Storia Della Matematica, Analisi matematica I

HMK

Sia K il piede della perpendicolare a CD passante per M. è retto perchè il

quadrilatero HBKM ha 3 angoli retti è la somma degli angoli interni è 4 retti.

retto

α+β=

AKM è triangolo rettangolo (la somma degli angoli è 2 retti)

→ retto

γ+δ=

MKC è triangolo rettangolo →

̂

AMC ̂

HMK

β+γ=retto perchè è 2 retti e

α=γ

β=δ

Allora segue che e e i triangoli AMH=MCK AH=KM (per la p.5) =HB

→ →

AH=HB.

Supponiamo di essere nel caso 2. ̂

HMK

Consideriamo K il piede della perpendicolare passante per M. è acuto perchè HBKM

ha 3 angoli retti e la somma dei suoi angoli è minore di 4 retti. Consideriamo il triangolo

retto

α+β<

AHM rettangolo, la somma dei suoi angoli è minore di 2 retti →

retto

γ+ δ<

Consideriamo MKC rettangolo →

̂

MHA

ρ = =̂

1

̂ MHC

ρ

HMK retti

β+γ+ρ=2

=ρ

Poniamo 2

retti

α+β+ρ <2

1 retti

γ+δ+ρ <2

2 retti

β+γ+ρ=2 γ+δ+ρ <β+γ+ρ δ<β MK<AH

→ →

2

per la 5) MK>HM quindi segue che HB<AH ad angolo maggiore opposto lato maggiore.

Il caso 3 si risolve in modo analogo. 71

A A

AB AC AB

10) Siano e 2 rette incidenti. Siano punti di tale che

1, 2

AA A A A A

= = =…

1 1 2 2 3

H H …

Siano i piedi della perpendicolare ad AC condotte rispettivamente da

1, 2,

A A :

1, 2,... AH H H

=H =H =…

1. se vale l'ip.ang.retto → 1 1 2 2 3

AH H H

<H <H <...

2. se vale l'ip.ang.ottuso → 1 1 2 2 3

AH H H

>H >H >…

3. se vale l'ip.ang.acuto → 1 1 2 2 3

11) Nell'ipotesi dell'angolo retto è dell'angolo ottuso vale il postulato

dell'obliqua. Così arriviamo alla confutazione dell'angolo ottuso perchè nella

13) L'ipotesi dell'angolo ottuso è falsa perchè distrugge se stessa.

Ip.ang.ottuso post dell'obliqua V postulato S=2 retti Assurdo

→ → →

S> 2 retti Assurdo

l'ipotesi dell'angolo ottuso è falsa.

Dimostrazione 11.

Ipotesi angolo retto

Ipotesi angolo ottuso

Proviamo che AB e CD si incontrano.

A H A

Sia su AB e il piede della perpendicolare ad AC per

1 1 1

n AH AC

>

Per una prop del libro 5 di Euclide 1 A … , A H , H

Prendo su AB n punti equidistanti tra loro . Restano individuati per

→

1, n 1,... n

AH H H

=…= −1

la 10: - se vale l'ip.ang. retto 1 n n

AH H H

>…> −1

- se vale l'ip.ango. ottuso 1 n n

AA H H AA H

Consideriamo il triangolo che è rettangolo in . CD è interno a per

n n n n n

questione di continuità CD incontra AB e quindi vale l'ipotesi dell'obliqua.

Per l'ipotesi dell'angolo acuto è più difficile.

Consideriamo r, s rette incidenti. Distinguiamo due casi: r ∩s=P

r,s non ammettono una perpendicolare comune: perchè se e

1. A=t∩r B=t ∩s

per assurdo t fosse perpendicolare a s. Sia . Il triangolo

̂

A

ABP è tale che la somma degli angoli interni è maggiore di due retti ( ,

̂

B retti) contro l'ip dell'ang. acuto.

r,s rette incidenti r,s divergono (all'infinito si allontanano

2. →

sempre di più).

Siano M e C due punti di s : PM=MC. Siano H e D i piedi delle

perpendicolari a r passanti rispettivamente per M e C.

Si ha CD>2MH.

Supponiamo per assurdo che CD<2MH.

Sia K un punto sul prolungamento di MH, dal lato di M tale che MH=MK CD<HK. Sia E

→

̂ ̂

HEC ECD

su HK : HE=CD. HECD è q.b.i. di base HD e sono uguali, per ip.ang. acuto

→

sono acuti. ̂

̂

PMH KMC

=

Consideriamo i rettangoli KCM e PHM (PM=MC, HM=MK, KMC=PHM

→

=̂ ̂ ̂

̂

PHM MKC MKC HFC

(triangoli). retto ossia è acuto per il teorema dell'angolo

→ →

esterno, che è valido a prescindere dal V postulato, quindi anche nelle ipotesi dell'angolo

72

̂ ̂

HEC MKC

>

acuto, acuto>retto.

Se per assurdo CD=2MH. Il ragionamento sarebbe uguale ma si avrebbe E=K.

̂ ̂

HEC KCD

=

Il quadrato HDCK è birettangolo isoscele di base HD acuti.

→

=̂ ̂

̂

PHM MKC MKC

Considero i triangoli PHM e MCK uguali è retto ossia è acuto.

→ →

r ∩s≠∅

 r,s rette : Esiste una perpendicolare a r P'Q che non incontra S

la proiezione di S su r (nell'ipotesi dell'angolo acuto) è un

→

segmento aperto PP'.

r ∩s=∅

 r,s rette : Siano A,B in r e siano C,D i piedi delle ̂

̂ DBA

CAB β=

α=

perpendicolari ad s condotte da A e B. Siano e la

retti

α+β<2

somma degli angoli interni < 4 retti, cioè

α≤β

Sia , può accadere che:

β

1) acuto, retto

α β

2) acuto, ottuso

α β

3) acuto, acuto

α

caso 1): esiste una perpendicolare BD comune a r,s.

̂

DBE

Caso 3): è ottuso man mano che avvicino B ad A tracciando la perpendicolare,

→

l'angolo DBE da ottuso passa ad acuto (quando coincide con A), allora ci sarà una

posizione B' in cui è retto esistono B' D' perpendicolari a r,s.

→

Caso 2): possono verificarsi due casi, esiste la perpendicolare comune a r,s, (rette ix

parallele) oppure r,s, non hanno perpendicolari comuni e sono asintotiche, cioè all'infinito

la loro distanza tende a 0, (rette parallele).

Saccheri fa vedere che esistono rette di questi tipi.

A∉r

Consideriamo una retta r e . Sia O il piede alla perpendicolare a r condotto per A. Sia

̂

OAB

S perpendicolare ad AO in A. Sia B in S. Analizziamo le rette che stano in :

Ci sono rette incidenti. Sia DE perpendicolare a r in D.

Sia AH la perpendicolare a DE, H sta tra E e D. Se H è oltre E AODE è

̂

AED

un trirettangolo e, per l'ip dell'angolo acuto, è acuto ed è

̂ ̂

AED> AHE

esterno al triangolo AHE quindi assurdo.

AH

H non può coincidere con E perchè avrei un quadrato con 4 angoli retti. Ed r sono

parallele, perchè rette incidenti non hanno perpendicolari in comune mentre DH è

AH

perpendicolare sia ad r che a .

Abbiamo trovato perciò rette incidenti e rette che non si incontrano e che hanno una

perpendicolare in comune.

Sia F a destra di D e consideriamo la perpendicolare a r per F.

AK AH

Sia AK perpendicolare a FG. Sta sotto . Supponiamo

per assurdo che AK fosse sopra AH. L=AH ∩FG

Consideriamo il prolungamento AH fino a .

̂ ̂

̂

AHD FHL

DHL

retto è retto. DFLH ha 3 angoli retti è acuto ma è esterno al

→ →

̂

̂

FLH LKA

>

triangolo ALK assurdo.

→

Perciò ci sono rette che incontrano r e rette che non incontrano r e hanno con r rette

perpendicolari comuni. Per continuità deve esserci una retta che separa questi insiemi.

Sia p una tale retta, essa corrisponde a quelle rette che nella geometria iperbolica

prendono il nome di rette parallele: P∩r =D

 p non incontra r: supponiamo per assurdo . Le rette 'sopra' p sono rette 73

che seguono p (punti di separazione) ed incontrano r. Assurdo.

 p non ha perpendicolari comuni con r: supponiamo per assurdo che esiste HK

perpendicolare a p e ad r. Sia D oltre H e traccio la perpendicolare a r e la chiamo

DE. La perpendicolare AL a DE per A sta sotto AK (già visto) ma è assurdo perchè

p=AK è di separazione, le rette che hanno una perpendicolare comune a r stanno

oltre p.

p, r si avvicinano sempre di più all'infinito.

33) L'ipotesi dell'angolo acuto è falsa perchè ripugna alla natura della linea

retta (non possono esistere cioè rette che non si incontrano, ma all'infinito si).

L'unica geometria è quella Euclidea, non si rende conto di aver costruito così

la geometria iperbolica.

7.1 Geometria Iperbolica

Nacque per mano di Gauss che visse tra il 1777-1855 il quale prima pensava

che l'unica geometria possibile fosse quella euclidea.

Era considerato il “principe della matematica” per i grandi contribuiti che

aveva dato e, come altri suoi colleghi, si interessò al problema sul V postulato

di Euclide proponendone uno equivalente.

Nel 1799 scrive una lettera al suo amico Fourkes Bolyai in cui dice di non

riuscire a dimostrare il V postulato e mette in dubbio anche l'esistenza di una

dimostrazione per tale postulato.

Nel 1829 scrive una lettera a Bessel in cui dice di aver fatto delle scoperte

sulla geometria non-euclidea che però non pubblica perchè teme di essere

criticato. La scienza

Nello stesso anno Lamos Bolyai (figlio di Fourkes) scrive il libro “

dello spazio assolutamente vero” in cui parla della geometria iperbolica,

pubblicato nel 1832 e dice che è un peccato non diffondere tale scoperta.

Gauss, venuto a conoscenza di tale libro, scrive al padre di Bolyai in cui dice

che non può lodare il lavoro di suo figlio che coincide con quello che lui ha

ricercato per 35 anni perchè significherebbe lodare se stesso ma è contento

che qualcuno abbia scritto un'opera al suo posto.

“sui principi della geometria”

Nel 1829 Lobatchevsky scrive un articolo in cui

ci sono gli stessi risultati di Bolyai che però ottenne in maniera totalmente

indipendente. I padri quindi della geometria iperbolica sono considerati

Bolyai e Lobatchevsky però le loro opere vennero ignorate per ben 30 anni.

Furono presi in considerazione solo quando Gauss si decise a pubblicare la

sua opera e il suo nome diede importanza perchè garantiva la veridicità di

quanto detto anche da loro due.

Tutti e 3 iniziano con il considerare validi i primi IV postulati di Euclide.

AB P∉ AB AB

Sia e , sia O il piede della perpendicolare ad per P. Sia N

OB

su , supponiamo che N si muova da O a B.

Si possono presentare due casi: 74

1. N torna al punto di partenza dopo aver percorso una distanza finita. Siamo nell'ipotesi

dell'angolo ottuso di Saccheri, sostituendo 1) con il V postulato si ottiene la geome