Appunti spazi vettoriali

Spazio Vettoriale

È un insieme V munito di due operazioni (somma e prodotto per scalari) che soddisfano le seguenti proprietà:

• Commutativa: u + s = s + u ∀ u, s ∈ V
• Associativa: (u + s) + w = u + (w + s) ∀ u, s, w ∈ V
• ammette un elemento neutro ( ∀ 0 ∈ V | 0 + u = u ∀ u ∈ V)
• Ogni elemento di V ha un opposto (∃ u ∈ V | ∃ a + u = u + a = 0)

Inoltre valgono le seguenti proprietà:

• 1u = u
• (λμ)u = λ(μu)
• λ(u + s) = λu + λs
• (λ + μ)u = λu + μu

Sottospazio

V: Spazio vettoriale

W ⊂ V: Sottospazio di V

• Se prendo due vettori s₁, s₂ ∈ W ⇒ s₁+s₂ ∈ W
• Se prendo uno scalare λ ∈ K e s ∈ W ⇒ λs ∈ W
• W deve contenere il vettore 0_V

Ogni spazio vettoriale contiene almeno due sottospazi:

• V stesso
• quello costituito solo dal vettore nullo 0_V

INTERSEZIONI

1) V + W = Vect (tutti i vettori indipendenti di V e W)

2) V ∪ W = {(),(),()}

Vettori di V e W indipendenti

3) V ∩ W:

a(_V) + b(_W) = c(_W)

V ∩ W = {()}

a(₀) + b(₀) = c(₀)

INTERSEZIONE

Sia (V₁, t, ..) ⊆ V e E, F ⊆ V

E ∩ F ⊆ V

∀ μ, ν ∈ E, F e ∀ λ, μ ∉ K vogliamo de:

λμ + μν ∈ E ∩ F

μ, ν ∈ F => λμ + μν ∈ F => μν + λμ ∈ E ∩ F

λμ + μν ∈ E ∩ F

ESEMPIO 2

n₁ = (1, 0, -1)

n₂ = (1, 0, 1)

generano R³?

(x, y, z) = a₁(1, 0, -1) + a₂(1, 0, 1)

= a₁ + a₂, 0, -a₁ + a₂

• x = a₁ + a₂
• y = 0
• z = -a₁ + a₂

¹₁ = (1, 0, 0) ₂ = (0, -1, 0) | - sono una base di R³?

1. a₁(1, 0, 0) + a₂(0, -1, 0) = (0, 0, 0)

   • 0 = a₁
   • 0 = -a₂
   • 0 = 0

   => a₁ = a₂ = 0 => LINEAR. INDEPENDENTI

2. • a₁ = x
   • a₂ = y
   • 0 = z

   => NON genera R³ (perché genera solo i vettori (x, y, 0))

Trovare una base di R³

1. La dimensione di R³ = 3 ➔ 3 vettori (solo quando non ho vincoli)
2. • ₁ = (1, -1, 2) ➔ SCELTI 3 NUMERI A CASO
   • ₂ = (0, 3, 5) ➔ 2 NUMERI A CASO MA SOTTO IL PRIMO NUMERO DI v₁ DEVE ESSERCI 0
   • ₃ = (0, 1, 4) ➔ 1 NUMERO A CASO MA SOTTO IL SECONDO NUMERO DI v₁ DEVE ESSERCI 0

Trovare una base di V = {(x, y, z) ∈ R³ | x - y - 2z = 0}

1. dim V = 3 - 1 = 2n° di incognite libere nei vettori, quindi c'è 1 VINCOLO

sottraendo le nuove z e y

FAMIGLIE DI VETTORI

• = {₁, ₂, ..., } si dice libera se i vettori che la compongono sono linearmente indipendenti

• (V, +, ·), ≤ , = {₁, ..., } ⊆ V

genera V se V = Vect{₁, ..., }

se ∀ ∈ V è combinazione lineare dei vettori di

è un base di V se è libera e genera V