Dimostrazione della convergenza della serie

Proviamo che la serie converge verificando il criterio di Cauchy. Ricordiamo che per ogni epsilon esiste un numero naturale nu tale che per ogni n maggiore di nu, si ha:

|a_n+p - a_n| < epsilon

Quindi, se n > nu, si ha:

|a_n+p - a_n+p-1| + |a_n+p-1 - a_n+p-2| + ... + |a_n+1 - a_n| < epsilon

Applicando il teorema di Cauchy, otteniamo:

|a_n+p - a_n| < M * (b_n+p + b_n+p-1 + ... + b_n) < epsilon

Quindi la serie converge.

Teorema 2.2

Supponiamo che la serie a sia convergente. Sia inoltre b una successione monotona e limitata. Allora la serie a * b è convergente.

Dimostrazione:

Supponiamo, ad esempio, che la successione b sia decrescente e chiamiamo l il suo limite. Applicando il teorema precedente si ha che la serie a * (b - l) converge. Dal fatto che a * b = a * (b - l) + a * l, la tesi si ottiene applicando il teorema di convergenza delle serie.

teorema precedente alla serie n n +∞X −a (b l).n nn=0

Come corollario si ha il seguente criterio di convergenza di Leibniz.∞ nP →

Teorema 2.3 Sia data la serie (−1) a tale che: 0 < a < a , a 0. Allora la serie èn n+1 n nn=0convergente.

Osservazione 2.1 Nelle stesse ipotesi del teorema appena dimostrato si ha:|s − | ≤ ∀n ∈s M b , N.n nDim. Infatti,+∞ kX X|s − |s = a b = lim a bn j j j jkj=n j=n|a − − −= lim (b b ) + (a + a )(b b ) + . . . + (b b )(a + . . . + a )n n n+1 n n+1 n+1 n+2 k−1 k n kk+b (a + . . . + a )|k n k≤ ∀n ∈M b N.ne, nel caso del teorema di Leibniz la disuguaglianza prende la forma seguente|s − | ≤ ∀n ∈s b N.n n∞ ∞P P |a |

Definizione 2.1 La serie a si dice Assolutamente convergente se la serie con-n nn=0 n=0verge.

In generale convergenza e convergenza assoluta non sono equivalenti. Infatti, si ha:

Teorema 2.4 Una serie Assolutamente

convergente è convergente.

n+p n+pP P≤ |a |

Dim. Applicando il criterio di convergenza di Cauchy si ha: a < ε.j jj=n j=n10

Appunti di Analisi Matematica I n∞ (-1)P

Esempio 2.1 La serie è convergente ma non assolutamente convergente.

n=1 n∞ ∞P P

Teorema 2.5 Sia a una serie tale che a = b + o(c ) dove la serie b è convergenten n n n nn=1 n=1∞ ∞P P

mentre la serie c è assolutamente convergente. Allora la serie a risulta convergente.n nn=1 n=1∞P-

Dim. Per ipotesi si ha: a b = o(c ) e quindi (a b ) è assolutamente convergente,n n n n nn=1∞ ∞ ∞P P P-

quindi a = (a b ) + b converge.n n n nn=1 n=1 n=1

Esempio 2.2 La serie ∞ nnX n(-1) ne n!n=0è convergente.

Infatti, √-n -θn /12n∀n ∈ ∃θ ∈]0, 1[ : n! = n e 2πne nN, ne quindi n nn θ 1 (-1) (-1) θ 1n 1 1n nn n √ √ √ √- -

1. (-1) 1 + o = + o(-1) n 3/2e n! 12n n n n3/22πn 2π 12 2πnda cui quanto affermato perché la serie ∞ n(-1)X √ nn=1è convergente per il teorema di Leibniz mentre la serie∞ n(-1) θ nX 3/2nn=1è assolutamente convergente.

2. Proprietà associativa e commutativa

   ∞P {k }Definizione 3.1 Sia data la serie a . Sia una successione di interi crescente. A partiren nn=1 ∞kP Pndalla serie data possiamo costruire la successione b = a e la serie b . Diciamon j nj=k +1 n=1n-1∞ ∞P Pche la serie a gode della proprietà associativa se la serie b converge per ogni sceltan nn=1 n=1∞ ∞P P{k }possibile della successione ed inoltre b = an n nn=1 n=1∞ nP (-1) non gode della proprietà associativa.

3. Esempio 3.1 La serie n=0Infatti, ∞ ∞X Xn n+1 n n+161=1+ ((-1) + (-1) ) = ((-1) + (-1) ) = 0.n=1 n=0

4. Teorema 3.1 Ogni serie regolare gode della proprietà associativa. ∞PDim.

Infatti la successione delle somme parziali della serie b è una estratta della successione delle somme parziali della serie a.

Definizione 3.2: Diciamo che la serie b è un riordinamento della serie a se esiste una corrispondenza biunivoca j: N → N tale che b_n = a_j(n).

Definizione 3.3: Diciamo che la serie a gode della proprietà commutativa se ogni suo riordinamento è convergente e la somma di tutti i riordinamenti è uguale alla somma della serie data.

Teorema 3.2: Ogni serie assolutamente convergente gode della proprietà commutativa.

Dim. Il teorema è stato già provato nel caso delle serie a termini positivi. Sia a_n una serie assolutamente convergente in questione. Poniamo a⁺_n = max{a_n, 0}, a^-_n = max{-a_n, 0}, e analogamente, b⁺_n = max{b_n, 0}, b^-_n = max{-b_n, 0}. Si ha: |a_n| ≤ a⁺_n; |a_n| ≤ a^-_n.

ordine in cui si presentano in a . Naturalmente,nn=0+∞ +∞X XP = Q = +∞.n nn=0 n=012Appunti di Analisi Matematica I {α }, {β }Adesso assegnamo due successioni tali chen n→ →α α, β β.n nSia m il minimo intero tale che1 P + P + . . . + P > β ,1 2 m 11e sia k il minimo intero tale che1 -P + P + . . . + P (Q + Q + . . . + Q ) < α1 2 m 1 2 k 11 1In maniera simile si determinano i numeri m , k , . . . , m , k . Posto infine2 2 n n-x = P + P + . . . + P (Q + Q + . . . + Q ) + P + P + . . . + Pn 1 2 m 1 2 k m +1 m +2 m1 1 1 1 2- (Q + Q + . . . + Q ) + . . . + P + P + . . . + Pk +1 k +2 k m +1 m +2 m1 1 2 n-1 n-1 n-y = P + P + . . . + P (Q + Q + . . . + Q ) + P + P + . . . + Pn 1 2 m 1 2 k m +1 m +2 m1 1 1 1 2- (Q + Q + . . . + Q ) + . . . + P + P + . . . + Pk +1 k +2 k m +1 m +2 m1 1 2 n-1 n-1 n- (Q + Q + . . . + Q )k +1 k +2 kn-1 n-1 nSfruttando

n n(|x - | ≤ β Pn n mn|y - | ≤ α Qn n k n→ ∞, e, passando al limite per n si ottiene la tesi.

1.4 Serie Prodotto secondo Cauchy ∞ ∞P PDefinizione 4.1 Date due serie numeriche a, b chiamiamo serie prodotto secondo nn=0 n=0Cauchy - o prodotto di convoluzione - la serie in cui il termine generale è il prodotto delle rispettivesomme parziali, ovvero ∞ ∞ ∞ !nX X X X· ≡ a b a b .n n k n-kn=0 n=0 n=0 k=0In generale la serie prodotto di sue serie convergenti non è convergente come mostra il seguenten∞ (-1)PEsempio 4.1 La serie è convergente per il teorema di Leibniz. Mostriamo che la serie√n=0 n+12P n∞ (-1) non lo è.√n=0 n+1Il termine generale della serie prodotto è:n 1Xn(-1) .p -(n (k + 1))(k + 1)k=0 13G.Di FazioPer provare che la serie prodotto non converge mostriamo che il valore assoluto del termine

generalenon tende a zero. Infatti,n n n1 1 1X X X≥ ≥ = 1.p p n + 1−(n (k + 1))(k + 1) (n + 1)nk=0 k=0 k=0D’altra parte ci sono i seguenti risultati:∞ ∞P P

Teorema 4.1 (Mertens) Se a , b sono due serie delle quali una converge e l’altran nn=0 n=0assolutamente convergente allora la serie prodotto è convergente.∞ ∞P P

Teorema 4.2 Se a , b sono assolutamente convergenti allora la serie prodotto èn nn=0 n=0assolutamente convergente.

Esempio 4.2 La costante di Eulero - MascheroniConsideriamo la serie ∞ 1 n +1X − log .n nn=1Usando la formula di Taylor arrestata al secondo ordine si ha: 1 n +1 1 1 1 1 1− − −log = + o = + o2 2 2 2n n n n 2n n 2n ne perciò la serie converge. Inoltre n 1 k +1X − ≡ −s = log H log nn nk kk=1e quindi, chiamando γ la somma della serie, otteniamo che la ridotta della serie armonica divergelogaritmicamente. La costante γ si chiama costante di Eulero - Mascheroni.

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