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COORDINATE DI UN VETTORE RISPETTO AD UNA BASE
Prendiamo uno spazio vettoriale V di dimensione n. E prendiamo B una base di V. Per ogni vettore v di V diremo n-pla delle coordinate (o componenti) di v rispetto a B, l'unica n-pla di scalati tali che: n∑=v k bi ii=1 BASE CANONICA n Sia K un campo, nello spazio vettoriale , la n-pla di vettori: K)E=(e ; e ; … ; e1 2 n Costituita dei vettori canonici ordinati secondo gli indici crescenti, è una base detta base ncanonica di . K n=( )∈ Notiamo che se , la n-pla delle coordinate di v rispetto alla base v v ; v ; … ; v K1 2 n (v ) n; v ; … ; v E canonica è proprio , inoltre è l'unica base di rispetto la quale le K1 2 n coordinate di ogni vettore coincidono con le componenti. n COMPLETAMENTO DI UN INSIME LINEARMENTE INDIPENDENTE DI INRUN 'INSIEME DI BASE Ricopiare pagina 53 TRASFORMAZIONI LINEARI È una funzione tra due spazi vettoriali che preserva la forma delle operazioni di sommaDivettori e moltiplicazione per uno scalare, preserva quindi le combinazioni lineari.
Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo K; una funzione si dice trasformazione lineare, se soddisfa la seguente condizione:
∀ u ∈ U, ∀ h, k ∈ K, si ha f(hu + ku') = hf(u) + kf(u')
La trasformazione identica è definita come: f(v) = v
La trasformazione nulla è definita come: f(u) = 0
L'omotetia di rapporto k è definita come: f(v) = kv
LO SPAZIO VETTORIALE HOM(U,V)
Per denotare gli insiemi degli omomorfismi da U in V, scriviamo Hom(U,V).
COSTRUZIONE DI UNA TRASFORMAZIONE LINEARE
Sia B = {b1, b2, ..., bS} una base di U e sia {v1, v2, ..., vn} una arbitraria n-pla di vettori di V.
Allora esiste una ed una sola f appartenente ad Hom(U,V), tale che f(bi) = vi per ogni i.
In altre parole una trasformazione lineare
dallo spazio U allo spazio V è determinata univocamente quando vengono assegnati ordinatamente i trasformati dei vettori di una base U e tali trasformati possono essere scelti a libero arbitrio.
PROPRIETA' DELLE TRASFORMAZIONI LINEARI
Siano U e V due spazi vettoriali sullo stesso campo, e sia f appartenente all'insieme Hom(U,V) valgono le seguenti proprietà:
Se S è un sottoinsieme linearmente dipendente di U, allora f(S) è dipendente;
Se S è un insieme linearmente indipendente di V, e se f(S) = {v1, v2, ..., vt} usono vettori di U, tali che per ogni i=1,2,...,t, allora il sottoinsieme {u1, u2, ..., ut} di U è indipendente;
Se S è un sottoinsieme di U, f(S) è un sottospazio di V;
Se X è un sottospazio di U, f(X) è un sottospazio di V;
Se W è un sottospazio di V, f-1(W) è un sottospazio di U.
NUCLEO DI UNA TRASFORMAZIONE
LINEARE
Il nucleo di un'applicazione è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in 0 dall'applicazione.
Si dice nucleo di f, il sottoinsieme di U così definito:
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