Secondo parziale di matematica

Università degli Studi dell'Insubria - Economia e Management

Prof Elisa Mastrogiacomo

Secondo parziale matematica

Argomenti

Limiti

• Limiti di funzioni Pag. 5
• Proprietà dei limiti Pag. 9
• Teoremi: teorema sui limiti della successione Pag. 10
• Teoremi: teoremi sui limiti di funzioni reali (teorema unicità del limite) Pag. 11
• Teoremi: teoremi sui limiti di funzioni reali (teorema dell’esistenza del limite per le funzioni monotone) Pag. 13
• Teoremi: teoremi sui limiti di funzioni reali (teorema del confronto - versione 1) Pag. 14
• Teoremi: teoremi sui limiti di funzioni reali (teorema del confronto - versione 2) Pag. 15
• Teoremi: teoremi sui limiti di funzioni reali (teorema della permanenza del segno) Pag. 16
• Teoremi: teoria teoremi sui limiti delle successioni; calcolo dei limiti: limiti di funzioni composte
• Calcolo dei limiti: limiti notevoli o fondamentali (funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali-logaritmiche, successioni notevoli), limiti funzioni razionali fratte (forma indeterminata 0/0) Pag. 17
• Calcolo dei limiti: limiti funzioni razionali fratte (forma indeterminata ), limiti funzioni irrazionali (forma indeterminata 0/0) Pag. 19
• Calcolo dei limiti: limiti funzioni irrazionali (forma indeterminata ),, forma indeterminata -/8 88 8 limiti funzioni trigonometriche Pag. 20
• Calcolo dei limiti: limiti funzioni esponenziali e logaritmiche; infiniti e infinitesimi: confronto tra infinitesimi, scala degli infinitesimi
• Infiniti e infinitesimi: infinitesimi equivalenti, confronto tra infiniti Pag. 21
• Infiniti e infinitesimi: scala degli infiniti, principi di sostituzione degli infinitesimi Pag. 22
• Infiniti e infinitesimi: principio di esclusione degli infinitesimi di ordine superiore, principio di esclusione degli infiniti di ordine inferiore Pag. 23
• Asintoto obliquo, funzioni continue Pag. 24

Continuità

• Operazioni, funzioni inverse di funzioni continue Pag. 25
• Continuità funzioni composte, funzioni discontinue Pag. 26
• Teoremi di funzioni continue: teorema di Weierstrass Pag. 27
• Teoremi di funzioni continue: teorema dei valori intermedi o teorema di Darboux Pag. 28
• Teoremi funzioni continue: teorema degli zeri Pag. 30

Derivate

• Definizione Pag. 32
• Interpretazione geometrica, funzioni derivabili Pag. 33
• Derivata destra e sinistra, interpretazione analitica della derivata prima Pag. 35
• Derivate di funzioni elementari
• Regole di derivazione Pag. 36
• Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide Pag. 38
• Punti di non derivabilità: flesso a tangente verticale Pag. 39
• Teoremi: relazione tra continuità e derivabilità, teorema di Lagrange (o del valor medio)
• Teoremi: teorema di Rolle Pag. 40
• Teoremi: teorema di Lagrange (corollario 1, corollario 2) Pag. 42
• Derivate successive e formula di Taylor Pag. 44
• Teorema di De L’Hopital Pag. 46
• Studio del comportamento locale di una funzione: corrispondenza derivabilità/monotonia Pag. 48
• Studio del comportamento locale di una funzione: teorema di Fermat Pag. 52

Concavità e convessità

• Insiemi convessi ed epigrafico di un insieme Pag. 53
• Funzioni concave e convesse: caratterizzazioni equivalenti di concavità/convessità Pag. 54

Integrali

• Definizione primitiva, definizione integrale indefinito
• Integrazione di alcune funzioni elementari, tecniche di integrazione: linearità dell’integrale Pag. 55
• Tecniche di integrazione: integrali quasi immediati Pag. 56
• Tecniche di integrazione: integrazione per parti
• Tecniche di integrazione: integrale per sostituzione, integrazione di funzioni razionali fratte Pag. 58
• Integrali definiti: integrale di Riemann e teorema della media integrale Pag. 64
• Integrali definiti: calcolo dell’integrale di Riemann (funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo) Pag. 66
• Integrale generalizzato: prima tipologia, seconda tipologia Pag. 67
• Integrale generalizzato: proprietà, convergenza Pag. 68
• Integrale generalizzato: criteri del confronto Pag. 68

Serie

• Definizione, serie geometrica Pag. 70
• Serie geometrica: tre gradi distinti Pag. 72
• Serie armonica: teorema condizione necessaria di convergenza di una serie; serie telescopica
• Criteri di convergenza delle serie a termini positivi: criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto Pag. 73
• Criteri di convergenza delle serie a termini positivi: criterio della radice Pag. 74
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno Pag. 74
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz Pag. 75

Teoremi

Teorema sui limiti della successione

Teorema: Il limite di una successione, se esiste, è unico.

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che per una successione esistano due limiti diversi: l₁ e l₂ con l₁ > l₂. Consideriamo la media di questi valori, ossia 1/2(l₁ + l₂).

• Siano I(l₁), I(l₂) intorni centrati di l₁ e l₂ di ampiezza 1/2(l₁ - l₂)
• I(l₁) = (l₁ - 1/2(l₁ - l₂), l₁ + 1/2(l₁ - l₂))
• I(l₂) = (l₂ - 1/2(l₁ - l₂), l₂ + 1/2(l₁ - l₂))

Allora I(l₁) ∩ I(l₂) = ∅. Poiché l₁ è il limite della successione, esiste N₁ tale per cui i valori della successione di indice n-esimo (con indice maggiore o uguale a N₁) cadono nell’intorno di l₁. Analogamente, poiché anche l₂ è il limite della successione, esiste N₂ tale per cui i valori della successione di indice n-esimo (con indice maggiore o uguale a N₂) cadono nell’intorno di l₂. A partire da N₁ tutti i punti della successione entrano nell’intorno di l₁; a partire da N₂ tutti i punti della successione entrano nell’intorno di l₂. Quindi per tutti gli indici più grandi del massimo di N₁ e N₂, tutti i punti della successione stanno sia nell’intorno di l₁ sia nell’intorno di l₂. Contraddizione! Non possono esserci due limiti distinti.

Teoremi sui limiti di funzioni reali

Teorema di unicità del limite

Sia f: A → R una funzione e x un punto di accumulazione per A, se il limite di f in x esiste, allora il limite è unico.

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che per una funzione esistano due limiti diversi: l₁ e l₂ con l₁ > l₂. Consideriamo la media di questi valori, ossia 1/2(l₁ + l₂).

• Siano I(l₁), I(l₂) intorni centrati di l₁ e l₂ di ampiezza 1/2(l₁ - l₂)
• I(l₁) = (l₁ - 1/2(l₁ - l₂), l₁ + 1/2(l₁ - l₂))
• I(l₂) = (l₂ - 1/2(l₁ - l₂), l₂ + 1/2(l₁ - l₂))

Allora I(l₁) ∩ I(l₂) = ∅. Poiché l₁ è il limite della funzione, esiste N₁ tale per cui i valori della funzione di indice n-esimo (con indice maggiore o uguale a N₁) cadono nell’intorno di l₁. Analogamente, poiché anche l₂ è il limite della funzione, esiste N₂ tale per cui i valori della funzione di indice n-esimo (con indice maggiore o uguale a N₂) cadono nell’intorno di l₂. A partire da N₁ tutti i punti della funzione entrano nell’intorno di l₁; a partire da N₂ tutti i punti della funzione entrano nell’intorno di l₂. Quindi per tutti gli indici più grandi del massimo di N₁ e N₂, tutti i punti della funzione stanno sia nell’intorno di l₁ sia nell’intorno di l₂. Contraddizione! Non possono esserci due limiti distinti.

Teorema dell'esistenza del limite per le funzioni monotone

Il limite delle funzioni monotone esiste sempre. Sia f: A → R una funzione e x un punto di accumulazione per A, supponiamo che f sia monotona crescente. Allora lim_x→x⁻f(x)=inf f(x) e lim_x→x⁺f(x)=sup f(x).

Esempio:

• Se f(x) = x - 1 se x < 0
• f(x) = 0 se x = 0
• f(x) = 1/x se x > 0

Allora:

• lim_x→0⁻f(x) = 0
• lim_x→0⁺f(x) = 1
• lim_x→1⁻f(x) = -1
• lim_x→-1⁺f(x) = -2

Teorema del confronto (versione 1)

Sapendo dove vanno i limiti di due funzioni f e h, si può ricostruire il limite di una funzione che sta in mezzo. Siano f, g e h tre funzioni e x un punto di accumulazione (eventualmente +∞), supponiamo che esista un intorno I(x) tale che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se lim_x→xf(x) = lim_x→xh(x), allora anche lim_x→xg(x) esiste e si ha lim_x→xf(x) = lim_x→xg(x) = lim_x→xh(x).

Esempio:

• 1/x < sin(x) < 1
• lim_x→+∞ sin(x) = 0
• lim_x→+∞ 1/x = 0

Quindi lim_x→+∞ sin(x) = 0.

Teorema del confronto (versione 2)

Sapendo qualcosa su una delle due funzioni, si ricava qualcosa sul limite dell’altra. Siano f, g: A → R due funzioni con f(x) ≤ g(x) in un intorno di x punto di accumulazione (eventualmente +∞):

• Se lim_x→xf(x) = +∞ allora lim_x→xg(x) = +∞
• Se lim_x→xf(x) = -∞ allora lim_x→xg(x) = -∞

Esempio:

• 2x - sin(x) ≤ 2x - 1
• lim_x→+∞ 2x - 1 = +∞
• Quindi lim_x→+∞ 2x - sin(x) = +∞

Conseguenza del teorema confronto

Se lim_x→xf(x) = 0 (oppure +∞), e g(x) è una funzione limitata in un intorno di x (oppure +∞), allora lim_x→xf(x)·g(x) = 0 (oppure +∞).

Esempio:

• lim_x→-∞ cos(x)·e^x = 0

Teorema della permanenza del segno

Sia f: A → R una funzione e x un punto di accumulazione per A, se lim_x→xf(x) esiste ed è positivo (o negativo), allora f(x) è positiva (o negativa) in un intorno di x.

Dimostrazione: Immaginiamo che lim_x→xf(x) = l > 0. Esiste un intorno di x tale che per ogni punto dell’intorno, 0 < l - ε < f(x) < l + ε. Dunque f(x) > 0 in un intorno di x.

Teoremi sui limiti della successione

• Unicità del limite: il limite di una successione, se esiste, è unico.
• Limitatezza: una successione convergente è limitata.
• Esistenza del limite delle successioni monotone: sia data una successione definitivamente monotona. Se essa è limitata, allora è convergente; se non è limitata allora è divergente.

Primo teorema del confronto

Siano {a_n} e {b_n} due successioni tali che esistano infiniti o infiniti. Se definitivamente vale a_n ≤ b_n, allora lim_n→∞a_n = lim_n→∞b_n = l.

Secondo teorema del confronto (caso finito)

Siano {a_n}, {b_n} e {c_n} tre successioni tali che lim_n→∞a_n = lim_n→∞c_n = R. Se definitivamente vale a_n ≤ b_n ≤ c_n, allora lim_n→∞b_n = R.

Secondo teorema del confronto (caso infinito)

Siano {a_n}, {b_n} due successioni tali che lim_n→∞a_n = +∞. Se definitivamente vale a_n ≤ b_n, allora lim_n→∞b_n = +∞. Analogo risultato vale se il limite è -∞: lim_n→∞b_n = -∞ implica lim_n→∞a_n = -∞.

Algebra dei limiti

Siano {a_n} e {b_n} due successioni tali che lim_n→∞a_n = l e lim_n→∞b_n = m, si ha:

• lim_n→∞(a_n + b_n) = l + m
• lim_n→∞(a_n · b_n) = l · m
• lim_n→∞(a_n / b_n) = l / m ogniqualvolta l’espressione al secondo membro è definita.

Calcolo dei limiti

Limiti funzioni composte reali

Siano f e g due funzioni tali che lim_x→xf(x) = k e lim_t→kg(t) = m, allora lim_x→xg(f(x)) = m.

Esempio:

• lim_x→0 log(sin(x)) = lim_t→0 log(t) = -∞

Limiti notevoli o fondamentali

Per calcolare i limiti di funzioni indeterminate.

Funzioni trigonometriche

• lim_x→0 sin(x)/x = 1
• lim_x→0 (1 - cos(x))/x² = 1
• lim_x→0 arctan(x)/x = 1

Funzioni esponenziali-logaritmiche

• lim_x→0 (1 + ax)^1/x = e^a
• lim_x→0 (1 + 1/x)^x = e

Successioni notevoli

• lim_n→∞ (1 + a/n)ⁿ = e^a se a > -1
• lim_n→∞ n^1/n = 1

Limiti funzioni razionali fratte

Forma indeterminata 0/0:

• lim_x→2 (x² - 6x + 4)/(x² - 2x) = 1

Forma indeterminata ∞/∞

• lim_x→∞ (3x² + 4x + 2)/(x² + x - 1) = 3

Limiti funzioni irrazionali

Forma indeterminata 0/0:

• lim_x→1 (√x - 1)/(x - 1) = 1/2

Con radice al denominatore:

• lim_x→2 (x + 2 - √(2x))/(x - 2) = 1/√2

Forma indeterminata ∞/∞:

• lim_x→∞ (x + 5)/(2x) = 1/2

Forma indeterminata -∞/∞:

• lim_x→-∞ (x³ - 2x)/(5x³ + 6x) = -1/5

Limiti funzioni trigonometriche

• lim_x→0 sin(3x)/x = 3
• lim_x→0 (3x + tan(x))/(sin(x) + tan(x)) = 3