Spazi vettoriali e trasformazioni lineari

Spazi vettoriali e trasformazioni lineari

Spazi vettoriali

Lo spazio vettoriale è una struttura algebrica composta da:

• Un campo K
• Un insieme non vuoto V (i cui elementi sono detti vettori)
• Due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà

Uno spazio vettoriale generico si può rappresentare come una terna (V, +, *) e le proprietà che deve soddisfare sono:

• Rispetto alla somma deve essere un gruppo commutativo o abeliano, ovvero:
  • Commutativa
  • Associativa
  • Esistenza dell'elemento neutro additivo
  • Esistenza dell'elemento opposto
• Rispetto alla moltiplicazione per scalare invece sono soddisfatte le seguenti proprietà:
  • Distributiva del prodotto rispetto alla somma (tra vettori)
  • Distributiva del prodotto rispetto alla somma (tra scalari)
  • Associativa del prodotto
  • Esistenza dell'elemento neutro moltiplicativo

Il vettore nullo è indicato con 0 ed è l'elemento neutro additivo.

Sottospazi vettoriali

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V, che è chiuso rispetto alla somma tra vettori e alla moltiplicazione per scalari, cioè alle proprietà definite per uno spazio vettoriale, cioè rispetto a tali operazioni è ancora uno spazio vettoriale su K.

Ogni sottospazio vettoriale contiene il vettore nullo. Tra gli spazi vettoriali esiste una relazione d'ordine, cioè se U, Z, W sono tre sottospazi di V, valgono le seguenti proprietà:

• U ≤ U
• U ∩ W = W
• U ≤ W ≤ U quindi U ⇒ U
• U ≤ W ≤ Z ≤ Z

Il sottospazio che contiene solo il vettore nullo si dice sottospazio banale.

Intersezione tra sottospazi

L'intersezione tra due sottospazi è ancora un sottospazio detto sottospazio intersezione. Se l'intersezione tra due sottospazi genera un sottospazio contenente il solo sottospazio nullo, allora si parla di intersezione nulla o banale. Se sommo due sottospazi la cui intersezione è banale si parlerà di somma diretta.

Unione tra sottospazi

L'unione di due sottospazi di uno spazio vettoriale non è sempre un sottospazio; infatti, l'unione tra due sottospazi di solito non è un sottospazio, o meglio è un sottospazio se e solo se \(U \subseteq W\) o \(W \subseteq U\).

Dipendenza e indipendenza lineare

Combinazione lineare

Una combinazione lineare si definisce come: data V uno spazio vettoriale su un campo K, siano \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) vettori di V e lo stesso numero di scalari, una combinazione lineare è un'espressione del tipo

\(\sum_{i=1}^{n} k_i v_i\)