Spazi vettoriali

Teorema dei sottospazi vettoriali

Se V è uno spazio vettoriale su R e W è un sottoinsieme non vuoto di V, allora W è un sottospazio vettoriale di V se e solo se:

1. W contiene il vettore nullo 0;
2. W è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare.

Sottospazi generati da k vettori

Sia V uno spazio vettoriale e K un insieme di vettori (V1, V2, ..., Vk) in V. Allora il sottospazio generato da K, indicato con Span(K), è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori in K (anche se non è un sottospazio vettoriale).

Teorema

Se W = Span(V1, V2, ..., Vk) è un sottospazio generato da k vettori in V, allora ogni vettore w in W può essere scritto come combinazione lineare dei vettori in K (w = C1V1 + C2V2 + ... + CkVk), dove C1, C2, ..., Ck sono scalari.

Dimostrazione:

Per dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di V, è necessario mostrare che W soddisfa le due condizioni del teorema dei sottospazi vettoriali.

Per dimostrare che ogni vettore w in W può essere scritto come combinazione lineare dei vettori in K, si considera una combinazione lineare generica w = C1V1 + C2V2 + ... + CkVk, dove C1, C2, ..., Ck sono scalari.

Per dimostrare che w è effettivamente in W, è necessario mostrare che w è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Questo può essere fatto dimostrando che w appartiene a Span(K) e quindi soddisfa le proprietà richieste.

Quindi, per dimostrare che W è un sottospazio generato da K, è necessario mostrare che ogni vettore w in W può essere scritto come combinazione lineare dei vettori in K.

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t a m g sh n e a me nte dierde AUeLnfatt e) S e ad una famigha di vettori lneas mente ind1erdenteesi Ealie un ve w o e , s ottiene Gncoà Ona famighonneaTnente ndPencenteLA BASE DI UNO SPAEIO VETTORIAEto u patio ettotiale v, e orm famig.a di uetona i . v , V .con v., . Va, Vk éV s d.ce deaenenaa (cice ie smn (V, V2 Y) V)Z V2. V e tomiqla eataeatedgeadeate.uraR a e .eafE BASE CAnioNICA d RpertkeA) generae IR2)e.21 soo una fam, lineaimente indiperdenteN, 8. ALTRE BASI IN RZQualsiQS COp c di uetto nPocalleh (perche due uetton paralleliqene OO UC etta) qenesanoSi stema di ifea merto éotmoate daass nOn_oftegcoal tsa losoR a e , S . E , }e AASE CA NGN ICA d R peconeA)xE IR xx,S,tKzS t Ka2)ee o a tam lineoacmente indiperdeate(spazio vettogiale de policomidi g sodo sn)a:4,x, x,xhfE RASE.cANONLCA di R"I perce4) vpa) ERExJ ptx)a tex 2 t.to4,x,x ura fam, lineafmente ndiperdeneRCx 3paiovettesiae dei potinomi)Non e SiStea di aeneratar (pe cche potential enteilradO de pl o

ÝOtsebbe evese inta to)Si diée che kEx7 n e n e fnitamente qenecateTEOREMA S e uno s 0 o uettesale V finitamentelosa Vam mecte u a bose3nenaboOq a base e tosmato aallo SeeisonuMe O d ettOsPesche it pionoe formato da 2 vetto?1 g e e T a Una ettaSono neacmete dipendentLA DIMENSIONE D UNO SPAZIo VETORIALESi dhama bid4ENSIONE di uo 02io uettoriole numed uettoc che formano una base d VEsempi dim IR" h (ce l temne otc)dim R.Cx3 n+1se V{az -* h a ba se dipertententeineame2 ? edimV = OTEOREMI dato uno spaio etto riale V, con dim V he doto W Sottospatio uettoiole di V,allo rO WsnmdiOdim W = O W:2fSe e solo sèse e solo e W Vdim W= n dim V-V, n,tosialevet condato aziounoollofa si Ka cheVuettoriA) lneormentedi m>hm con soroipedenti Perche dim V ilnu meromassimo d vettosi di V che po ssooessere linearente ieipenceti) VV2 duetbori Meh noncon geeraom3 n vettori d Vlinearmente ind pencdentono uno base d V)Qeneao V (cioeCOORDNATE DI UN VETTORE RIS PETTO AD UNA BAJEDato uno

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