Matrici, spazi vettoriali

Per un sistema in cui il numero delle equazioni è uguale a quello delle incognite (n eq, n inc)

● Teorema di Cramer: un sistema lineare di n equazioni in n incognite della forma Ax=b

la cui matrice dei coefficienti sia quadrata e non singolare ammette una ed una sola

soluzione costituita dalla n-upla x1=|A1|/|A|, x2=|A2|/|A|, …, xn=|An|/|A|, dove Ai è la matrice

ottenuta dalla A sostituendo al posto della i-esima colonna la colonna dei termini noti.

Per un generico sistema lineare con m equazioni in n incognite

● Teorema di Rouché-Capelli: sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n

incognite; esso ammette soluzioni se e solo se r(A)=r(A|b) dove A|b è la matrice ottenuta da

A completandola con la colonna dei termini noti.

Un sistema lineare possibile di m equazioni in n incognite in cui il rango della

matrice dei coefficienti sia r<n ammette ∞^n-r soluzioni, cioè infinite soluzioni

dipendenti da n-r parametri. Se r=n il sistema equivale ad un sistema di r

equazioni in r incognite con matrice dei coefficienti non singolare, quindi

ammette una ed una sola soluzione per il teorema di Cramer.

Se il vettore b=0 è il vettore nullo, il sistema Ax=0 si chiama omogeneo, esso è sempre

possibile ed ammette sempre come soluzione banale il vettore nullo. Un sistema omogeneo

di n equazioni in n incognite Ax=0 ammette soluzioni non banali se e solo se det(A)=0. Un

sistema omogeneo di m equazioni in n incognite ammette autosoluzioni (=soluzioni non

banali) se e solo se r(A)<n.

Se il rango della matrice dei coefficienti è r allora il sistema possiede n-r soluzioni

indipendenti, nel senso che tutte le altre che sono infinite sono combinazioni lineari delle

precedenti.

OSS. considerando un sistema lineare : Ax=b, il sistema lineare omogeneo Ax=0 che ha la

stessa matrice dei coefficienti si chiama sistema omogeneo associato. Conoscendo una

soluzione generale x0 del sistema omogeneo associato e una soluzione particolare x1 del

sistema , la soluzione generale di quest’ultimo si può esprimere come x=x0+x1.

Matrici

Una matrice è una tabella ordinata degli elementi di un dato insieme.

| a11 a12 … a1n |

| a21 a22 … a2n |

A=| . . . . | matrice dei coefficienti | a11 a12 … a1n b1 |

| . . . . | | a21 a22 … a2n b2 |

| am1 am2 … amn | C= | . . . . . | matrice

| b1 | | am1 am2 … amn bm|

completa

B= | b2 | matrice (o vettore) di tipo (m,n)

| … | dei termini noti

| bm |

I vari tipi di matrici:

● matrice riga: composta da una sola riga

● matrice colonna: composta da una sola colonna

● matrice di tipo (m,n): matrice rettangolare con m righe e n colonne

● matrice quadrata [di tipo (n,n)]: matrice con lo stesso numero di righe e di colonne

● matrice diagonale: matrice quadrata in cui gli elementi sono tutti nulli ad eccezione di

quelli posti sulla diagonale principale

● matrice identità I: matrice diagonale avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0

altrove

● matrice nulla: di dimensioni qualsiasi costituita da soli 0 e indicata con il simbolo 0

● matrice triangolare superiore: matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sotto

della diagonale principale uguali a zero ( a21, a31, a32 )

● matrice triangolare inferiore: matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sopra

della diagonale principale uguali a 0 ( a12, a13, a23 )

● matrice a gradini: di qualsiasi dimensioni dove il primo elemento è diverso da ‘ della i-

esima riga con i>1 è più a destra del primo elemento diverso da 0 della riga precedente

● matrice simmetrica: matrice quadrata di ordine n>1 i cui elementi sono

simmetrici rispetto alla diagonale principale. per ogni i, j ∈ {1,2, …, n} con i≠j

risulta aij=aji

● matrice antisimmetrica: matrice quadrata dove aij=-aji

● matrice trasposta: di tipo (m,n) ottenuta scambiando le righe con le colonne di una

matrice A e si scrive AT

● matrice ridotta: A di tipo (m,n) di elemento generico aij se in ogni riga che

non contiene solo 0 esiste un elemento aij≠0 tale che per ogni k con i<k≤m si ha

akj=0. per una qualsiasi matrice A esiste una matrice B ridotta per righe

equivalente alla A

● matrice inversa: sia A una matrice quadrata di ordine n; una matrice B tale che

AB=BA=I prende il nome di inversa di A. Una matrice che ammette inversa è detta

invertibile.

Somma di matrici

Se A=[aik] e B=[bik] sono due matrici dello stesso tipo, diciamo C=[cik] la

somma di A e B e scriviamo C=A+B se ogni elemento di C è la somma degli

elementi corrispondenti di A e B, ovvero si ha che cik=aik+bik ∀i,k.

La somma gode delle proprietà di cui gode un gruppo abeliano (=associativa, commutativa,

esistenza elemento neutro, esistenza opposto, (A+B)T=AT+BT).

Prodotto esterno o prodotto per uno scalare = = ∀

Se � è un numero (scalare) e A=[aik] è una matrice si ha B= �A se bik= �aik, i, k. Le proprietà

(= ( ( =

del prodotto per uno scalare sono: �0=0=0A; 1A=A; (�β)A= �(βA)=β(�A); (�+β)A= �A+βA;

= ⇒

�(A+B)= �A+βB; �A=0 �=0 oppure A=0

Combinazioni lineari

Date n matrici dello stesso tipo A1, A2, …, An e n scalari 1, 2, …, n, diciamo combinazione

lineare delle Ai con i B= ∑ (i=1 a n) iAi = 1A1 + 2A2 + … + nAn.

Le matrici possono essere:

● linearmente dipendenti: se una combinazione lineare di n matrici dà la matrice nulla

anche se non tutti i coefficienti sono nulli. k matrici A1, …, Ak sono linearmente dipendenti se

e solo se almeno una di esse si può scrivere come combinazione lineare delle altre

● linearmente indipendente: se una combinazione di n matrici dà la matrice nulla

perché tutti i coefficienti sono nulli

Prodotto tra matrici

Siano A e B due matrici di tipo (m,p) e (p,n); diciamo prodotto righe per colonne

la matrice C=AB=[cik] di tipo (m,n) se l’elemento generico cik è la somma dei

prodotti degli elementi della i-esima riga di A per gli elementi della k-esima

colonna di B, cioè cik=∑(j=1 a p) aijbjk.

OSS. il numero delle colonne della prima matrice deve coincidere con il numero delle righe

della seconda, in tal caso A è conformabile con B.

OSS. non vale la legge di annullamento del prodotto cioè se il prodotto dà la matrice nulla

per forza A=0 oppure B=0. Dunque per il prodotto di matrici non vale, in generale, la

proprietà commutativa, tuttavia esistono coppie di matrici A e B tali che AB=BA, esse si

chiamano permutabili o si dice che commutano.

Le proprietà del prodotto sono: associativa, distributiva, associatività mista. esistenza

elemento neutro, A0=0A=0, (AB)T=BTAT.

Potenza di una matrice quadrata

?

Polinomi di matrici

Dato un polinomio di grado n a0xn+a1x2+...+an-1x+an possiamo ora formalmente sostituire

alla variabile c una matrice A ottenendo il polinomio matriciale a0An+a1A2+...+an-1A+anI.

Matrici a blocchi

?

Determinante

Sia Mn l’insieme delle matrici quadrate di ordine n e sia A∈Mn. Il determinante di

A è il valore di una funzione che ha come dominio Mn e come codominio R o C,

quindi det: Mn↦R/C. Il determinante può essere scritto così: detA, det(A), |A|.

Definizione determinante:

● in maniera ricorsiva:

ㄱ

Sia A= Γa b quadrata di ordine 2, allora il determinante di A e det(A)=ad-bc.

」

Lc d

Per dare una definizione bisogna introdurre il minore complementare: se A∈Mn il

minore complementare è l’elemento aik e lo chiameremo Mik il determinante

della sottomatrice che si ottiene da A cancellando la i-esima riga e la k-esima

colonna. Chiameremo complemento algebrico dell’elemento aik e lo indicheremo

come Aik il determinante della sottomatrice di ordine n-1 che si ottiene da A

cancellando la i-esima riga e la k-esima colonna, con il proprio segno se i+k è

pari, col segno opposto se i+k è dispari, cioè Aik=(-1)^i+k Mik.

Def. Sia A∈Mn, si ha det(A)=∑(k=1 n) aikAik, cioè la somma dei prodotti degli

elementi di una linea di A (riga o colonna) per i rispettivi complementi algebrici.

Per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine n, possiamo calcolare un

certo numero (al massimo n) di determinanti di matrici di ordine n-1, a loro volta questi

determinanti calcolando al più n-1 determinanti di matrici di ordine n-2 e così via, quindi, in

pratica, basta saper calcolare il determinante di una matrice di ordine 2.

● definizione classica

Se A∈Mn chiamiamo prodotto associato di A il prodotto di n elementi di A presi in

modo tale che in ciascuno di essi non ci siano due elementi appartenenti alla

stessa riga/colonna.

Def. Il determinante della matrice A∈Mn è la somma di tutti i possibili prodotti

associati ad A, presi ciascuno con il proprio segno o con il segno opposto a

seconda che la permutazione dei

secondi indici sia di classe pari o di classe dispari, cioè, formalmente det(A)= ∑(-

1)^t•a1k1a2k2…ankn dove la somma è estesa a tutte le permutazioni dei

secondi indici e t è il numero degli scambi che la permutazione dei secondi indici

presenta rispetto alla prima.

● definizione prof

Sia A=(aij)∈Mn(K), si dice determinante di A e si scrive |A| o det(A), lo scalare

che è il risultato dell’operazione tale che:

● se n=1 |A|=a11

● se n=2 |A|=a11•a22-a21•a12

● se n=3 Regola di Sarrus:

● se n=4, 5, … Teorema di Laplace. Data A=(aij)∈Mn(K)

○ per righe: scelgo la i-esima riga |A|=∑(h=1, n) aih•μih=∑(h=1, n) aih•(-

1)^i+h•|Aih|

○ per colonne: scelgo la j-esima colonna |A|=∑(k=1, n) akj•μkj=∑(k=1, n)

akj•(-1)^k+j•|Akj|

NB Il determinante di matrici diagonali e triangolari è dato dal prodotto degli elementi della

diagonale principale.

● Primo teorema di Laplace: Sia A∈Mn, si ha det(A)=∑(k=1, n) aik•Aik cioè il

determinante è la somma dei prodotti degli elementi algebrici di una linea (riga o

colonna) per i rispettivi complementi algebrici.

● Secondo teorema di Laplace: La somma dei prodotti degli elementi di una

riga/colonna per i complementi algebrici degli elementi di una linea parallela è

nulla, cioè ∑(j) aijAkj=0.

Proprietà del determinante:

Sia A una matrice quadrata di ordine n, allora sussistono le seguenti proprietà:

● det(A)=det(AT)

● scambiando tra loro due colonne di A si ottiene una matrice B tale che |A|=-|B|

● se una colonna di A è nulla, allora det(A)=0 e la matrice si chiama singolare

Una matrice è singolare se e solo se le sue colonne/righe formano un sistema di vettori

linearmente dipendenti.

● se ad una colonna di A si somma una combinazione lineare