Serie e successioni

N

naturali

Z

interi relativi

Operazioni in

N:

(&mn, p)

x : N x N

p 1

: proprietà:

associativa

commutativa

₀ é elemento neutro (rispetto a +) 0 + m

x proprietà:

associativa

commutativa

₁ : elemento neutro 1 x n

proprietà:

distributiva

operazioni su

Z

vogliono gli stessi assiomi (proprietà) di

N

+

∈ m ∈ Z tale che m + m= ∈

( m= - m )

(Z,+) é un

gruppo commutativo (ABELIANO)

anello

Q

razionali

sono i numeri decimali finiti o periodici

le

operazioni

+ :

Q

Q

Q

si impiccione

vogliono gli stessi assiomi di

N

gruppo commutativo

involve la denominazione

Q

DEF: A fimearei

K

core adella propria altra due x :

K

K

foro che (

)

gruppo commutativo

si detta

CAMPO

GRUPPO COMUTATIVO

N

numeri naturali 0,1,2,3.

Z

numeri interi relativi ...,2,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3

Operazioni in N:

• + :N x N ➔ N

(m,n) ➔ m + n

• x : N x N ➔ N

(m,n) ➔ m x n

• + proprietà: associativa m+(n+p) = (m+n)+p
• commutativa m+n = n+m
• 0 è elemento neutro (rispetto a +) 0 + n = n

• x proprietà: associativa (m x n) x p = m (n x p)
• commutativa mn = nm
• 1 è elemento neutro 1 x n = n
• proprietà distributiva n (m + p) = nm + np

Operazioni su Z:

• + : Z x Z ➔ Z
• x : Z x Z ➔ Z

valgono gli stessi assiomi (proprietà) di N e inoltre l'esistenza dell'opposto per +

∀ m ∈ Z ∃m ∈ Z tale che m + m = 0

(m = -m ➔ m = -1m)

(Z,+) è un gruppo commutativo (abeliano)

Q

numeri razionali :

m/n, m,n ∈ Z m ≠ 0

in termini decimali finiti o periodici

Le operazioni in Q sono:

• + : Q x Q ➔ Q;
• x : Q x Q ➔ Q;

in più valgono gli stessi assiomi di H

Q/ (Z) + (x) gruppo commutativo

inoltre l'inverso ∀ app 0 ∃ Q tale che (-x)

in questo elemento: a/b x n/a = 1

DEF. Un insieme K con le operazioni +, x si dice

anello se valgo le proprietà (sottointese) {+ : K x K ➔ K}

• x : K x K ➔ K

tale che (K,+) gruppo commutativo (K=0) (=1)

si detta campo - corpo commutativo

Su _{, 2} ⊆ ℚ di anche una relazione d'ordine (sono insiemi ordinati)

Se un insieme _s una relazione d'ordine, in S c'è una legge che confronta

^{solo se} si x, y

Successione ( S , ℓ ): insieme totalmente ordinato,

T ⊆ S un sottoinsieme

(limitatore o estremo )

se Y ∈ S se Y ∈ T (risp. X ∈ Z ∀ X ∈ Z ∀ x ∉ T )

ex. ℤ ⊆ ℚ

non max , min da { 0,1 } = 2T Q ⊆ S

superiamo per n ∈ N: non trova max n vero minorante

0 ⊆ { 1 , 0 } D ∃ T

ex. T = ℕ C ≤ S : Z

-1 è max ℕ

-2

I sottoinsiemi di (S, ≤ ) totalmente ordinato ,

per un massimo se un elemento di T che se un minorante di l'elemento di x ∈ Z

per antisimmetria di _≤

( x = l max/min è unico

Se ^x,x' sono due massimi x ∈ T ( x ) x ,

→x ∈ T

( x' è un maggionale )

⇒x = x'

ex.

1 _nm+1 e 1

elevato l'infinitamente 1

tuttavia non ha un minimo

DIMOSTRAZIONE per assurdo -> ₁/m_o - minimo con m _∈ N − {0}

assurdo perché ₁/_mo+1 < ₁/m_o (non vale)

-> peccato! Non abbiamo un minimo

altrimenti S ammette un estremo ESTREMO INFERIORE inf (T)

se l'insieme dei minoranti ammette un massimo sup (T)

ESTREMO INFERIORE = MASSIMO DEI MINORANTI = inf (T)

ESTREMO SUPERIORE = MINIMO DEI MAGGIORANTI = sup (T)

T = ₁ ∗ _{m ∈ N − {0}} }

T ⊃ 0 mentre min (T) non esiste

∈ a(dominanti di T -> a_x ≤ 0

N c Z c Q

(Z,+ ) gruppo commutativo

(Q,+