Successioni di numeri reali: teoria ed esercizi

Successioni

f: IN → IR

Una funzione definita nell'insieme dei numeri IN e che associa ad ogni n ∈ IN un m ∈ IR è n scrive:

(an) n ∈ IN

Esempio:

an = (-1)ⁿ n ∈ IN questa è una successione a segni alterni i valori che assume sono -1 e 1

Es: a_n = 1/n n ∈ IN

Successioni convergenti

(ammette un limite finito) Sia (a_n) n successione di numeri reali. Diremo che la successione (a_n) n converge ad un numero reale l ∈ IR e scriveremo:

∀ ε > 0, ∃ n(ε) ∈ IN: |a_n - l| ≤ ε, ∀ n ≥ m(ε)

definitivamente

OSS:

• y ε + ε -ε

dopo nε stanno tutti dentro la striscia |a_n - l| ≤ ε ⟺ ε ≤ a_n - l ≤ ε ⟺ l - ε ≤ a_n ≤ l + ε

Es: a_n = 1/n dimostriamo che tiene a_n = 0 n → +∞

cioè ∀ ε > 0, ∃ n(ε) ∈ IN: |a_n| ≤ ε ⟺ ∀ n ≥ m_ε

|a_n| ≤ ε ⟺ 1/n ≤ ε ⟺ 1 ≤ εn ⟺ n ≥ 1/ε n_ε = ?

M_ε = ⎢1/ε⎥ supponiamo che M_ε = 2,5

e prendiamo solo la parte intera ⎢1/ε⎥ -2 → M_ε = ⎢1/ε⎥ +1

quindi ∀ ε > 0 ∀ n ≥ ⎢1/ε⎥ + 1 ∀ n ≥ M_ε ⎢1/n⎥ < ε

es an = n/n + 1 dimostriamo lim n → ∞ an = 1

|an - 1| < ε ↔ |n/n + 1 - 1| < ε ↔ |n-M_ε -1|/n + 1 ε ↔ ε > 1/n + 1 ε < ε

M + 1 ≥ 1/ε

- 1 ↔ n > 1/ε - 1

M_ε?

se 1/ε - 1 > 0 ↦ M_ε = ⎢1/ε - ⎟ + 1

se 1/ε - 1 < 0 ↦ M_ε = 0

es an = (-1)ⁿ non converge ≤ ≠ lim an

n → ∞

Controes:

Teoremi

1. Se _n lim a_n = P ∈ ℝ ⇒ (a_n)_n è limitata
2. Se _n lim a_n = +∞ ⇒ (a_n)_n non lim. superiormente
3. Se _n lim a_n = -∞ ⇒ (a_n)_n non lim. inferiormente

Dimostrazione 2

Se _n lim a_n = +∞ ⇒ non è lim. sup e x_i positive. ∀ M ∈ ℝ ∃ n ∈ ℕ : a_n ≥ M

Problema: se (a_n)_n non lim. sup ⇔ _n lim a_n = +∞ NO! M → +∞   ← perché le def. sono ←

Contros:

M

_{0 1 2 3 4 5}

a_n non lim. sup NO! non lim. sup. _n lim a_{n n} → +∞

Teorema del confronto

Siano (a_n) e (b_n) succ. reali e supponiamo che:

_n lim a_n = l ∈ ℝ e &sub>n lim b_n = m ∈ ℝ

Supponiamo che: a_n≥b_n definitivamente ⇔ _n lim a_n ≥ _n lim b_n = m _n → +∞

Dimostrazione:

SIA per assurdo che l < m

l-e

per ipotesi supp. che: a_n → l per n→+∞ cioè |a_n-l| ≤ ε def. l-ε ≤ a_n ≤ l+ε

Dimostrazione (4)

a_n = a^1/m a > 0

lim_n→+∞ a^1/m = 1

dico a > 1

a_n(^m√a)^m = (1 + ^m√a - 1)^m ≥ 1 + m(^m√a - 1)

0 ≤ ^m√a - 1 ≤ (a - 1)

1/m ⟶ ^m√a - 1 ⟶ 0

⇒ lim_n→+∞ (^m√a - 1) = 0

Osservazione

lim a_n = l ∈ R ⇔ lim_n→+∞ (a_n - l) = 0

* ∀ ε > 0 |an - l| ≤ ε def.

** ∀ ε > 0 |an - l| < ε def.

⇒ lim_n→+∞ (^m√a - 1) = 0 ⇔ lim_n→+∞ ^m√a = 1

5) a_n = ⁿ²⁄_n + (-1)ⁿ → +∞

a_n = ^{n2 + (-1)n}⁄_n → +∞

Teorema del prodotto

es. a_n = (-1)ⁿ ⁄ n² ?

Siano (b_n)_n, (a_n)n succ. reali

1) Se a_n → 0 e (b_n)_n è limit (dup. o inf.) → a_n b_n → 0

n→∞

2) Se a_n → 0 e ∃ m>0 : b_n ≥ m → a_n b_n → +∞

n→∞

3) Se a_n → 0 e ∃ M>0 : b_n ≤ M → a_n b_n → -∞

n→∞

5) a_n = -1ⁿ ⁄ n² → 0

lim → o (per es. 1))

a_n = ^N3⁄_+∞ + (-1)^N + 7

pari. = 8 disper. = 7

**perchè è lim → +∞ (term) → +∞

Teorema limite del reciproco

Siano (a_n)_n succ. reale a_n ≠ 0 ∀n ∈ ℕ e (1/∞)

1) se lim a_n = 0 e a_n > 0 def. ⇒ 7 lim 1/∞ = +∞

n→∞

2) se lim a_n = 0 e a_n < 0 def. ⇒ 7 lim 1/∞ = -∞

ESERCIZI VI

1. O(m³) = O(m) FALSO!perché n³/n ⇏ 0
2. O(n²/n⁴) = O(1/n²)VERO! O(n²)/n³ = O(n²)/n^{2 1/} 0
3. O(n²) + O(n³) = O(n⁵)VERO!cioè O(n²) + O(n⁵)/n⁵ -> O = O(n⁵)+ O(n²)/n⁵ -> 0
4. O(^1/h²) + O(^1/n³) = O(^1/n²)FALSO!cioè O(n²) + O(n³)/n² = 0= O(n³) + O(n²)/n -> 1/(n²) -> 0

Successioni equivalenti

Sia (a_nn) e (b_nn), succ. reali. Diciamo che (a_n)n e (b_n)n sono equivalenti e scriveremo: an ~ bn per n -> +∞ se (an)/bn -> 1 n → +∞

e an = bn dn ∀ n ∈ ℕ.

OSS.

Sia (a_nn), (b_nn) an ∘ bn –> m →+∞

Allora lim n -> +∞ a_n = 1 ⇔ lim n->+∞ b_n = 1

Limiti Fondamentali (e)

1. lim_n→+∞ (n + 1/n)ⁿ = e

2. lim_n→+∞ (1 + t/n)ⁿ = e^t ∀t∈ℝ

3. Se a_n → a ⇒ lim_n→+∞ (1 + 1/a_n)^a_n = e

4. Se a_n → a∈ℝ ⇒ lim_n→+∞ e^a_n = e^a

5) lim_n→+∞ (n² + 2/n²⁺¹)

(n² + 2/n²⁺¹) = (1 + -1/n + n²⁺²n/n²⁺¹) = (1 + -n^2-1 + n²⁺²) = (1 + 1/n²⁺¹)ⁿ

= [(1 + 1/n²⁺¹)^{(n - 2)}] = [(1 + 1/n₂₊₁)ⁿ²⁺¹] [(n/n₂₊₁) → e]

5. a_n = √n+1 - √n = √n (√1+1/n - 1) Forme ind.

6. √n+1 - √n = (√n+1 - √n)(√n+1 + √n) = n+1-n/√n+1 + √n → 0

6) (n²+eⁿ)(n+log_nn)/2+n²+√n = ?

n² + eⁿ o (eⁿ) + eⁿ√eⁿ n + log_nn = n + o(n) ~ n

2+n² + √n = n^{2+o(n2)n√n2}

n√eⁿ / n² n_n→+∞ a^m/n^x → +∞

7. ((-1)ⁿ+5) ((-1)ⁿ +n)(log_ne^-n) → ?

   [(-1)ⁿ + 5 = < 6 n pari u = 0]

   [(-1)ⁿ + n = n + o(n) ~ n]

   log_n - e^-n log_n = n + o(log_n) n]

   n² - log³ = n² + o(n²) ~ n²