Serie e successioni

N

numeri naturali 0, 4, 2, 3.

Z

numeri interi relativi -2, -4, 0, -1, 2, 3

Operazioni in N:

+ : N x N -> N

(m, n) -> m + n

x : N x N -> N

(m, n) -> mn

• Proprietà associativa
• commutativa
• elemento neutro

• Elemento neutro

• Proprietà associativa
• commutativa
• Elemento neutro
• Distributiva

Operazioni su Z:

• + : Z x Z -> Z
• x : Z x Z -> Z

Gli stessi assiomi

Q

numeri razionali

Le operazioni

• + : Q x Q -> Q;

DEF

Un insieme

N

numeri naturali

• 0, 4, 2, 3, ...

Z

numeri interi relativi

• ...,-2,-4,0,+1,+2,+3...

Operazioni in N

• +

N x N → N

m,n ∈ N

(m+n) ∈ N

• x

N x N → N

(m,n) → m x n

Associativa: m+(n+p) = (m+n)+p

Commutativa: m+n = n+m

Elemento neutro: 0 + n = n

Associativa: (m . n) . p = m (n . p)

Commutativa: n . m = m . n

Elemento neutro: 1 . n = n

Distributiva: m (n + p) = m . n + m . p

Operazioni su Z

• +

Z x Z → Z

• x

Z x Z → Z

• Stessi Assiomi di IN

esistenza dell'opposto

• Opposto e' -m → m + (-m) = 0

(Z, +) è un GRUPPO COMMUTATIVO (ABELIANO)

• negativo si può

Q

numeri razionali

m

m,n ∈ Z m ≠ 0

• numeri decimali finiti o periodici
• Le operazioni in Q
• +

Q x Q → Q

• Associativa
• Stessi assiomi di N e Z (O+) (O . t)

(Q-{0},. ) e' un gruppo rispetto alla non dipendenza di un identità elemento in Q → [o]

• + : Q x Q → Q

0, x, 1, e Q,[o]-{0}

Un insieme K con due operazioni +, x si chiama:

• rispt le coppie alterne che K x K → K
• + : K x K → K

tale che (K, +), gruppo commutativo e (K-{0}) , gruppo commutativo

è detta CAMPO - CORPO COMMUTATIVO

Su _N, _Z ⊆ ℚ c’è anche una relazione d’ordine (sono insiemi ordinati).

Se un insieme ammette una relazione d’ordine su sé è una legge che confronta

gli elementi suoi.

Def

(X, ≤) Se è un insieme ordinato x ≤ y oppure y ≤ x

(≤ è un’insieme con una legge d’ordine)

Axiom:

• Riflessività
• Antisimmetrica: x ≤ y, e y ≤ x —> x=y
• Transitiva: se x ≤ y e y ≤ z —> x ≤ z

Su _N, _Z, m ≤ m ⟺ m - m ϵ _N

Questa relazione si estende a ℚ

Dato def

Sia (S, ≤) un insieme totalmente ordinato.

T ⊆ S un postoinsieme.

Ø contenuto (rivolto sc moto insieme)

x ϵ S e un maggiorante

(rispettivamente minorante) per P

se ∀ y ϵ S y ≤ x ∀ y ϵ T (risp. x ≤ z ∀ z ϵ T)

ex. T=_N ⊂ S- ℤ

• -2 è maggiorante di N
• 0 è minorante di N

Invece non ci sono maggioranti ∩-elemento di x ϵ ℤ | x n≤ x ∀ n ∈ _N}

se intesimo tale x deve che x ϵ _N => x + 1 ϵ _N però x + 1 ≠ x

Def

Se D ammettere un maggiorante (risp. minorante) in S, diremo che (T

limitato superiormente (risp. inferiormente)

insieme illimitato = non supremamente nè infimamente

ex _n ϵ _ℤ con m ϵ _N = {0, 1} T ⊂ S

Q = _S

maggiorante m ϵ _Q sup (1 ≤ ∀ m ϵ _N)

m mod prove per m m ≤ 0 trova

minoreante 0 ≤ 1 ∀ m ϵ _N = {so} 0 ^U T

Def

il sottoinsieme di (S, ≤), totalmente ordinato t

un basamento (pos= massimo se

un elemento di t che non maggiore di ≤ x detto

massimo

un elemento di t che non è minimo di _em dato

R _en

Per la definizione antisismetria di ≤ => max/min è unico x

Se x, x’ sino due massimi per t allora x ≤ t _L x _x’

(x’ ≤ e maggiore x’)

=> x = x’

ex. _N ⊂ ℤ ha un minimo 0

ex. {¹⁄_m ∈ ℚ | m∈ℕ-{0}} ⊂ ℚ ha un massimo 1

elevato 1 superiore

tuttave non ha un minimo

dimostrazione per assurdo ⟹ ¹⁄_m0 = minimo con m ∈ ℕ ≠ 0

assurdo perchè ¹⁄_m0+1 <