Serie numeriche

SERIE A TERMINI NON NEGATIVI

∞ ∞

∑ ∑

=

a a ≥0, S a → S ≥ 0

k k n k n

k=0 k=0

∞

∑ [

k )

∈ >1,

x , x 0, 1 ,la serie converge , se x diverge a+ ∞

k=0 ∞ 1

∑ , p>1 converge , p ≤1 diverge a+∞

p

k

k=0

∞

∑

Supponiamo con il termine generale positivo, se il termine generale è

a k

k=0 ∞

c ∑

minore o uguale a per ogni k maggiore di 1, con c>0, allora a

p k

k k=0

converge.

Osservazione (CRITERIO DEGLI INFINITESIMI): quest’ipotesi vale se

p p

, allora , per k grande. Quindi se

∗a ∗a

k →l per k →∞ k ≤ l+1

k k

p , allora la serie converge.

∗a

k →l per k →∞

k ∞

∑ k

Si faccia il confronto con , utilizzando due metodi, il criterio del rapporto

x

k=0

od il criterio della radice.

CRITERIO DEL RAPPORTO: se

a k+1

> >1,

a 0 per ogni k , → l per k →∞ , allora : se l< 1, a converge , se l a diverge .

k k k

a k

Dimostrazione sul quaderno. ∞

∑ k ( )

∈ >0

CRITERIO DELLA RADICE: data se , , allora

x 0,1 , c

a , a ≥ 0, a ≤ cx

k

k k

k=0 √

∞ a

∑ k

converge, quindi se allora la serie converge.

k

a k

∃ =¿ <1

x : a ≤cx ≤ x

k k c

k=0 a k+1 → 1

ATTENZIONE: se , non si può dire niente:

a k

∞ a

1 1 1 k

∑ k+1

= = ∗k =

Esempio: , infatti non si può dire

, a , , per k → ∞ , tendea 1

k +1 +1

k k a k k

k=1 k

niente in questo caso, se non vedendo in altri modi.

√

k

La medesima cosa vale per .

a →1

k

∞ +1

2 k

∑

Per la serie , si applica il criterio degli infinitesimi per p = 4, infatti

5 + +3

k 4 k

k=0

moltiplicando per k e per k tendente ad infinito, il termine generale

4

convergerebbe a 2 e sarebbe minore o uguale a 3, quindi la serie converge.

( )

1

k ¿

1−cos

Un’altra serie esempio è , si applica il criterio degli infinitesimi, quindi

¿

¿

∞

∑ ¿

k=1 ( )

1

p ∗

k 1−cos →l

il mio scopo è cercare p tale che , passando a limite si ha

k

1

k ¿

1−cos , quindi adotto una variabile ausiliaria y = 1/k tale che se k tende a

¿

¿ p ¿

lim k

k →+∞ 1−cos y

+¿

y → 0 p

y

più infinito, y va allo zero positivo: , ma questo, se p = 2, è un

¿

lim

¿

limite notevole che dà come risultato ½, quindi la serie converge.

∞ k

x

∑

Per la serie , che è lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale (già si sa che

k !

k=0

converge a e ), si applica il criterio del rapporto, e si nota che tende a 0, quindi

x

la serie converge. SERIE ALTERNANTI

Una serie alternante è una serie del tipo:

∞

∑ k

(−1 ) ∗a

k

k=0 −a +a −a +a

a …

Si nota subito che non ha limite perché verrebbe 0 1 2 3 4

CRITERIO DI LEIBNIZ

Il criterio di Leibniz si applica proprio alle serie che si presentano nella forma

sopra. ∞

∑ k

(−1 )

Supponiamo che supponiamo che a sia infinitesima (1/k ad

∗a k

k

k=0

esempio) per k tendente ad infinito, ed essa sia definitivamente non crescente,

∞

∑ k

(−1 )

allora la successione: a

k

k=0

converge.

Una successione alternata convergente assume questo grafico in linea di

massima: | |

> ¿ ∨¿

a a

Si può notare che e così via, i successivi valori della successione

0 1

sono sicuramente compresi fra a e a .

0 1

Si vede che le ridotte di ordine pari decrescono, mentre le ridotte di ordine

dispari crescono, e in particolare:

↘ ↗s

S ś , S

2 n 2 n+1

Ma si noterà che i due risultati sono uguali:

2 n+1 2n

∑ ∑

− =a

a a →0 per n →∞ :s e s sono necessariamente uguali e uguali a S

k k n+1

k=0 k=0

In particolare: ∞

∑ k

(−1 )

S ≤ a ≤ S

k

k=0

Analizziamo le somme: ( ) ( )

=a =a −a <a = −a + >a −a >0, =a − −a < −a >0, −a >0

S , S , S a a S a a , dove a a

0 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2

, quindi:

<S <S < <

S … s< s …<S S S

1 3 5 4 2 0

Inoltre:

| |

∞ n

∑ ∑ | |

−

a a ≤ a +1

k k n

k=0 k=0