Serie e successioni

N numeri naturali 0, 1, 2, 3, ...

Z numeri interi relativi ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3

Operazioni su N: + : N x N -> N

X : N x N -> N

(n, m) -> n x m

* proprietà: associativa (n, m, p) -> (n x m) x p

commutativa

elemento neutro (rispetto a *) 0 + n = n

x proprietà: associativa (n, m, p) -> n (m x p)

commutativa n m = m n

1: elemento neutro 1 x n = n

proprietà distributiva

operazioni su Z: + : Z x Z -> Z

x : Z x Z -> Z

valore degli stessi assiomi (ripetuti) di N e inoltre esistenza dell’opposto per +

(Z, +) è un GRUPPO COMMUTATIVO (ABELIANO)

noti i più

Q numeri razionali:

[] con m, n, m, n ∈ Z m ≠ 0

si ammetti il decimale finito e periodico

le operazioni si estendono a:

+ : Q x Q -> Q, +:

x : Q x Q -> Q, x:

valgono gli stessi assiomi di N e Z: (Q, +) è un gruppo commutativo

un guida per notevoli interi: Q - (Z\{0}) è un gruppo rispetto alla moltiplicazione

DEFI: Un insieme K con due operazioni x e +.

Rispetta alcune proprietà: K -> K

x : K x K -> K

tale che (K \ {0K}, x) gruppo commutativo (K, +) gruppo commutativo

Su _N ⊆ _Q ci sono anche una relazione d'ordine (sono insiemi ordinati).

Se in un insieme una relazione d'ordine su S è una legge che confronta

(∀_x,_y ∈ S)

x ⊆ y sse ⋚ sse x = y oppure y ⊆ x

(S è un insieme dato, x e y coppie, y ⊆ x)

Assiomi (fine su tutte linee e ordinato)

• Riflessiva

• Antisimmetrica (risp. ordine)

• Transitiva

( ?e... allora x = y

Sulla stessa retta)

Su _ℤ/_ℤ m/m-m∈_N (m=m)

Questa relazione si estende al _ℚ

Def Se (S, ⊆) un insieme totalmente ordinato, T ⊆ S un sottoinsieme

(S conuvoto (minimo per sottoinsieme).)

x ∈ S è un maggiorante (rispettivamente minorante) per ⊆-T

Se y (x ⊆ y e x ⊆ T (risp. x ⊆ z ∀z⊆T))

ex. _ℤ⊆_ℕ ⊂ S-?

• 1
• 2
• 0

invece non ci sono maggioranti _ℕ?(elemento di x ∈_ℤ, x ∀ n∈_ℕ, x ∀ m∈_ℕ)

Se esistesse tale x avere che x ∈_ℕ⇒x+1∈_ℕ però x+1 ∉ x

Def Se m/a mappante (rap. min/amente) in S, diremo che T ⊂ limitato mappicone utile (risp. impermeabile)

insieme limitato ⇒ non supervisionante ben mappionante

ex (1/_ℚ⊂_ℚ con m∈_ℕ{0})⊂T ⊂S

(m)

mappionante 1 ∈_ℚ (mapp.)

(1 ≤ 1 ∀m∈ℕ{0})

m

Stuccatrice per N ma trova m∈m vero

minimante 0 ≤ 1 ∀m∈ℕ-{b^1} D/oT

m

Def Il sottoinsieme di (S, ⊆) totalmente ordinato T è un rassunto se

Un elemento di x che sia mapporre di x è detto rassunto

Un elemento di x che non è minorante di i dato x detto

Per la proprietà antisimmetrica di ⊆ ⇒ max/min è unico,

Se x',x'' sono due massimo per axia, a _x∈T s.a.

(x' ≤ x mappante) (x''⊆ x misteriosamente)

⇛ x = x'

Formula del Binomio (di Newton)

(a+b)^m = _k=0^{m m}C_k a^m-k b^k

^mC_k = m (m-1) ... (m-k+1) / k!

= ^m! / ^k!(m-k)!

L.Coeff Diceto Binominale

Valgono Le Seguenti Formule

^mC_k = ^mC_m-k

^mC_k + ^mC_k-1 = ^m+1C_k

Numeri Reali

Si rappresentano su una retta

Sottoinsiemi di R

• Intervalli
• [a,b] = {x∈R | a∝ x∝ b} - chiuso
• ]a,b[ = {x∈R | a