Spazi e sottospazi vettoriali, applicazioni e combinazioni lineari - Algebra e gemetria lineare

APPLICAZIONI LINEARI

Considerando V e W come degli spazi vettoriali, una funzione f : V → W si dice applicazione lineare quando verifica le seguenti proprietà: - Additività: per ogni u, v ∈ V si ha che: f(u + v) = f(u) + f(v) - Omogeneità: Per ogni v ∈ V e ogni k ∈ R si ha che: f(kv) = kf(v) Un esempio di applicazione lineare è la matrice trasposta A di una matrice A. 2x3 3x2 1 0 → 2 0 √0 0 → 3 √3 3 0 È un'applicazione lineare dato che: 1) (A + B) = A + B 2) (kA) = K (A)

COMBINAZIONI LINEARI

Una combinazione lineare è tutto ciò che possiamo fare con uno spazio vettoriale (ovvero con i vettori contenuti al suo interno), ovvero somma e prodotto scalare. La combinazione lineare di vettori V1, ..., Vk dello spazio V con coefficienti α1, ..., αk è il vettore (diV₁, V₂, ..., V_k sono generatori di un sottospazio V. Alcuni esempi potrebbero essere: V₁ = (1, 1, 1), V₂ = (0, 1, 1), V₃ = (0, 0, 1), con i coefficienti α₁ = 1, α₂ = 4, α₃ = -2: (1, 5, 3) = 1 * (1, 1, 1) + 4 * (0, 1, 1) - 2 * (0, 0, 1) La funzione seno iperbolico V = Sh(x) è combinazione lineare delle funzioni ex e e-x con i coefficienti α₁ = 1/2 e α₂ = -1/2: Sh(x) = (1/2) * ex + (-1/2) * e-x Tosetti Luca 01/10/2020 GENERATORI DI UN SOTTOSPAZIO Considerando i vettori V₁, ..., V_k dello spazio V, indichiamo con Span {V₁, ..., V_k}, o anche con L {V₁, ..., V_k}, l'insieme di tutte le combinazioni lineari. Span {V₁, ..., V_k} = {α₁ V₁ + ... + α_k V_k | α₁, ..., α_k ∈ K} Span {V₁, ..., V_k} è sottospazio vettoriale di V, come si può

Dimostrare: Diremo che Span {V , . . ., V } è il sottospazio generato dai vettori V , ..., V . Dato U1 k 1 ksottospazio di V, diremo che {v , ..., v } è un insieme di generatori (o anche sistema di1 kgeneratori) per U quando ogni vettore di U si può scrivere come combinazione linearedei vettori V , ..., V , cioè U = Span {V , ..., V }.1 k 1 k

Andiamo a considerare R il piano Z = 0:
V = {(x, y, z) : z = 0} piano Z = 0
Questo sottospazio V può essere rappresentato attraverso diversi sistemi di generatori:
1) V = Span { i, j } i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0)
2) V = Span { (1, 2, 0), (2, 1, 0) }
3) V = Span { (1, 2, 0), (2, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) }
Insieme dei generatori: Descrizione del sottospazio
In questi 3 casi si hanno 3 diversi sistemi di generatori, tutti e 3 sono corretti,tuttavia mentre il primo e il secondo costituiscono anche una "base" delsottospazio V, il terzo no in quanto i 4 vettori che costituiscono il sistema NONsono

linearmente INDIPENDENTI, ovvero che almeno 2 di quei vettori si possono ricavare dalla combinazione lineare di altri 2 (Ad esempio gli ultimi 2 possono essere ricavati dalla combinazione lineare dei primi 2).

α(1, 2, 0) + β(2, 1, 0) = (1, 0, 0)

(α, 2α, 0) + (2β, β, 0) = (1, 0, 0)

(α + 2β, 2α + β, 0) = (1, 0, 0)

-1α + 2β = 1

α + 2(-2α) = 1

α = 32

2α + β = 0

β = -2α

β = 30 = 0

0 = 0

0 = 0

8 = 0