Spazi vettoriali

Spazi vettoriali

Definizione degli spazi vettoriali

Gli spazi m: Dati due insiemi A e B non vuoti, si definisce il loro prodotto cartesiano l'insieme A x B: = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }.

Es.² = _× = { { (x₁, x₂) | x₁, x₂ ∈ }.

In generale:^m := _{x x... x = { (x1, x2, x3,..., xm) | x1, x2, x3,..., xm ∈ } (^m, +, ·)}.

Operazioni tra m-upie

Addizione tra m-upie

Se X = (x₁x₂...x_m), Y = (y₁y₂...y_m) ∈ ^m, si può definire X + Y = (x₁ + y₁ x₂ + y₂...x_m + y_m) ∈ ^m.

Moltiplicazione di un m-upla per uno scalare

Se X = (x₁x₂...x_m) ∈ ^m, c ∈, si può definire c·X = (c x₁ c x₂...c x_m) ∈ ^m.

(^m, +, ·) è un insieme per cui le due operazioni + e · verificano 8 proprietà analoghe per (_m,1), ovvero (^m, +, ·) è uno spazio vettoriale, lo spazio vettoriale dell'm-upla.

Spazi ℝ^m

Definizione

Dati due insiemi A e B non vuoti, si definisce il loro prodotto cartesiano l'insieme A×B := {⟨a,b⟩ | a ∈ A, b ∈ B}.

Es. ℝ² ≡ ℝ × ℝ = {⟨x₁, x₂⟩ | x₁, x₂ ∈ ℝ}.

In generale: ℝ^m := ℝ × ℝ×...×ℝ = {⟨x₁, x₂, x₃, ..., x_m⟩ | x₁, x₂, x₃, ..., x_m ∈ ℝ} m-vole ↔ ℝ^m.

Adizione tra m-uple

Se X = ⟨x₁, x₂, ..., x_m⟩, Y = ⟨y₁, y₂, ..., y_m⟩ ∈ ℝ^m si può definire X + Y = ⟨x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m⟩ ∈ ℝ^m.

Moltiplicazione di m-uple per uno scalare

Se X = ⟨x₁, x₂, ..., x_m⟩ ∈ ℝ^m, c ∈ ℝ, si può definire c·X := ⟨c·x₁, c·x₂, ..., c·x_m⟩ ∈ ℝ^m.

(ℝ^m, +, ·) è un insieme per cui le due operazioni +, · verificano 8 proprietà analoghe per (ℝ^m, +, ·, 1), Ovvero (ℝ^m, +, ·) è uno spazio vettoriale, lo spazio vettoriale dell'm-uple.

Definizione di spazio vettoriale reale

Uno spazio vettoriale reale è un qualsiasi insieme V non vuoto, i cui elementi si chiamano vettori ⟨V,+,·⟩, nel quale sono definite due operazioni:

• Addizione tra vettori: ∀v₁,v₂ ∈ V ∃! v₃ ∈ V, si ha v₁ + v₂ = v₃
• Moltiplicazione di un vettore per uno scalare: ∀v ∈ V ∀c ∈ R ∃! v₂ ∈ V si ha c·v

Proprietà degli spazi vettoriali

1. Associatività per l’addizione tra vettori: ∀v₁,v₂,v₃ ∈ V si ha (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ = (v₂ + v₃)
2. Esistenza dell’elemento neutro: O_V vettore nullo, tale che ∀v ∈ V:v + O_V = O_V + v = v
3. Esistenza dell’elemento opposto: ∀v ∈ V ∃ -v : v + (-v) = -v + v = O_V
4. Commutatività: ∀v₁,v₂ ∈ V si ha v₁ + v₂ = v₂ + v₁
5. Associatività per la moltiplicazione con scalari: ∀c,d ∈ R ∀v ∈ V si ha c·(d·v) = (c·d)·v
6. Distributiva rispetto all’addizione tra vettori: ∀c ∈ R ∀v₁,v₂ ∈ V si ha c·(v₁ + v₂) = c·v₁ + c·v₂
7. Distributiva rispetto all’addizione tra scalari: ∀c,d ∈ R ∀v ∈ V si ha (c + d) v = c·v + d·v
8. La moltiplicazione per 1: ∀v ∈ V, si ha 1·v = v

Altre proprietà

• 0⋅v̅ = 0̅_V
• (-1)⋅v̅ = -v̅

Spazio vettoriale dei vettori geometrici nel piano applicati in un punto

Fissato OOP̅ segmento orientato da O a Ṗ, vettore geometrico applicato in O.

V̅_O² = {OP̅ al variare di P nel piano} (l'insieme dei vettori geometrici applicati in O).

Addizione tra due vettori geometrici applicati

OR̅ = OP̅ + OQ̅ (regola del parallelogramma).

Moltiplicazione di un vettore geometrico applicato per uno scalare

c⋅OP̅ = {OP̅' se c>0, O̿O̿ se c=0, OP̅" se c<0. O̿O̿ vettore nullo di V̅_O² dove P₁ è il simmetrico di P rispetto ad O.

(ℝ³, ×) è lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati nel punto ⊙.

Equipollenza tra segmenti orientati

Definizione

Due segmenti orientati AB e CD si dicono equipollenti (∿) se:

• Hanno la stessa lunghezza,
• Hanno la stessa direzione (sono su rette parallele),
• Hanno lo stesso verso di percorrenza.

Geometricamente: AB ∿ CD ovvero: ⇀ABDC è un parallelogramma. Inoltre: AC ∿ BD

La relazione di equipollenza tra segmenti orientati è una relazione di equivalenza ovvero si verifica la proprietà:

• Riflessiva: Ogni AB verifica AB ∿ AB
• Simmetrica: Se AB ∿ CD allora CD ∿ AB
• Transitiva: Se AB ∿ CD e CD ∿ EF ⇒ AB ∿ EF

Definizione di vettore geometrico libero

Diciamo vettore geometrico libero v rappresentato da _AB la classe di equivalenza definita da v = _AB = _CD = _EF = ...

Definiamo V² = l'insieme dei vettori geometrici liberi nel piano.

Addizione tra vettori geometrici liberi

P_A := V₁ + V₂

Moltiplicazione di un vettore geometrico libero per uno scalare

Si definisce in modo analogo all'operazione in V² (+, ·). Lo spazio vettori geometrici liberi nel piano.

In modo analogo si possono definire i seguenti spazi vettoriali:

• V³_p = lo spazio vettoriale dei vettori geometrici nello spazio tridimensionale applicati in O.
• V³ = lo spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi nello spazio tridimensionale.

Esiste un legame tra V_o² ed R². Consideriamo un riferimento cartesiano del piano con origine O.

Se P è piano → (x_p, y_p), le coordinate di P rispetto al riferimento è una corrispondenza biunivoca che rispetta le operazioni di addizione e moltiplicazione di un vettore per uno scalare in ciascun spazio vettoriale ovvero è un isomorfismo lineare: V_o² ≅ R².