Storia Della Matematica, Analisi matematica I

Appunti del corso di storia della matematica

Corso di laurea in matematica

Università di Catania
Docente: Prof.ssa M.F. Mammana
Dispense di M. Di Mari

Indice argomenti

• Origini
  • Babilonesi
  • Egiziani
• Greci
  • Scuola ionica di Talete
  • Scuola di Pitagora
  • Scuola eleatica
    • 1° Paradosso: Dicotomia
    • 2° Paradosso: Achille e la tartaruga
    • 3° Paradosso: Freccia
    • 4° Paradosso: Stadio e file mobili
  • Scuola dei sofisti
  • Accademia di Platone
    • Eudosso
  • Liceo di Aristotele
  • Euclide e gli Elementi (Libro da I a XIII)
  • Archimede
• Origini e sviluppo dell'algebra classica
  • Algebra egiziana
  • Algebra babilonese
  • Algebra greca (periodo classico)
  • Algebra greca (periodo alessandrina)
    • Erone
    • Nicomaco
    • Diofanto
• La matematica degli Hindu e degli Arabi
  • Gli Hindu
  • Gli Arabi
• Periodo medievale europeo, Fibonacci
• Il Rinascimento
  • Cardano
  • Sviluppi sull'equazioni di 3° grado
  • Equazioni di 4° grado
• Geometrie non-euclidee
  • Geometria iperbolica
  • Geometria ellittica

Origini

La nascita della matematica intesa come disciplina è avvenuta in seguito all'entrata in scena dei Greci nel periodo classico compreso tra il 600 e il 300 a.C. Prima di tale data alcune civiltà hanno iniziato a porre delle basi, seppur rudimentali, della matematica intesa più come mezzo per risolvere dei problemi strettamente legati ad una necessità, come calcolare l'area dei campi, registrare il tempo in relazione al susseguirsi del giorno e della notte, il commercio.

Babilonesi (2.000 a.C. – 538 a.C.)

Nel 3.000 a.C. nella regione della Mesopotamia si insediarono i Babilonesi che, seppur con molte limitazioni, iniziarono a dare i primi input per l'avvio di un processo che avrebbe raggiunto il culmine con i Greci. Con il termine "Babilonese" si è soliti indicare le popolazioni che occuparono l'area situata tra due fiumi, il Tigri e l'Eufrate e nelle zone limitrofe, meglio conosciuta come Mesopotamia.

Erano soliti riportare le loro scoperte in tavolette di argilla, un materiale molto resistente che ci ha permesso di poter godere ancora oggi delle loro scoperte. La più importante è quella del 1950 a.C. risalente al Re Hammurabi che testimonia la risoluzione di equazioni di secondo grado. I maggiori contributi dati alla matematica furono:

• Utilizzo di simboli per indicare i numeri. Gli akkadi utilizzavano uno stilo a sezione triangolare che, poggiato su una tavoletta d'argilla, creava un simbolo simile ad un triangolo il quale, in base al numero e alla sua disposizione, indicava un preciso valore numerico. Questo tipo di scrittura venne chiamata "scrittura cuneiforme".
• Uso di un sistema di numerazione a base 60 e posizionale. Non usavano solo la base 60 ma prediligevano quella possibilmente permutata dal sistema di misurazione del peso.
• Consideravano le frazioni come degli interi, cioè per loro le frazioni misuravano una quantità e non le consideravano come divisioni di un'unità in parti.
• Dividevano un numero intero per un altro, un processo che corrisponde a moltiplicare per il suo reciproco e in questo contesto venivano usate le frazioni.
• Convertivano i reciproci in decimali sessagesimali. Per frazioni sessagesimali si intendono numeri minori di 1 espressi mediate le inverse delle potenze di 60 ma con denominatori sottintesi.
• Avevano delle tavole che esprimevano i quadrati, le radici quadrate, i cubi e le radici cubiche.

Iniziarono a curare l'aspetto astronomico per stabilire le stagioni, etc. Il calendario veniva tenuto dai sacerdoti.

Egiziani (5.000 a.C. - 500 a.C.)

Rispetto ai Babilonesi, la loro matematica è meno 'complessa' e scrivevano nei fogli di Papiro che, rispetto all'argilla, erano più soggetti al deterioramento nel tempo tant'è che pochissimi testi del tempo sono pervenuti a noi. Ricordiamo i seguenti:

• Papiro di Mosca: scritto nel 1850 a.C. Contiene 25 problemi;
• Papiro di Rhind: scritto nel 1650 a.C. Ha preso il nome dallo scopritore inglese Henry Rhind che lo riportò in vita nel 1858. Viene anche chiamato Papiro Ahmes in onore del suo autore. Contiene al suo interno 85 problemi che venivano enunciati ed esposti con la soluzione senza però giustificare come li avevano risolti e, per questo motivo, si pensa possa essere un testo dato da un insegnante ai propri alunni o un quaderno di appunti di un alunno.

Gli egiziani erano soliti usare dei disegni per rappresentare i numeri, chiamati geroglifici, e gran parte di essi sono documentati perché trascritti in grotte non soggette al deterioramento come i fogli di Papiro. Gli egiziani usavano la matematica per risolvere i problemi dovuti allo straripamento del fiume Nilo, unica fonte di prosperità del situ.

Era necessario ridefinire i confini delle proprietà e, soprattutto, prevedere lo straripamento del fiume al fine di poter spostare le abitazioni ed iniziare a piantare tutto. Fu per questo che iniziarono ad interessarsi all'astronomia e consideravano ogni anno con 365 giorni e ogni mese con 30 giorni, ma sbagliavano perché non avevano ancora conoscenza del mese di 29 giorni. Anche in questo caso il calcolo dei giorni veniva eseguito da un sacerdote.

Gli egiziani usavano l'astronomia anche per la costruzione delle Piramidi; sceglievano i posti in modo che, alle 12 del giorno il sole potesse entrare dentro l'altare e illuminare tutto il contenuto della piramide. Davano molto importanza alle dimensioni della base delle piramidi. Tuttavia, l'astronomia egiziana era molto rozza rispetto all'astronomia babilonese, così come anche l'aritmetica che era prevalentemente additiva.

• Trovarono la formula per calcolare il volume di un tronco di piramide;
• Si avvicinarono molto al valore del pi greco.

Riassumendo l'epoca babilonese ed egiziana: Mancano simbolismo, astrazione, dimostrazione. Scoprirono rudimenti algebrici, aritmetica degli interi e delle frazioni, primi enunciati di geometria (la somma degli angoli interni ad un triangoli era un angolo retto, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, l'area di un parallelogramma è uguale a quello di un rettangolo avente stessa base e altezza).

Greci

Sono stati i primi a dare il carattere attuale alla matematica di quei tempi. Hanno sostituito i geroglifici con l'alfabeto fenicio che gli ha permesso di poter segnare tutte le scoperte che hanno effettuato. Purtroppo non abbiamo nessuno scritto dell'epoca perché tutti i papiri sono andati perduti, ma riusciamo a dedurre qualcosa attraverso altri manoscritti bizantini scritti da 500 a 1500 anni dopo la composizione delle opere originali.

Le opere più importanti che ci parlano dei risultati greci sono principalmente due:

• Synagoge o Collezione matematica di Pappo;
• Commentario di Proclo.

Per poter analizzare al meglio le scoperte greche, bisogna suddividere il lasso temporale in due periodi, esattamente:

• Dal 600 al 300 a.C.: periodo classico;
• Dal 300 a.C al 600 d.C.: periodo alessandrino o ellenistico.

Tutta la matematica del periodo greco si è sviluppata in numerosi centri (scuole) che riprendeva il lavoro fatto dalle scuole precedenti.

Scuola ionica di Talete

Fu la prima scuola fondata in Grecia, esattamente a Mileto, città dell'Asia Minore (attuale Turchia) tra il 600 a.C. e il 546 a.C. per mano di colui che si può descrivere come il primo vero filosofo: Talete. Tra i suoi allievi possiamo ricordare Anassimandro, Anassimene, Anassagora e anche, probabilmente, Pitagora. L'interesse nutrito da Talete per la matematica è solo di carattere pratico, infatti a lui dobbiamo il calcolo dell'altezza delle piramidi paragonando le ombre lasciate sul terreno con quelle lasciate da un bastone di altezza nota. Calcolò anche la distanza tra una nave e la riva. Proprio grazie a questo suo interessamento per la matematica pratica, viene considerato il padre fondatore dell'impostazione deduttiva della geometria. A lui infatti vengono attribuite delle importanti scoperte:

• Un triangolo inscritto a una semicirconferenza è rettangolo;
• Un cerchio è dimezzato da un suo diametro;
• Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali.

Riprese gran parte delle opere dei babilonesi ma le rese astratte.

Scuola di Pitagora

Venne fondata a Crotone, nell'Italia Meridionale, tra il 585 a.C e il 400 a.C. . Si pensa che egli fu un allievo di Talete. Questa scuola, a differenza di quella ionica, aveva un carattere più formale in quanto il numero di membri era limitato e tutti vivevano all'interno della scuola stessa. Per i Pitagorici la filosofia (amore per il sapere) e la matematica (ciò che si impara) erano basi morali della vita umana. Con loro la matematica inizia a prendere le sembianze attuali perché la separano da ciò che è empirico (quindi facilmente riscontrabile nella vita di tutti i giorni) per dargli un carattere più astratto, tant'è che vedono i numeri e le figure geometriche come unità ospitate dalla mente che non hanno nessuna rappresentazione nel mondo fisico.

Per loro tutto è numero e li chiamano MONADI (rappresentati da un puntino come il simbolo della moltiplicazione) e considerano solo i numeri interi, loro intendevano il mondo definito dai numeri, così come noi oggi lo intendiamo definito dagli atomi. Le monadi dovevano essere disposte in modo da formare delle figure e, proprio grazie a quest'aspetto, chiamavano alcuni numeri quadrati (4,9,16) o triangolari (3,6,10) e scoprirono che ogni numero quadrato è somma di due numeri triangolari.(Facendo gli orlati otteniamo ancora due numeri quadrati, cioè dati n elementi, se aggiungo 2n-1 elementi ottengo ancora un numero quadrato.) Il num. 10 per loro era privilegiato perché formato da 4 punti su ogni lato e per loro il 4 era un altro numero favorito.

Introdussero altre caratterizzazioni dei numeri:

• Numero perfetto: se si ottiene sommando i suoi divisori, escluso sé stesso;
• Numeri amici: se si ottengono sommando i divisori dell'altro (284, 220);
• Numeri maschili e femminili: se sono pari o dispari;
• Numeri eccessivi: superavano la somma dei loro divisori;
• Numeri difettivi: erano inferiori alla somma dei loro divisori.

Diedero anche dei significati ai numeri stessi:

• 1: ragione;
• 2: opinione;
• 3: ragione + opinione = armonia;
• 4: primo quadrato perfetto, giustizia (da qui ha origine il detto “far quadrare i conti”);
• 5: numero del matrimonio.

Quadrato magico:

Significa quindi che sommando tutti i numeri sia in colonna che in riga otteniamo sempre 34. Sommando anche i numeri agli angoli (13,16,1,4) otteniamo ugualmente 34.

I segmenti li considerano ottenuti come somma di nomadi, quindi due segmenti hanno un sottomultiplo in comune. Studiano i numeri primi, le progressioni e i rapporti e proporzioni che loro considerano belli. Trovarono i seguenti valori, partendo da numeri:

• Media aritmetica: ^p+q/₂
• Media geometrica: ^√pq
• Media armonica: è il reciproco della media aritmetica di ^1/p e ^1/q, ovvero: ^2pq/_p+q

Si vede pertanto che G è la media geometrica di A e di H. La proporzione A/G = G/H veniva detta proporzione perfetta, mentre la proporzione p:q = 2p+q veniva chiamata proporzione musicale. I greci si ritrovarono dei rapporti che non potevano essere espressi con numeri interi, come per esempio il rapporto dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con uno dei cateti o il rapporto della diagonale con il lato di un quadrato. Questo aspetto della loro matematica li mise in crisi al punto da definire commensurabili i rapporti espressi da numeri interi e gli altri invece incommensurabili.

La scoperta dei rapporti incommensurabili è stata attribuita ad Ippaso da Metaponto. Arrivarono così a dimostrare per assurdo che √2 è incommensurabile. Se √2 è rapporto di due interi allora possiamo scriverlo come con coprimi. Segue che (*). In (*) poiché è pari segue che è pari e sono coprimi, giungiamo ad un assurdo. Questa loro scoperta non venne divulgata al di fuori della loro scuola, il problema verrà superato con Eudosso nella Teoria delle grandezze.

Scuola eleatica

Si sviluppò ad Elea e analizzò il problema lasciato dai Pitagorici in merito alla scoperta dei rapporti incommensurabili. Si posero quindi il problema del DISCRETO e del CONTINUO e arrivarono a dire che le lunghezze, le aree, i volumi, il tempo e le altre quantità sono continue, mentre invece i numeri interi sono oggetti discreti. Questo problema venne portato alla luce proprio da uno dei massimi esponenti di questa scuola, Zenone. Per argomentarlo creò 4 paradossi tutti relativi al movimento (uno degli argomenti più in voga ai tempi di Zenone), ovvero la natura dello spazio e del tempo. C'erano due dottrine di pensiero:

• Considera lo spazio e il tempo indefinitamente divisibili, con un movimento continuo e liscio;
• Considera lo spazio e il tempo come costituiti da piccoli intervalli indivisibili, il movimento quindi è una successione di piccoli balzi.

Con i primi due paradossi Zenone va contro la prima dottrina, con gli ultimi due va contro alla seconda. Inoltre, il primo paradosso di ogni coppia riguarda il movimento di un singolo corpo, il secondo paradosso di ogni coppia invece considera il movimento relativo dei corpi.

Il primo paradosso: La dicotomia

"Il primo asserisce la non-esistenza del movimento sulla base del fatto che ciò che è in movimento deve arrivare a metà strada prima di arrivare alla meta".

Consideriamo un segmento AB e consideriamo anche il punto medio di tale segmento, chiamato M. Per percorrere AB devo necessariamente passare per il punto M. Considerando adesso il segmento che abbiamo appena percorso, ovvero AM, possiamo facilmente calcolare il proprio punto medio C. Iterando questo ragionamento conveniamo che il segmento (una lunghezza finita) è costituito da un numero infinito di punti che non è "percorribile" in un tempo finito, cioè è impossibile coprire una lunghezza finita in un tempo finito. Pertanto non esiste il movimento.

Il secondo paradosso: Achille e la tartaruga

"Esso dice che l'oggetto che si muove più lentamente non può essere superato da quello che si muove più velocemente perché l'inseguitore deve arrivare prima al punto da cui è partito l'inseguito, cosicché il più lento è necessariamente sempre davanti. L'argomento è simile a quello della 'Dicotomia', ma la differenza sta nel fatto che non si dividono a metà le distanze che devono essere superate".

Il terzo paradosso: la freccia

"Il terzo paradosso di cui egli (Zenone) parla è che una freccia che si muova è in posizione di arresto. Questa conclusione la trae dall'assunzione che il tempo sia costituito da istanti. Se non fosse per questa supposizione non vi sarebbe tale conclusione".

Zenone dice quindi che la freccia in ogni istante del suo movimento occupa una posizione definita e quindi è ferma.

Il quarto paradosso: lo stadio o le file mobili

"Il quarto è l'argomento concernente un insieme di corpi che si muovono su una pista da corsa e che superano un altro insieme di corpi uguali di numero e che si muovono nella direzione opposta, gli uni partendo dalla fine, gli altri dalla metà ed entrambi muovendosi alla stessa velocità. Egli (Zenone) conclude che ne segue metà del tempo è uguale al doppio del tempo. L'errore consiste nell'assumere che due corpi che si muovano alla stessa velocità impieghino tempi uguali nel superare, l'uno un corpo che sia in movimento e l'altro un corpo di uguale grandezza che sia in quiete, assunzione che è falsa".

Per capire questo paradosso bisogna supporre di avere 3 file di soldati che chiameremo A, B, C e che nell'unità di tempo minima B si muova di una posizione verso sinistra, mentre nello stesso tempo C si muova di una posizione verso destra. Rispetto a B, C si è mosso di due posizioni. Se però consideriamo un'unità di tempo diversa, possiamo trovare un istante in cui C si è mosso di una unità rispetto B. Possiamo quindi dividere il tempo proprio com'è stato fatto nel primo paradosso.

Un altro esponente eleatico fu Democrito che scrisse opere sul numero e sulle linee, sulla geometria e sui solidi continui. Tra le sue scoperte ricordiamo il calcolo del volume del cono: 1/3 Un cono ha volume pari ad 1/3 del volume del cilindro che ha la stessa base e altezza. Democrito considerava il cono come una serie di sottili strati indivisibili paralleli alla base. Se le sezioni adiacenti erano uguali allora si otteneva un cilindro, altrimenti si giungeva all'infinito.

La scuola dei Sofisti

È la prima scuola fondata ad Atene intorno al 400 a.C.