Appunti Storia della matematica

1ª LEZIONE

SCIENZA

Cos'è la scienza?

PLATONE in FEDRO, dialogo tra Fedro e Socrate

1. def: Scienza è sensazione
2. def: Scienza è opinione
3. def: Scienza è opinione vera accompagnata da spiegazione

nello stesso dialogo vengono dati tre significati diversi:

1. manifestare il proprio pensiero per mezzo della voce
2. dare una descrizione analitica di ciò di cui si sta parlando
3. indicare la differenza specifica attraverso la quale un elemento si distingue da un altro

In altre dialoghi Platone utilizza la matematica come modello di scienza.

ARISTOTELE:

1. def: Scienza è conoscere per cause
2. def: Scienza è sapere per dimostrazione

Il sillogismo scientifico partendo da premesse vere, ci permette di arrivare ad una giusta conclusione.

Con il sillogismo dialettico, la conclusione aggiunge conoscenze nuove alle nostre premesse.

STRUTTURA EPISTEMOLOGICA

PRIMI PRINCIPI assiomi postulati definizioni

CONSEGUENZE Teoremi, problemi

ELEMENTI DI EUCLIDE

Euclide di Megara, tra il 300-280 a.C., ha scritto la sua operaNon tutte le sue opere ci sono pervenute, esse sono poistate tramandate nelle opere di Archimede e Pappo di Alessandria

Non si parla di matematica precedentemente ma di PREESIA GEOMETRIA

L'importanza di quest'opera non è nei contenuti ma nella struttura logica

È composta da 13 libri:

• 1 a 5: si parla di GEOMETRIA PIANA
• 5: teoria della proporzione tra grandezze commensurabili
• 6: applicazioni geometriche alla teoria delle proporzioni
• da 7 a 9: aritmetica e alcune questioni di teoria dei numeri
• 10: teoria di rette commensurabili o incommensurabili
• 11: stereometrica
• 12: questione sulla misura del cerchio, della piramide, del cono,e della sfera con il metodo di esaustione
• 13: costruzione dei poliedri regolari, nella sfera

Il primo libro è l'unico che contiene tutta la struttura epistemologica completa

Nei vari libri vi è differenza di stile: potesi

Def 1₁: Figura è ciò che è compreso da uno o più termini. Importante per la definizione delle parallele

Per Euclide quelle illimitate non sono figure

Def 1₁₅: Cerchio è una figura piana compresa da un'unica linea tale che tutte le rette le quali cadono sulla linea, a partire da un punto

fra quelli che giacciono interamente alla figura, sono uguali fra loro. A partire dal centro i raggi sono tutti uguali.

Def 1₂₃: Parallele sono quelle rette che essendo sullo stesso piano venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

Considerando che le rette per Euclide sono i nostri segmenti anche se prolunghiamo da entrambe le parti otteniamo sempre una cosa limitata

POSTULATI: si possono usare per la nuova teoria che si usa a costruire ma nella nuova teoria non vengono dimostrati.

Oggi si può assumere come postulato una proposizione dimostrata precedentemente

I^°: Risolti: postulato che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

Non si postula l'unicità della retta

Oggi: Per due punti passa una e una sola retta; risale al 1700 ed è stata annunciata da PLAYFAIR è una congereta della geometria

II^°: Una retta terminata si possa prolungare continuatamente in linea retta.

Noto come infinità della retta, ma si tratta di una retta potenziamente infinita

III^°: Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza.

Prop. I.5:

Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra loro e

venendo prolungati i lati uguali, gli angoli sotto la base saranno

uguali fra loro.

1^a Dim.:

• AB = AC per ipotesi
• AG = AF per costruzione
• AG in comune
• AB + AF = AC + CG ⇒ BF = CG
• BFC = BGC
• BF = CG per dimostrazione
• FC = BG
• BFC = CGB
• FB = GCB
• ABC = ACF

• ABC + BGC = ACB + ACF ⇒ ABC = ACB

2^a Dim.:

Tracciamo la bisettrice AH

Essendo AH anche altezza e mediana, si ha:

• BH = HC
• AHB = AHC : 1^o criterio
• AHB e AHC
• AB = AC per ipotesi
• BH = HC
• AH in comune

• ABC = ACB poiché opposti a lati uguali
• AB = AC per ipotesi

3^a Dim.:

• AH bisettrice
• BAH = CAH
• AB = AC per ipotesi
• AH in comune

Prop. I.23:

Costruire un'angolo dato, e con vertice in un punto dato di esso un angolo rettilineo uguale ad un angolo rettilineo dato.

Prop I.24:

Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due lati, ma hanno l'angolo compreso dai lati uguali maggiore dell'angolo corrispondente, avranno anche la base maggiore della base.

Prop I.25:

È la proposizione inversa della 24.

Prop I.26:

Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un lato opposto ad un lato, o quello adiacente agli angoli uguali o quello che è opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente ai lati rimanenti, e l'angolo rimanente uguale all'angolo rimanente. Questa proposizione corrisponde al 2° criterio di congruenza.

Prop. I. 46

Descrivere un quadrato su una retta data.

Prop. I. 47

Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l'angolo retto (Teorema di Pitagora).

Quando si parla di dimostrazione del "Teorema di Pitagora" si deve fare riferimento a questa proposizione.

Consideriamo i triangoli FBC e ABD:

FB = BA BC = BD ∠ABD = ∠FBC

Per la prop. I. 41 l'area del quadrato ABFG è due volte l'area del triangolo FBC. Se considerassimo il rettangolo BNLDC e il triangolo ABD, l'area del rettangolo è due volte l'area del triangolo, dato che i triangoli FBC e ABD devono essere congruenti:

AB : BN : BD dato che BD = BCprima parte della dimostrazione della prop. I. 47

AN = BN ⋅ NC 2° teorema di Euclide → conseguenza della prop. I. 47.

Prop. I. 48

Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l'angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.

Con questa dimostrazione si conclude il 1° libro degli ELEMENTI. La proposizione I. 48 è l'inversa della proposizione I. 47.

Lemma III

Se ad una retta si erigono due rette perpendicolari tra loro uguali, coi estremi sono congiunti da una retta, la perpendicolare tracciata da qualunque punto di questa retta alla prima, sarà uguale alle due perpendicolari.

FE = CA = DB

Lemma IV

Se ad una retta si erigono due perpendicolari tra loro uguali, coi estremi sono congiunti da una retta, questa retta formerà un angolo retto con ambedue le perpendicolari.

PSN:

• Dividiamo AB in due parti uguali nel punto E
• Tracciamo FE e EB
• Uniamo F con A e con B
• Consideriamo i triangoli AEF e BEF. Essi hanno:

AE = BEEF in comuneFEA = FEB

• AF = BF
• EAF = FBE
• AFE = BFE
• CAF = DBF

Consideriamo i triangoli ACF e BDF. Essi formano:

• CA = BD
• AF = BF

CAF = DBFCF = DF

2) Non si può rappresentare su un piano, ma si può fare una facciatura:

3) Anche in questo caso, come nel 2°, si può fare una facciatura per rappresentare la figura su un piano, anche se non è la figura reale:

La III proposizione è la più importante rispetto alle precedenti. Saccheri va avanti a differenza di Euclide che dice che se

L’unica geometria capace di reggere è la geometria euclidea.

Prop.V^a: "Se l’ipotesi dell’angolo retto è vera anche in un solo caso, in ogni caso è sempre la sola vera.”

Prop.VI^a: "Se l’ipotesi dell’angolo ottuso è vera anche in un solo caso, in ogni caso è sempre la sola vera.”

Prop.VIII^a: "Se l’ipotesi dell’angolo acuto è vera anche in un solo caso, in ogni caso è sempre la sola vera.”

Queste 3 proposizioni vengono fuori dalla III proposizione. Ciò vuol dire che solo una può essere vera, in quanto ogni ipotesi esclude l’altra. Possono coesistere ma non nello stesso complesso geometrico.