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Serie Numeriche

Appunti di Analisi 1 della prof.ssa Passarelli sulle serie numeriche: Serie Numeriche nel campo reale, Serie armonica, serie geometrica, la serie convergente, Serie a termini di segno non costante, Proprieta associativa e commutativa, Serie Prodotto secondo Cauchy, Una osservazione sui numeri reali, Serie a termini complessi.

Esame di Analisi 1 docente Prof. A. Passarelli

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ESTRATTO DOCUMENTO

G.Di Fazio

La serie diverge positivamente. Infatti,

n n

1

X X − →

s = log(1 + ) = (log(j + 1) log j) = log(n + 1) +∞.

n j

j=1 j=1

Notiamo che per determinare il carattere della serie abbiamo proceduto per via diretta. Cioè

abbiamo espresso in forma chiusa il termine generale della successione delle somme parziali. In

generale, un tale procedimento è da sconsigliare per le difficoltà di carattere algebrico. Cerchiamo

quindi delle condizioni dalle quali dedurre il carattere della serie senza essere costretti a manipolare

la successione s .

n ∞

P ∈

Definizione 1.2 (Serie resto). Data una serie numerica a e un numero k diciamo

N,

n

n=1

serie resto di ordine k la serie ottenuta da qualla data cancellando i primi k termini ovvero la serie

P a .

n

n=k+1

Teorema 1.1 Una serie ed un suo qualsiasi resto hanno lo stesso carattere.

Dim. Si ha: n n

X X

· · ·

s = a + + a + a = s + a

n 1 k j k j

j=k+1 j=k+1

Teorema 1.2 La successione dei resti di una serie convergente è infinitesima.

Dim. Usando le notazioni del teorema precedente abbiamo:

∞ n

X X − −

≡ a = lim a = lim s s = s s

R j j n k k

k n

n→∞

j=k+1 j=k+1

da cui −

lim R = lim s s = 0.

k k

k k

Teorema 1.3 Si ha: ∞ ∞

X X ∀λ 6

λa = λ a = 0;

n n

n=1 n=1

∞ ∞ ∞

X X

X (a + b ) = a + b .

n n n n

n=1 n=1 n=1

− ∞.

tranne il caso in cui si presenti la forma +∞

2

Appunti di Analisi Matematica I

Dim. Basta passare al limite nelle eguaglianze n

n

n n n X

X

X X X b

a +

λa = λ a , (a + b ) = j

j

j j j j j=1 j=1

j=1 j=1

j=1 ∞

P

Teorema 1.4 Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie a sia convergente è che

n

n=1

n+p

X

∀ε ∃ ∈ ∀n ∀p ∈

> 0 ν : > ν a < ε.

N N j

j=n+1

Dim. Basta applicare il criterio di convergenza per le successioni alla successione s .

n

P →

Corollario 1.1 Condizione necessaria affinchè la serie a risulti convergente è che a 0.

n n

n=1

Dim. Basta applicare il criterio precedente con p = 1. La condizione non è sufficiente per la

convergenza. Basti pensare alla serie armonica.

Una classe particolare di serie è costituita dalle serie a termini di segno costante. La carat-

teristica di queste serie è di avere la successione delle somme parziali monotona cosicchè tali serie

risultano sempre regolari. ∞ ∞

P P ≤ ≤ ∀n ∈

Teorema 1.5 (confronto) Siano a , b due serie tali che: 0 a b Allora:

N.

n n n n

n=1 n=1

∞ ∞ ∞ ∞

P P P P

∈ ∈ ≤

1. b =⇒ a ed in tal caso a b ;

R R n n

n n

n=1 n=1 n=1 n=1

∞ ∞

P P

2. a = +∞ =⇒ b = +∞

n n

n=1 n=1

Dim. Dall’ ipotesi si ha: ∞

n n

X X X

≤ ≤

a b b

j j n

n=1

j=1 j=1

e ricordando che le somme parziali di ciascuna delle due serie sono monotone segue la 1. Similmente

si prova la 2. ∞

P {k }

Teorema 1.6 Sia a una serie numerica convergente a termini positivi. Sia una suc-

n n

n=1 ∞ ∞ ∞

P P P

cessione crescente di interi e sia b = a . Allora b converge e si ha: b a .

n k n n n

n=1 n=1 n=1

n

Dim. Si ha: ∞

k

n n n

X X X

X

≤ ≤ ∀n ∈

b = a a a N

j k j j

j

j=1 j=1 j=1 j=1

da cui la tesi per monotonia. 3

G.Di Fazio

∞ ∞

P P

Corollario 1.2 Siano a , b due serie a termini positivi che contengano gli stessi

n n

n=1 n=1

termini. Allora si ha: ∞ ∞

X X

a = b .

n n

n=1 n=1

Dim. Basta applicare due volte il teorema precedente.

Studiamo adesso alcune condizioni sufficienti per la convergenza delle serie a termini positivi.

P

Teorema 1.7 (del rapporto) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esistono

n

n=1

∈ ∈

h [0, 1[ e ν tali che

N a

n+1 ≤ ∀n

h > ν.

a

n

Allora la serie converge.

Dim. Dall’ ipotesi si ha: 2 k

≤ ≤ ≤ · · · ≤

a ha h a h a

ν+k+1 ν+k ν+k−1 ν+1

e quindi la tesi dal teorema di confronto.

P ∈

Teorema 1.8 Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste ν tale che

N

n

n=1 a

n+1 ≥ ∀n

1 > ν.

a

n

Allora la serie diverge.

Dim. La successione a è monotona crescente e quindi non può tendere a zero. Viene violata

n

la condizione necessaria di convergenza. ∞

P

Corollario 1.3 (criterio del rapporto) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che

n

n=1

a ˜

n+1 = l Allora:

esiste lim R.

n a

n

1. Se l > 1 la serie diverge;

2. Se l < 1 la serie converge;

3. Se l = 1 nulla può dirsi.

La dimostrazione è una ovvia conseguenza del teorema precedente e del teorema della perma-

nenza del segno. Con riferimento al caso 3. notiamo che la serie armonica e la serie di Mengoli si

trovano entrambe al caso 3. ma hanno carattere diverso.

4

Appunti di Analisi Matematica I ∞

P

Teorema 1.9 (della radice) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esistono

n

n=1

∈ ∈

h [0, 1[ e ν tali che

N √ ≤ ∀n

n a h > ν.

n

Allora la serie converge. n

Dim. Si ha: a h e la tesi è immediata per confronto.

n ∞

P

Teorema 1.10 (della radice) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste

n

n=1

ν tale che

N √ ≥ ∀n

n a 1 > ν.

n

Allora la serie diverge.

Dim. Si ha: a 1 e la tesi segue dalla condizione necessaria di convergenza.

n ∞

P

Corollario 1.4 (criterio della radice) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che

n

n=1

esiste √

n

lim a

n

n

Allora:

1. Se l > 1 la serie diverge;

2. Se l < 1 la serie converge;

3. Se l = 1 nulla può dirsi. ∞

P

Teorema 1.11 (Raabe) Sia a una serie a termini positivi. Supponiamo che esiste

n

n=1

a

n ˜

− ∈

1 = l

lim n R.

a

n n+1

Allora:

1. Se l > 1 la serie converge;

2. Se l < 1 la serie diverge;

3. Se l = 1 nulla può dirsi.

Attraverso i criteri del rapporto e della radice si possono studiare le serie il cui termine generale

presenta un tasso di decadimento più che polinomiale. Falliscono entrambi, ad esempio, per la serie

∞ 1

P

(armonica generalizzata) α > 0. Talvolta risulta utile il criterio di Raabe. Comunque

α

n=1 n

proviamo il seguente risultato dovuto a Cauchy. 5

G.Di Fazio

P ≤ ≤

Teorema 1.12 (di condensazione) Sia a una serie a termini positivi tale che 0 a

n n+1

n=1

∞ ∞ n

P P

∀n ∈

a Allora le serie a e 2 a hanno lo stesso carattere.

N. n

n n 2

n=1 n=0

Dim. Si ha: n

X k

≡ ≤ {a · · · · · · · · ·

σ 2 a a + 2 + (a + a ) + (a + + a ) + + (a + + a )}

n

n−1

k 1 2 3 4 5 8 2

n 2 +1

2

k=0

≤ − −a

a + 2(s a ) = + 2s

n n

1 2 1 1 2

ovvero ≤ −a ∀n ∈

σ + 2s N.

n

n 1 2

D’altra parte n −1

2

X

≤ · · · · · · · · ·

s s = a = a + (a + a ) + (a + a + + a ) + + (a + + a )

n n

−1 −1

n−1

n 2 k 1 2 3 4 5 7 2

2

k=1

2 n−1

≤ · · ·

a + 2a + 2 a + + 2 a = σ

2 n−1

1 2 n−1

2 2

e la tesi segue applicando due volte il teorema di confronto.

Usando il teorema di condensazione è possibile studiare la serie armonica generalizzata.

Esempio 1.5 Studiamo la serie ∞ 1

X α > 0.

α

n

n=1

Applicando il teorema di condensazione, è sufficiente conoscere il carattere della serie

X 1−α n

(2 ) α > 0

n=0

che è ovviamente noto in quanto serie geometrica. Pertanto la serie armonica generalizzata converge

se e solo se α > 1.

Dal teorema di confronto segue immediatamente il ∞ ∞

P P

Teorema 1.13 (del confronto asintotico) Siano a e b due serie a termini positivi.

n n

n=1 n=1

a

∃ = l > 0 allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Se lim n

n→∞ b n

Osservazione 1.1 Il teorema si può riformulare nel modo seguente: Se a = o(1), e b = o(1) e

n n

a = l b + o(1) allora le due serie hanno lo stesso carattere.

n n

Adesso, per mostrare l’utilità dei vari criteri di convergenza, studiamo alcune serie numeriche.

∞ 1

P = +∞.

Esempio 1.6 sen

n=1 n

Infatti,

1 1 1

sen = + o .

n n n

6

Appunti di Analisi Matematica I

∞ 1

P

Esempio 1.7 log 1 + ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata.

α

n=1 n

Infatti,

1 1 1

log 1 + = + o .

α α α

n n n

∞ 1

2

P

Esempio 1.8 sen converge.

2

n=1 n

Infatti,

1 1 1

2

sen = + o .

2 4 4

n n n

2

∞ 3n +7n+ 2

P

Esempio 1.9 converge.

n=1 4 3 2

n + 3n +2n +5n+1

Infatti, √

2

3n + 7n + 2 3 3

√ = + o .

2 2

n n

4 3 2

n + 3n + 2n + 5n + 1

k

∞ log n

P ∈

, k α > 0 ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata.

Esempio 1.10 N,

α

n=1 n

Infatti, applicando il teorema di condensazione, la serie data ha lo stesso carattere della serie

∞ k

n

X α−1 n

(2 )

n=1 ≤

la quale risulta convergente per α > 1 e divergente se α 1 indipendentemente dal valore di k.

Notiamo incidentalmente che, come conseguenza della convergenza della serie si ha:

k

log n

lim = 0.

α

n

n→∞

n−1

∞ 2

−x

2 n

P

Esempio 1.11 (1 + e ) ;

n+1

n=1 3 2

−x

2

È una serie geometrica di ragione (1 + e ) e quindi converge se e solo se il modulo della ragione

√ 3

|x|

è minore di 1 ovvero, per > log 2.

n

∞ n

P ;

Esempio 1.12 2n

n=1 ( )

n

La serie diverge. Infatti, aplicando il criterio del rapporto si trova

n

2n

(n+1) 2

(n + 1) 1 (2n)! ((n + 1)!)

n

· = 1+ (n + 1)

n 2

n n (n!) (2n + 2)!

2n+2

n+1 n 3

1 (n + 1) → +∞.

= 1+ n (2n + 1)(2n + 2)

n

∞ n

P

Esempio 1.13 ;

2

n=1 (n!)

La serie converge. Applicando il criterio del rapporto si ha:

n+1 2

(n + 1) (n!)

· → 0.

2 n

((n + 1)!) n 7

G.Di Fazio

∞ n!

P

Esempio 1.14 ;

n

n=1 n

La serie converge. Applicando il criterio del rapporto si ha:

n

n

(n + 1)! n n 1

· →

= < 1.

(n+1) n! n +1 e

(n + 1)

∞ 1 12

P

Esempio 1.15 = ;

2

n=1 −1

4n

Infatti, ragionando come nel caso della serie di Mèngoli si ha:

1 1 1 1

− ∀n ∈

= , N

2 − −

4n 1 2 2n 1 2n + 1

e quindi

1 1

1 − →

1 .

s =

n −

2 2n 1 2

2

n

∞ 1 1

P 1 + ;

Esempio 1.16 n

n=1 n3 n

La serie converge. Infatti, applicando il criterio della radice si ha:

n

1 1 e

√ →

1+ < 1.

n 3

3 n

n

n

∞ 2

P −

Esempio 1.17 log x log x , x > 0;

n=0 2 − |q|

La serie è geometrica di ragione q = (log x log x) e quindi converge se e solo se < 1 ovvero

1− 5

per x < e .

2 √

2n

∞ n+1−1

1

P − −

Esempio 1.18 1 log 1 ;

n=1 x n

1

− − |q|

Posto q = 1 log 1 , applicando il criterio del rapporto si ha che la serie converge se < 1.

x arctang n

2n

∞ x 1

P

Esempio 1.19 1 + ;

n=1 n! n

Usando il criterio del confronto asintotico si vede che la serie ha lo stesso carattere della serie

2n

∞ x

P ∀x ∈

. Quest’ ultima serie si studia poi con il criterio della radice trovando che converge R.

n=1 n! ∞ 1 1 2n

P · · ·

Esempio 1.20 1 + x ;

+ + 2

n=1 4 n

Applichiamo il criterio del rapporto.

1 1 1 2n+2

··· 1 !

+ + + x

1+ 2 2

4 n (n+1) 2

(n+1) 2 2

= 1+ x x

1 1

1 1 2n ···

··· 1+ + +

1+ + + x 2

2 4 n

4 n |x|

e quindi la serie è convergente se e solo se < 1.

8

Appunti di Analisi Matematica I

∞ 1

P

Esempio 1.21 ;

log n

n=1 n

La serie converge. Infatti, 1 1

≤ ∀n ≥ 2.

log n 2

n n

∞ 1

P

Esempio 1.22 ;

n=2 log n! ∞ 1 n!

P →

Confrontiamo con la serie . Infatti, ricordando che 0 si deduce che, almeno

n

n=2 n log n n

definitivamente si ha: 1

1 ≤

n log n log n!

e quindi la serie data diverge.

√ n

∞ n 1

P

Esempio 1.23 ; (confronta con .)

n α

n=1 2 n

1.2 Serie a termini di segno non costante

Preliminarmente mostriamo la validità della seguente formula di sommazione per parti.

n

P

Lemma 2.1 (Abel) Posto A = a , si ha:

n k

k=0

q q−1

X X

− − ∀p, ∈ ≤ −

a b = A b A b + A (b b ) q , p q 1.

N

n n q q p−1 p n n n+1 0

n=p n=p

Dim. q q q q q q−1

X X X X X

X − − −

a b = (A A )b = A b A b = A b A b

n n n n−1 n n n n−1 n n n m m+1

n=p n=p n=p n=p n=p m=p−1

q−1

X − −

= A (b b ) + A b A b .

n n n+1 q q p−1 p

n=p

Servendoci del Lemma di Abel possiamo dimostrare il seguente teorema di Cauchy - Dirichlet.

P ≥ →

Teorema 2.1 Sia data la serie a b . Supponiamo che b b 0 ed inoltre esista

n n n n+1

n=0 ∞

n

P P

|A | ≤ ∀n ∈

M : = a M Allora la serie a b converge.

N.

n j n n

j=0 n=0 →

Dim. Proviamo che la serie converge verificando il criterio di Cauchy. Ricordiamo che b 0

n

ovvero che ∀ε ∃ ∈ ∀n ⇒

> 0 ν : > ν 0 < b < ε

N n

e quindi, se n > ν, p si ha:

N,

n+p n+p−1 n+p−1 !

X X

X ≤

− − −

M b + b +

a b = A b A b + A (b b ) (b b )

k k n+p n+p n−1 n k k k+1 n+p n k k+1

k=n k=n k=n

− − · · · −

= M (b + b + b b + b b + + b b ) = 2M b < ε.

n+p n n n+1 n+1 n+2 n+p−1 n+p n 9

G.Di Fazio

P

Teorema 2.2 Supponiamo che la serie a sia convergente. Sia inoltre b una successione

n n

n=0

P

monotona e limitata. Allora la serie a b è convergente.

n n

n=0

Dim. Supponiamo, ad esempio, che la successione b sia decrescente e chiamiamo l il suo

n ∞

P −

limite. Applicando il teorema precedente si ha che la serie a (b l). Dal fatto che a b =

n n n n

n=0

a (b l) + a l la tesi si ottiene applicando il teorema precedente alla serie

n n n +∞

X −

a (b l).

n n

n=0

Come corollario si ha il seguente criterio di convergenza di Leibniz.

∞ n

P →

Teorema 2.3 Sia data la serie (−1) a tale che: 0 < a < a , a 0. Allora la serie è

n n+1 n n

n=0

convergente.

Osservazione 2.1 Nelle stesse ipotesi del teorema appena dimostrato si ha:

|s − | ≤ ∀n ∈

s M b , N.

n n

Dim. Infatti,

+∞ k

X X

|s − |

s = a b = lim a b

n j j j j

k

j=n j=n

|a − − −

= lim (b b ) + (a + a )(b b ) + . . . + (b b )(a + . . . + a )

n n n+1 n n+1 n+1 n+2 k−1 k n k

k

+b (a + . . . + a )|

k n k

≤ ∀n ∈

M b N.

n

e, nel caso del teorema di Leibniz la disuguaglianza prende la forma seguente

|s − | ≤ ∀n ∈

s b N.

n n

∞ ∞

P P |a |

Definizione 2.1 La serie a si dice Assolutamente convergente se la serie con-

n n

n=0 n=0

verge.

In generale convergenza e convergenza assoluta non sono equivalenti. Infatti, si ha:

Teorema 2.4 Una serie Assolutamente convergente è convergente.

n+p n+p

P P

≤ |a |

Dim. Applicando il criterio di convergenza di Cauchy si ha: a < ε.

j j

j=n j=n

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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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