Serie numeriche

Serie numeriche

Definite come una sommatoria infinita, o la somma di tutte le somme parziali, in particolar modo ecco un esempio:

n ∞∑ ∑−k −k = 0,9 + 0,09 + 0,009

lim 9∗10 → 1 = 9∗10 … = 1n →+∞ k=0 k=0 ∞∑ ∈ ∈

Definizione

Una serie, converge a S (appartenente a R) se (a) a R, k Nk kk=0 n∑≔ la successione delle ridotte (o somme parziali) converge a S, allora S an kk=0. S è detta la somma della serie. In questo caso a è detto “termine generale kdella serie”. Nell’esempio sopra, il termine generale converge a 0 per k che tende ad infinito, ma la somma converge a 1.

Esempi di serie

Ecco altri esempi per spiegare la differenza fra sommatoria e serie:

• n ( ) ( )n n+1 n n+1∑ = ∞ k= , lim2 2n→∞k=0

La ridotta ha formula uguale a quello per un particolare n, ma per n tendente ad infinito, la serie diverge a più infinito.

Serie di Mengoli

n 1 n n∑ = =1, limn+1 n+1( )+1k k n→∞k=1

Si nota che il termine generale della successione converge a 0 per k tendente all’infinito, questa serie è detta Serie di Mengoli.

∞∑ k(−1 ) = non esiste, non converge e non diverge = 1−1+1−1+1−1+ 1…k=0

In questo caso si dice che la serie non ha limite.

Serie geometrica

Ossia le sue ridotte sono somme geometriche:

∞∑ kxk=0

Adesso osserviamo la formula generale della sua ridotta:

• n∑ kxk=0

Si può notare da subito che se x = 1, la serie sarà uguale a 1+1+1+1+1… Per questo motivo diverge in questo caso, se invece x è diverso da 1, la formula generale è:

n+11−x1−x

• Se x è maggiore di 1, la serie diverge a più infinito (viene meno infinito fratto una quantità negativa, quindi infinito positivo);
• Se |x| ≤ 1, allora la formula della serie è 1−x, quindi converge ad un valore determinato;
• Se x è minore o uguale a -1, la serie non ha limite poiché si vede che oscilla, quindi oscillerebbe fra più infinito e meno infinito.

Termine generale delle serie convergenti

In merito alle serie convergenti, si dimostra che il termine generale è infinitesimo (sempre più piccolo):

∞∑ a → 0

Teorema

Se converge, allora a kkk=0. Dimostrazione sul quaderno. Si nota anche che non vale viceversa.