Esercizi Spazi-sotto spazi

Base di un sottospazio vettoriale

Concetto di base e sottospazio

Vdi un suo sottospazio: si aggiunge a una base di tutto il base di che contenga una base, ..., ) BV B = (v v1 ksopraspazio e si fanno scarti successivi. V8 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016◦ 42 modo. Aggiungiamo ai 2 vettori di B altri 2 vettori (a, b, c, d), (a', b', c', d') di in modo da ottenere 4 vettori l.i., cioè in modo che abbia rango 4 la matrice:

Le righe saranno una base di dimensione 4, che completa B perché Ra b c d. Si può allora prendere ad esempio c = c = a = a = b = 0 e b = d = 1 (d può essere qualsiasi, nullo o no) e si ottiene:

Una base di dimensione 4 che completa B (diversa da quella trovata precedentemente) è dunque ((0, 0, 1, 2), (1, 0, 0, 1), e, e).

Determinazione di una base di un sottospazio

Sia V uno spazio vettoriale (reale) di dimensione 4 e sia B = (u1, u2, u3, u4) una sua base. Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori:

• v1 = u1 - u4 + u3
• v2 = 2u1 + u2 - u3
• v3 = 2u1 + 2u2 - u3 + u4

Completare poi la base trovata ad una base di V. Disponendo di un insieme di generatori di W = L(v1, v2, v3), possiamo procedere tramite scarti successivi oppure riduzione. Ricorriamo al secondo metodo.

Le componenti rispetto alla base B dei generatori sono rispettivamente:

• [v1] = (1, 0, -1, 1)
• [v2] = (0, 2, 1, -1)
• [v3] = (2, 2, -1, 1)

La matrice M rispetto a B è:

La dimensione di W coincide con il rango di M ed una base di W è data, in componenti rispetto a B, dalle righe non nulle di una qualsiasi ridotta (per righe) di M. Riducendo, si ottiene:

Da cui segue che dim W = ρ(M) = 2. Inoltre, i vettori di componenti (1, 0, -1, 1) e (0, 2, 1, -1) sono una base di W rispetto a B.

Completamento di una base

Una base di V che contenga la base (v1, v2) di W si determina aggiungendo due vettori di V a (v1, v2) in modo da ottenere un insieme di quattro vettori l.i. (i quali costituiranno una base di V, perché V ha dimensione 4). Poiché, ad esempio, la matrice:

ha rango 4, i vettori di componenti (1, 0, -1, 1), (0, 2, 1, -1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) rispetto a B, cioè (v1, v2, u3, u4), sono l.i. e quindi (v1, v2, u3, u4) è una base di V.

Verifica di sottospazi e basi

Nello spazio delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali, si consideri il seguente esercizio: insieme V ⊆ R_2,2 definito come V = {A ∈ R_2,2 : (1, 2) A = (0, 0)}. Verificare che V è un sottospazio di R_2,2 e determinarne una base.

L'insieme delle matrici m × n (m righe, n colonne) ad entrate a ∈ R è uno spazio vettoriale reale. L'insieme ordinato C = (E₁₁, E₁₂, ..., E_mn) delle matrici definite in modo da avere un 1 nella posizione (i,j) e 0 altrove, è una base per R_m,n, detta base canonica.

Per verificare che V è sottospazio di R_2,2, possiamo procedere in due modi:

• Verificare che le combinazioni lineari di elementi di V siano ancora elementi di V.
• Scrivere il generico elemento di V come combinazione lineare di un certo numero di elementi di R_2,2.

Controllando che per ogni A, B ∈ V e λ ∈ R si ha λA + B ∈ V, risulta che V è un sottospazio di R_2,2.

Determinazione di una base di un sottospazio

Data la matrice:

Si consideri l'insieme V ⊆ R_3,2 definito come V = {X ∈ R_2,2 : AX = 0}. Verificare che V è un sottospazio vettoriale di R_3,2 e determinarne dimensione e una base.

Ovviamente 0 ∈ V. Controlliamo che V sia stabile rispetto alle combinazioni lineari. Se X, Y ∈ V, allora λX + Y ∈ V per ogni λ ∈ R, quindi V è un sottospazio vettoriale di R_3,2.

Per determinare una base di V, cerchiamo un'espressione per la generica matrice di V. Dato che il prodotto AX = 0, troviamo che le righe non nulle di una matrice ridotta rappresentano gli elementi indipendenti necessari per costituire una base di V, e quindi dim V = 2.

Determinare una base del sottospazio V di [x] generato dai polinomi:

• P₁(x) = x³ + x
• P₂(x) = 1 + x² + x
• P₃(x) = 1 - x² + x
• P₄(x) = 1 + 2x + 3x² + x³