Serie numeriche (analisi 1), appunti schematici

allora la serie non converge (può essere divergente o irregolare)

.

dim: Supponiamo che la serie converga, avremo perciò:

, con S somma della serie.

Osserviamo che , di conseguenza:

= −

−

1

Sia una successione non negativa cioè , , allora

Proprietà

: {

} ∀

∈ ℵ ≥ 0 Σ

è regolare .

l’importante è che lo sia definitivamente

OSS 1: vale lo stesso per le serie a termini non positivi

OSS 2:

Tipologie di serie

: Sia , si definisce serie geometrica di ragione q :

def ∈ ℜ

i termini della successione sono tali che due consecutivi hanno un

OSS: =

rapporto costante q .

: Sia , si chiama serie armonica generalizzata di esponente , la serie

def α > 0 α

Tale serie converge se e solo se α > 1

: Sia una successione, allora la serie

def {

}

si chiama serie telescopica .

Dunque

: Supponiamo di avere delle successioni e , si chiama serie somma

:

def {

} {

}

Criteri di convergenza

1) Criterio del confronto :

Siano e serie a termini non negativi tc definitivamente si abbia

Σ Σ ≤

.

Allora:

a) se converge, allora converge;

Σ Σ

b) se diverge, allora diverge.

Σ Σ

2) Criterio del confronto asintotico :

Siano e successioni (definitivamente) non negative, e tali che per

{

} {

}

abbiamo , allora e hanno lo stesso carattere .

→ + ∞ ∼ Σ Σ

non la stessa somma

NB:

dim: Dire che per , significa che

→ + ∞ ∼

Di conseguenza:

− ε < − 1 < ε ⇒ − ε + 1 < < ε + 1

1

, ε =

Posso scegliere, ad esempio , avremo perciò definitivamente:

2

1 3

< <

2 2

3

< <

Ovvero (dato che ):

> 0 2 2

Ora possiamo applicare il Teorema del Confronto alle successioni:

1 3 .

{

}, { }, { }

2 2

3 1

In particolare se diverge, allora diverge, cioè diverge.

Σ Σ Σ

2 2

1

Invece, se diverge, allora diverge e dunque diverge.

Σ Σ Σ

2

Analogamente se o converge.

Σ Σ

3) Confronto con un integrale improprio :

1 1

Σ

(

) =

Consideriamo , allora se , per , avremo

∈ ( − 1 ,

]

4) Criterio del rapporto :

Sia a termini non negativi, se esiste

Σ

si ha:

a) se allora converge

0 ≤ < 1 Σ

b) se allora diverge

> 1 Σ

c) se : boh!

= 1