Spazi e sottospazi vettoriali, applicazioni e combinazioni lineari - Algebra e gemetria lineare

Tosetti Luca 01/10/2020

Spazio vettoriale – Esempi di spazi

vettoriali ALGEBRA LINEARE

L’algebra lineare si occupa di studiare gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari.

SPAZIO VETTORIALE

Uno spazio vettoriale REALE, consiste di:

Un insieme di elementi detti vettori.

 ⃗

Un’operazione interna, ovvero la somma che ad una coppia di vettori e

 V

⃗ ⃗ ⃗

, associa la somma + .

U V U

Un’operazione esterna, ovvero il prodotto, che permette di associare ad ogni

 ⃗ ⃗

numero reale k e ogni vettore il prodotto k .

V V

Inoltre per poter considerare uno spazio vettoriale come tale occorre che la somma e il

prodotto abbiano determinate proprietà:

Somma:

 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Associatività della somma: ( + ) + = + ( +

U V W U V W

o ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Commutatività della somma: + = +

V W W V

o ⃗

Esistenza dell’elemento neutro: Esiste un vettore , detto vettore

V

o nullo e indicato con 0, ⃗

tale che, per ogni vettore ∈ V risulta che:

V

⃗ ⃗

+ 0 =

V V ⃗

Esistenza dell’opposto: Per ogni vettore di V, esiste un vettore,

V

o ⃗

l’opposto di , indicato

V ⃗ ⃗ ⃗

con - , tale che: + (- ) = 0

V V V

Prodotto:

 ⃗ ⃗ ⃗

Per ogni in V si ha: 1 =

V V V

o ⃗ ⃗ ⃗

Per ogni in V e per ogni h, k in R si ha: h(k ) = (hk)

V V V

o ⃗ ⃗

Distributività del prodotto rispetto la somma di vettori: k( + ) =

V W

o ⃗ ⃗

k + k

V W ⃗

Distributività del prodotto rispetto la somma di scalari: (h + k) = h

V

o ⃗ ⃗

+ k

V V

ESEMPI DI SPAZI VETTORIALI

Esistono diversi esempi di spazi vettoriali:

n

L’insieme R delle n-uple ordinate di numeri reali:

 1

Tosetti Luca 01/10/2020

Spazio vettoriale – Esempi di spazi

vettoriali X 1

n

R = : X ∈ R, i = 1, …, n

…. i

X n 2

Tosetti Luca 01/10/2020

Esempi di spazi vettoriali

Per essere considerato come uno spazio vettoriale devono essere presenti

l’operazione interna (somma), e quella esterna (prodotto) Somma e il



prodotto per uno scalare sono definiti “termine a termine”.

1) (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b)

X K X

1 1

2) K * =

…. ….

X K X

n n

Le due operazioni danno come risultato un elemento dello stesso insieme

di partenza, si tratta quindi di uno spazio vettoriale.

L’insieme R[x] dei polinomi nell’indeterminata X a coefficienti reali:

 2 n

R[x] = {a + a x + a x + &hellip