Serie Numeriche

Serie numeriche

Serie numeriche nel campo reale

{a} ⊂ {s}

Definizione 1.1

Data una successione costruiamo un’altra successione ponendo R_n nnP }, {s}) {a}. s = a. La coppia ordinata ({a si dice serie numerica di termine generale Sen j n n nj=1 {s} la successione - che chiameremo successione delle somme parziali - è regolare indicheremo con n∞Pil simbolo a il suo limite che si chiamerà somma della serie. nn=1

Esempio 1.1 Serie di Mengoli

∞ 1P. Per calcolare s notiamo che Studiamo la serie nn=1 n(n+1) 1 1 1 − ∀p ∈ 6 6 −1= , p = 0, p =R, p(p + 1) p p +1 e quindi n 1 1 1 1 1 1 1 1X − − − ··· − − →= 1 + + + =1 1. s =n j j +1 2 2 3 n n +1 n +1j=1 La serie è regolare ed ha per somma 1.

Esempio 1.2 Serie armonica

∞ 1P Studiamo la serie. Proviamo che la serie è divergente a +∞. Notiamo che, essendo a > 0, nn=1 n la successione s, quindi la serie, è regolare. Sarà allora sufficiente provare che una estratta di s_n ne è divergente. Si ha: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ··· ··· ···s = 1 + + + + + + + + + + + + + +n2 n−1 n2 3 4 5 6 7 8 9 16 2 + 1 21 1 1 1 nn−1≥ · · · →1 + + 2 + 4 + + 2 = 1 + +∞. n2 4 8 2 2∞ nP ∈

Esempio 1.3 La serie geometrica q con q R

n=0→ 6 Se q = 1 si ha s = n +∞. Sia perciò q = 1. Ricordando la formula per la somma dei termini n n 1−q di una progressione geometrica abbiamo, s = da cui si deduce facilmente il comportamento n 1−q |q| della serie. Precisamente si trova che la serie converge se e solo se < 1 ed in tal caso la sua 1 somma è 1−q.

Esempio 1.4

Studiamo la serie ∞ 1X log(1 + n)n=1 G.Di Fazio La serie diverge positivamente. Infatti, n n1X X − →s = log(1 + ) = (log(j + 1) log j) = log(n + 1) +∞. n jj=1 j=1 Notiamo che per determinare il carattere della serie abbiamo proceduto per via diretta. Cioè abbiamo espresso in forma chiusa il termine generale della successione delle somme parziali. In generale, un tale procedimento è da sconsigliare per le difficoltà di carattere algebrico. Cerchiamo quindi delle condizioni dalle quali dedurre il carattere della serie senza essere costretti a manipolare la successione s_n. n ∞P ∈

Definizione 1.2 (Serie resto)

Data una serie numerica a e un numero k diciamo N, nn=1 serie resto di ordine k la serie ottenuta da quella data cancellando i primi k termini ovvero la serie ∞P a_n. nn=k+1

Teorema 1.1

Una serie ed un suo qualsiasi resto hanno lo stesso carattere. Dim. Si ha: n nX X· · ·s = a + + a + a = s + a_n 1 k j k jj=k+1 j=k+1

Teorema 1.2

La successione dei resti di una serie convergente è infinitesima. Dim. Usando le notazioni del teorema precedente abbiamo: ∞ nX X − −≡ a = lim a = lim s s = s s_R j j n k kk nn→∞j=k+1 j=k+1 da cui −lim R = lim s s = 0. k kk k

Teorema 1.3

Si ha: ∞ ∞X X ∀λ ∈ 6λa = λ a = 0; n nn=1 n=1 ∞ ∞ ∞X XX (a + b ) = a + b . n n n nn=1 n=1 n=1 − ∞. tranne il caso in cui si presenti la forma +∞2 Appunti di Analisi Matematica I Dim. Basta passare al limite nelle eguaglianze nnn n n XXX X X ba +λa = λ a, (a + b ) = jjj j j j j=1 j=1j=1 j=1j=1 ∞P

Teorema 1.4

Condizione necessaria e sufficiente affinché la serie a sia convergente è che nn=1 n+pX ∀ε ∃ ∈ ∀n ∀p ∈> 0 ν : > ν a < ε. N N jj=n+1 Dim. Basta applicare il criterio di convergenza per le successioni alla successione s_n. n∞P →

Corollario 1.1

Condizione necessaria affinché la serie a risulti convergente è che a 0. n nn=1 Dim. Basta applicare il criterio precedente con p = 1. La condizione non è sufficiente per la convergenza. Basti pensare alla serie armonica.

Una classe particolare di serie è costituita dalle serie a termini di segno costante. La caratteristica di queste serie è di avere la successione delle somme parziali monotona cosicché tali serie risultano sempre regolari. ∞ ∞P P ≤ ≤ ∀n ∈

Teorema 1.5 (confronto)

Siano a, b due serie tali che: 0 ≤ a ≤ b Allora: N.n n n nn=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞P P P P∈ ∈ ≤1. b =⇒ a ed in tal caso a b ; R R n nn nn=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞P P2. a = +∞ =⇒ b = +∞ n nn=1 n=1 Dim. Dall’ ipotesi si ha: ∞n nX X X≤ ≤a b b j j nn=1j=1 j=1 e ricordando che le somme parziali di ciascuna delle due serie sono monotone segue la 1. Similmente si prova la 2. ∞P {k }

Teorema 1.6

Sia a una serie numerica convergente a termini positivi. Sia una successione crescente di interi e sia b = a. Allora b converge e si ha: b a. n k n n nn=1 n=1 n=1 n Dim. Si ha: ∞kn n nX X XX≤ ≤ ∀n ∈b = a a a N j k j j jj=1 j=1 j=1 j=1 da cui la tesi per monotonia. 3G.Di Fazio∞ ∞P P

Corollario 1.2

Siano a, b due serie a termini positivi che contengano gli stessi termini. Allora si ha: ∞ ∞X Xa = b. n nn=1 n=1 Dim. Basta applicare due volte il teorema precedente.

Studiamo adesso alcune condizioni sufficienti per la convergenza delle serie a termini positivi. ∞P

Teorema 1.7 (del rapporto)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esistono nn=1 ∈ ∈ h [0, 1[ e ν tali che N a_n+1 ≤ ∀nh > ν. a_n Allora la serie converge. Dim. Dall’ ipotesi si ha: 2 k≤ ≤ ≤ · · · ≤a ha h a h a ν+k+1 ν+k ν+k−1 ν+1 e quindi la tesi dal teorema di confronto. ∞P ∈

Teorema 1.8

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste ν tale che N nn=1 a_n+1 ≥ ∀n1 > ν. a_n Allora la serie diverge. Dim. La successione a è monotona crescente e quindi non può tendere a zero. Viene violata n la condizione necessaria di convergenza.

Corollario 1.3 (criterio del rapporto)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che nn=1 a ˜∈n+1 = l Esiste lim R. n a_n 1. Se l > 1 la serie diverge; 2. Se l < 1 la serie converge; 3. Se l = 1 nulla può dirsi. La dimostrazione è una ovvia conseguenza del teorema precedente e del teorema della permanenza del segno. Con riferimento al caso 3. notiamo che la serie armonica e la serie di Mengoli si trovano entrambe al caso 3. ma hanno carattere diverso. 4Appunti di Analisi Matematica I ∞P

Teorema 1.9 (della radice)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esistono nn=1 ∈ ∈ h [0, 1[ e ν tali che N √ ≤ ∀nn a h > ν. n Allora la serie converge. n≤ Dim. Si ha: a h e la tesi è immediata per confronto. n ∞P

Teorema 1.10 (della radice)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste nn=1 ∈ν tale che N √ ≥ ∀nn a 1 > ν. n Allora la serie diverge. ≥ Dim. Si ha: a 1 e la tesi segue dalla condizione necessaria di convergenza. n ∞P

Corollario 1.4 (criterio della radice)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che nn=1 esiste √nlim a_n Allora: 1. Se l > 1 la serie diverge; 2. Se l < 1 la serie converge; 3. Se l = 1 nulla può dirsi.

Teorema 1.11 (Raabe)

Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste nn=1 a_n ˜− ∈1 = llim n R. a_n n+1 Allora: 1. Se l > 1 la serie converge; 2. Se l < 1 la serie diverge; 3. Se l = 1 nulla può dirsi. Attraverso i criteri del rapporto e della radice si possono studiare le serie il cui termine generale presenta un tasso di decadimento più che polinomiale. Falliscono entrambi, ad esempio, per la serie ∞ 1P (armonica generalizzata) α > 0. Talvolta risulta utile il criterio di Raabe. Comunque αn=1 n proviamo il seguente risultato dovuto a Cauchy. 5G.Di Fazio∞P ≤ ≤

Teorema 1.12 (di condensazione)

Sia a una serie a termini positivi tale che 0 ≤ a n n+1 nn=1 ∞ ∞ nP P ∀n ∈a Allora le serie a e 2 a hanno lo stesso carattere. N. nn n 2n=1 n=0 Dim. Si ha: nX k≡ ≤ {a · · · · · · · · ·σ 2 a a + 2 + (a + a ) + (a + + a ) + + (a + + a )} nn−1k 1 2 3 4 5 8 2n 2 +1 2k=0 ≤ − −a ∀n &is