Serie e successioni

N: numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...

Z: numeri interi -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Operazioni su N:

• ⁺: N x N → N
• X: N x N → N
• += proprietà: associativa
• commutativa
• 0: elemento neutro

(rispetto a ⁺) 0 + m = m

X: associativo

commutativo

1: elemento neutro

Proprietà distributiva

Operazioni su Z:

• ⁺:
• X:

l'oppio degli stessi assiomi (proprietà) di N

e inoltre

l'esistenza dell'opposto

∀ m ∈ Z ∃ m ∈ Z tale che m + m = 0

(Z, +) è un gruppo commutativo

(abeliano) verifica in più

Q: numeri razionali: ∈ / m ∈ Z &em>m ≠ 0

numeri decimali (finiti o periodici)

Mov: vedi l'operazioni

Gruppo su Z

Esclusione

^*: Z/ {0} -> Z/ {0} : inverso

sogono gesi assiomi di (corpo commutativo)

DEF: Un insieme k non è un parecombi quale ¬ k ^o

&isnbsp; presso anche opss + x suo ket

→ k e ∀ a ∈ ...

∘ ∀ a ∈ {0}

prodotto esterno a

k :   k → k

^{(1/4 9 )}

tale che la →

<.-(K={0}).-. (K={0})> (corpo commut.)

tale che

è detta campo - corpo commutativo

Su _N² ⊆ ℚ di avvio una relazione d'ordine (sono insiemi ordinati)Se esiste una relazione d'ordine su S è una legge che confrontay

Def (x ≤ y insieme dato) x ≤ y oppure y ≤ x(S è un insieme totalmente ordinato)Assiomi- Riflessione- Antisimmetrica - Transitiva x ≤ y e y ≤ x

S_N/Z_N = m/n (≡) m - n ⊂ i/NQuesta relazione S. (... sempre di ...) è estensiva al ℚ

Dato DEFSe (S, ≤ ) un insieme totalmente ordinato,T ⊆ S un sottinsiemex con un estremo (minbolo per sottinsieme)x ϵ S ed un mappante (rispettivamente MINORANTE) per T.(x ≤ z │∀ z ϵ T)

ex. T = N ⊆ S - ?1 - 2 - 0 1.. è mappante di Ninvece non ci sono mappanti di Nse esistesse tale x avrei che x ϵ N => x + 1 ϵ N ma x+1 ≯ x

DEFSe è () mappante (un MINORANTE) in S, diremo che T è limitato inferiormente (__ RISP. superiormente)insieme limitato -> non superiormente ed inferiormente

ex (m/n ϵ ℚ con m ϵ N - {0}) T ⊈ S ⊆ S زي_m - ... - ت ح ﹥

DEFIl sottoinsieme di (S, ≤) [totalmente ordinato] è un massimo seUn elemeto di T che ha un mappante di __ a destraTRASSSOUn elemento di T che non è un minorante di __

Per la تحميل ﹥ɫσinə炬 واضباء حﺮافظمة کاے•џسّ(إ¸ 丶) أثегда، د басية ٥אוס اعجاب 撇أ تهينحټ^x׳ (x Ле) a ɫныиiα歸 데لٹ

FORMULA DEL BINOMIO

(di NEWTON)

(a+b)^m = _k=0^m (^mC_k) a^m-k b^k

^mC_k = m (m-1) ... (m-k+1) / k!

= m! / [k! (m-k)!]

L_k coeff. binomiale

Oss.

^mC_k = n

Oss. valgono le seguenti formule

ⁿC_k = ⁿC_n-k

ⁿC_k + ⁿC_k-1 = ⁿ⁺¹C_k

NUMERI REALI:

Si rappresentano su una retta

SOTTINSIEMI DI R

- intervalli dati a, b ∈ R a < b

• [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} - chiuso
• ]a, b[= {x ∈ R | a < x < b} - aperto
• [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}
• ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

- semirette

• I_a = {x ∈ R | x ≤ a}
• I^a = {x ∈ R | x < a}
• I_a = {x ∈ R | x ≥ a}
• I^a = {x ∈ R | x > b}
• I^b = {x ∈ R | x ≥ b}
• I_b = {x ∈ R | x > b}

Dati due numeri reali posso calcolare la distanza

DISTANZA: lunghezza del segmento [a, b]

punto a distanza 1 da a aⁿ≠ 1

punto a distanza 1 da a [0,1[

VALORE ASSOLUTO :

il modulo di un numero reale

|x| = {x x ≥0

-x x < 0

Punti a distanza ≤ 1 da a [a-1, a+1]

[0-1, 0+1] = {x ∈ R | |x-a| ≤ 1}

Dimostrazione:

se x ≥ 0 x-0

se x < 0 x-1 ≤ 0 ≤ T

x-a ≤ a+1 x-0 = a+1

Andempotente

[0-1, 0+1] = {x ∈ R | |x-a| ≤ 1}

limitata superiormente da 1

cerca sup ε R

es.

monotona crescente e limitata superiormente

1. monotona

dove

perciò il primo è minore del secondo

2. limitata

Proprie

Si dimostra che ε Q

log₁/m - log_m = - (log_m)²/m - (log_m)²/√_m

-log_m

Quindi lim_m→∞

lim_m→∞

log₁/m log_m

Quindi log_m/m e¹

0

1

es. a > 0

lim_m→∞ a^mm²m^-m(-1)¹m^a

2^m + m³

1. a > 1
2. 0, a = 1

a₁ a_c1

lim_m→∞ (1 - m^a122^-m(-4)^mm⁴/a^m)

1 - m^a2m2

= (m_4m + m²)(a^12m, (-1)^mm²/a^m5)^-∞)

= a^m (1 + m^a120^2m)

-∞

1. a = 1

1 - m₂ + ((-1)¹m¹n^-mm_2⁵/a_m^2m)

es. ^{m-βmc₁m₂}