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Teorema degli zeri
Ipotesi: Sia f:[a,b] -> R una funzione continua (su un intervallo chiuso e limitato). Sia f(a) * f(b) < 0 (i due capi della funzione hanno segno discorde).
Tesi: esiste almeno un elemento x (a,b) tale che f(x) = 0 (esiste un punto nell'intervallo in cui la funzione si annulla).
Osservazione: il teorema non dice quante volte la funzione si annulla su (a,b), dice solo che ciò accade almeno una volta.
Esempio: f(x) = x^2 - x su [-2,2]
La funzione si annulla per tre volte: in x = -1, x = 0 e x = 1.
Osservazione: il teorema non dice nulla nel caso f(a) * f(b) > 0. Questo avviene quando i segni dei due estremi sono concordi (uguali).
Esempio: f(x) = x + 1, f(x) = x - 1 su [-2,2]
f(2) = f(-2) -> f(2) * f(-2) > 0
Ma esistono x = 1 e x = -1 dove f si annulla, cioè f(x) = 0.
0o0oQuando il segno è concorde non si hanno informazioni relative dedurre che si taglia l'asse delle x. Dimostrazione: valoriituttivoltaunaalmenoassumefunzionelaDarboux,diteoremailPer f(b).ef(a)tracompresi f(a)>0.ef(b)<0sef(b)<0punto di partenza).RI(x ,h)=f(x +h)-f(x )= y000 xh
Rapporto incrementale: variazione unitaria, ossia il rapporto tra le variazioni delle due variabili.
f(x +h)°• A y= f(x +h)-f(x )0 Of(x )°a x=f(x +h)-x =ho ax x +h0 o
Il prodotto tra una variazione verticale ( y) e una variazione orizzontale ( x) corrisponde al coefficiente angolare della retta secante: retta che taglia il grafico della funzione in due suoi punti.
Quindi, il rapporto incrementale fornisce la pendenza di una retta secante il grafico della funzione tra due punti: (x ,f(x )) e (x +h,f(x +h)).
00 0 0
Per cui m= yxx +h è un valore mobile, più h si rimpicciolisce, più x +h si sposta verso x .
0 0
Sia f:[a,b]->R una funzione continua e sia x (a,b). Chiamiamo derivata della funzione C-•nel punto x è la indichiamo con il simbolo f’(x ), il limite, se esiste ed è finito, peroo h->0, del rapporto incrementale di f relativo ad x .
0f’(x )=lim f(x +h)-f(x )0O 0h->0 h
Se il
limite del rapporto incrementale non esiste o è infinito, allora si dice che la funzione non è derivabile in quel punto.
Interpretazione geometrica
La derivata di una funzione in un punto corrisponde alla retta tangente al grafico della funzione f nel punto di coordinate (x, f(x)).
f(x +h) • a y= f(x +h)-f(x )
f'(x ) = 0
f(x ) x=f(x +h)-x =h
Più h è un valore piccolo, più la retta che unisce il punto x al punto x +h da secante diventa tangente.
Funzione derivabile
Sia f:[a,b]->R una funzione continua e sia x (a,b). Diremo che f è derivabile su [a,b] se è derivabile in ogni punto di [a,b].
La derivata di una funzione è una nuova funzione che ad ogni x associa la derivata della funzione nel punto x.
x -> f'(x)
Esempi:
- f(x)=c (costante) c-c =0
f'(0)=lim f(x+h)-f(x) =h->0
f'(x)=0 x R La derivata delle funzioni costanti è sempre 0.
- f(x)=mx+q
f'(x)= lim f(x+h)-f(x) =
m(x+h)+q-mx-q = mx+mh+q-mx-q = mh = mh->0 h hhhf'(x)=m se la funzione è una retta.
Derivata destra, derivata sinistra
Siano a,b R e f:(a,b)->R. Sia poi x (a,b) diciamo che f è derivabile da destra se
E E•lim f(x +h)-f(x ) è un numero reale, cioè esiste ed è finito. In questo caso chiamiamo '0 oh->0 hderivata destra di f in x tale numero e lo indichiamo con f+(x ). Quindi se f è O0derivabile da destra scriveremo f+(x )=lim f(x +h)-f(x )I 0 O0h->0 hAnalogamente, diremo che f è derivabile da sinistra in x se lim (x +h)-f(x ) è un0 Oa h->0 hnumero reale, cioè esiste ed è finito. In questo caso chiamiamo derivata sinistra di ftale numero e lo indichiamo con f-(x ). Quindi se f è derivabile da sinistra scriveremoI f-(x )= lim f(x +h)-f(x )1 00 0h->0 hInterpretazione analitica della derivata prima ).+h)-f(xf(x)=limf'(xSupponiamo che f sia derivabile in x . Allora esiste ed
È finito 00O0 h->0 hf(x)" " f'(x )=lim f(x)-f(x ))f(x)-f(x@ 0o o x-xx->x 0f'(x ))f(x 0. 0. x-x 0x xx0Per il calcolo dell'espressione della derivata serve il termine noto (q).f'(x )=lim f(x)-f(x )0O x-xx->x 0 0f(x)-f(x ) - f'(x )=0lim . 0x-xx->x .Olim f(x)-f(x ) f'(x )=0- °:x-xx->x 0 h(x)lim f(x)-f(x )-f'(x )(x-x ) =0° 0°x-xx->x ,o g(x)f(x)-f(x )=f'(x )(x-x )+o(x-x ) per x->x0 0 000x-x permette di dire che f(x)-f(x ) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a00 f'(x )+o(x-x ).o aEquazione retta tangente.Quindi f(x)=f(x )+f'(x )(x-x )+o(x-x )000 0(La funzione è uguale ad una retta che passa per x e f(x ) più qualcosa di più piccolo'di una retta).La derivata prima permette di approssimare, vicino ad x , la funzione mediante una.retta, ossia la tangente al grafico della funzione in x ..La derivata prima permette di approssimare una qualsiasifunzione. La retta tangente è un'approssimazione locale di primo ordine della funzione (si deve rimanere vicini ad x). Esempio: f(x) = 2x in x = 1/2 f(x) = f(1) = 2(1) = 2 h + 4h = 4 2(1 + h) - 2 = lim 2(h + 1 + 2h) - 2 = 2h + 2 + 4h - 2 f'(x) = f'(1) = lim f(2 + h) - f(1) = lim 2(2h) -> 0 h -> 0 h -> 0 h -> 0 y = 2 + 4(x - 1) + o(x - 1) = 2 + 4x - 4 = 4x - 2 I/ Derivate di funzioni elementari - Costante: 0. - Lineare: 1. - Polinomiale o potenza di x (x ∈ R): x^n. (Esempio: 3x = 4 • 3x = 12x^4 - 1 = 3 • 4x^3 = 12x^3) - Esponenziale: lei stessa. - Logaritmo naturale: 1/x. - Trigonometriche: la derivata di cos(x) è -sin(x); la derivata di sin(x) è cos(x). Regole di derivazione - La derivata della somma di due funzioni è la somma delle due derivate. D(f + g) = D(f) + D(g) - La derivata del prodotto di due funzioni è la somma tra il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione e del prodotto tra la seconda funzione e la derivata della prima.funzione.D(f•g)=f•D(g)+g•D(f)
Da ciò si evince che D( f)= D(f)
da- La derivata del quoziente di due funzioni è la differenza del prodotto tra la derivata della prima funzione per la seconda funzione e il prodotto tra la prima funzione per la derivata della seconda funzione, tutto fratto la seconda funzione elevata al quadrato.
D(f/g)=D(f)•g-f•D(g)/g2
Da ciò si evince che D(1/f)=-f’/f2
- La derivata di una funzione composta si ottiene derivando prima la funzione esterna e valutarla in quella interna. Moltiplicare poi tutto per la derivata prima della funzione interna.
(fog)’(x)=f’(g(x))•g’(x)
Esempi: -1/2√1/2-1
- D(ln(x)+ x)=D(ln(x))+D( x)= 1/x+D(x )=1/x+1/2•x =1/x+1/2•x =1/x+1/2•1/ x'' '1/2l l l I' 1l 1l
- D(ln(x)/x)=1/x•x-ln(x)•1 = 1-ln(x)II 1x x2 2
- D(1/ln(x))=0/1/x=0•x=01I
- D(xe)=xe+1e=xe+e=e(x+1)2
- D(ln(x))=D((ln(x)))=2ln(x)•1 \x|2
- D( x+1)=1/2 x+1•2x2 2
f(x)=
x f’(x)=1/ XIg’(x)=2xg(x)=x+1I2 1- D(e )=e x1 •-1/2x I22 f’(x)=ef(x)=eg(x)= 1 g’(x)=-1/2x2-e- D(e )= -x-x f’(x)=ef(x)=e g’(x)=-1g(x)=-x l2x- D(e )=2e2x f’(x)=ef(x)=e g’(x)=2g(x)=2x Punti di non derivabilità
Punto angoloso
Si ha il punto angoloso quando la derivata destra e la derivata sinistra esistono, sono due numeri, ma sono diversi.
f+(x )=f-(x )' l o☐
Esistono e sono finiti.
Cuspide
Si ha la cuspide quando uno dei due limiti (destro o sinistro) del rapporto incrementale risulta infinito.
•nn nn )nn f(x)-f(xlim=)f(x)-f(xlim 0 :x-xx-xx->x x->x00 0
Esistono e almeno uno dei due è infinito.
Flesso a tangente verticale
Si ha il flesso a tangente verticale quando il segno delle due pendenze (da destra e da sinistra) è concorde. .-o+è)f(x)-f(xlim 88÷x-xx->xEsempi: Punto angoloso:- f(x)=|x| f+(x )=f-(x )oof+(0)=f-(0)I 1 |h|lim f(0+h)-f(0) 1I=
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