∀x₀∈ℝ ∀ε>0 ∃N∈ℕ: ∀n>N |f_n(x₀) - f(x₀)|<ε

f_n(x₀) = x₀ⁿx₀x₀²x₀³x₀ⁿf(x₀) = { 0   0≤x₀<1   1   x₀=1

ps: non è uniforme per il teorema della continuità del limite

f_n(x) = ^x2/_{n + x²} m=1 → f₁(x)= ^x2/_{1 + x²} m=2 → f₂(x)= ^x2/_{2 + x²}

Definizione - Convergenza uniforme

f_n → f "uniformemente" ∀ε>0 ∃N: ∀n>N ∀x₀∈ℝ |f_n(x₀) - f(x₀)|<ε

∀x₀∈ℝε>0 ∃n ∈ℕ ∀m>n ∀x < ε sup_x0∈ℝ |f_n(x₀) - f(x₀)| < ε

ε>0 ∃ ∀n>2 g_n<ε ⇔ g_n → 0

Esempi

• xⁿ su [0,¹⁄₂]
• Θ_n = sup_{x∈[0,¹⁄2]} xⁿ ⇒ per il teorema di W Θ_n = max_{x∈[0,¹⁄2]} xⁿ = (¹⁄₂)ⁿ → 0 ⇒ è la convergenza uniforme
• f_n(x) = ^x2⁄_n²+x² [0;1]
• g_n = sup_x∈[0;1] ^x2⁄_n²+x² ⇒ g_n = max_x∈[0;1] ^x2⁄_n²+x² = ¹⁄_n+1 ∀ε a 0 ⇒ Convergenza uniforme

Riepilogo

Nella "puntuale" si fissa x₀ e si muove n. Nella "uniforme" si muove x₀ e si fissa n, si trova il sup e, alla fine, si muove n.