Matematica finanziaria, secondo parziale

Scelte tra investimenti

In ambito economico e aziendale risultano frequenti i problemi di scelta fra investimenti e finanziamenti. Per poter scegliere, occorre saper valutare il rendimento (o il costo) di un’operazione finanziaria composta, oppure avere un indicatore da cui si possa desumere se una data opzione è preferibile ad un’altra che può essere: il tasso implicito (TIR o TAEG) oppure il risultato economico attualizzato (REA).

Di fatto, nei problemi reali, ciò che è noto sono le condizioni delle opzioni (scadenziario e poste), mentre il tasso non è una variabile di mercato e occorre calcolarlo, soprattutto in ambito aziendale. Il decisore, dunque, per scegliere in modo opportuno, necessita di informazioni implicite e anche se l’aspetto finanziario non è l’unico in gioco, risulta una variabile fondamentale da prendere sempre in considerazione.

Esempio

Per dare un’idea ipotizziamo di esaminare la stipula di un contratto di manutenzione di un macchinario. Dopo aver scartato le opzioni dominate, cioè peggiori ad ogni variabile decisionale, rimangono in campo le alternative A e B, caratterizzate da due configurazioni diverse: la controparte A offre una dilazione dei pagamenti mentre la B offre un servizio aggiuntivo di manutenzione straordinaria.

300 270 270 270- 500 - 500
300 270 300 270- 1000

Da come si può notare, il problema non è di immediata soluzione e occorre quindi delineare uno strumento per capire quale sia la più conveniente e la più onerosa. Nel caso di operazioni semplici questo problema è risolto dal tasso per cui, negli investimenti, sarà più conveniente quello con valore più alto mentre, nei finanziamenti, quello con valore più basso.

Tasso implicito

Il problema del calcolo del tasso implicito si risolve estendendo il concetto di tasso all’interno di operazioni composte. Dunque, il tasso implicito di un’operazione finanziaria, è ogni valore del tasso (> -1) che rende 0 il flusso di cassa scontato, chiamato in termini anglofoni, Discounted Cash Flow (DCF):

n - tkV ( ) = ∑ R (1 + x) - cx0 kk = 1

Essa rappresenta la somma dei valori scontati attuali di ciascuna posta ad un tasso incognito x tale per cui il flusso futuro equivale all’esborso oggi. Lo 0 di questa funzione valore è il punto in cui tale funzione incontra l’asse x e, quindi, il valore del tasso, esistente ed unico, che rende equa l’operazione finanziaria.

Perché esista un tasso implicito è necessario almeno un cambiamento di segno tra le poste. Ciò significa che il flusso si deve configurare come un’operazione tra due parti e, dunque, devono essere presenti sia esborsi che introiti.

Per le operazioni di puro investimento (+ e poi tutti -) e per le operazioni di puro finanziamento (- e poi tutti +) in cui esiste un unico cambiamento di segno, è presente un unico 0 della funzione, quindi, un unico tasso implicito ben definito che prende il nome rispettivamente di: tasso interno di rendimento (TIR) e tasso annuo effettivo globale (TAEG).

Il tasso implicito si delinea quindi come un concetto super partes che si dirama nei due tassi a seconda dell’operazione finanziaria. Dal punto di vista matematico il calcolo di TIR e TAEG è analogo e, l’eterogeneità della denominazione, è dovuta esclusivamente per dare rilevanza alla diversa tipologia di operazione finanziaria. Per tale motivo, esplicare la funzione DCF, nel caso di investimento o di finanziamento risulta essere analogo.

Nel caso di investimenti la funzione DCF, il cui 0 (unico) è il TIR, è una funzione decrescente e convessa: TIR•-1 y 0 dove l’asintoto verticale -1 rappresenta un dominio finanziario. In altri termini non ci interessa quello che succede a sinistra di -1 (= -100%) poiché denota la peggiore ipotesi.

Il TIR può essere sia positivo che negativo in funzione ad una condizione algebrica legata al rendimento. Se investo una cifra e la somma delle poste è positiva TIR > 0, se è negativa TIR < 0, mentre se ottengo la stessa cifra TIR = 0.

TIR e TAEG: Metodo di Newton

Il calcolo del Tasso Implicito di un’operazione finanziaria si scarica, una volta accertate le condizioni teoriche che ne garantiscono l’esistenza e l’unicità, nella ricerca dello 0 della funzione Discounted Cash Flow (DCF). In generale, qualora l’equazione algebrica sia di grado “alto”, tale problema si serve di un metodo numerico iterativo, denominato metodo di Newton, o delle tangenti. L’idea di tale metodo è quella di sostituire al problema originario f(x) = 0, per il quale non vi è una metodologia di soluzione esatta, un problema approssimato, più facile da risolvere, cercando il punto in cui la tangente della funzione incontra l’asse delle x.

Nel metodo di Newton, data una stima iniziale dello 0 cercato, che dovrà essere compreso in un intervallo [a,b] per cui il punto di partenza può essere sia a che b in funzione del contesto, si sostituisce all’equazione data l’equazione che si ottiene uguagliando a 0 il Polinomio di Taylor di ordine 1: T = f(x ) + f’(x )(x - x )1 0 0 0 e, risolvendo tale equazione, si ottiene: f(x )0X = x -1 0 f’(x )0

Trattandosi di un metodo iterativo, che cioè ripete se stesso a partire da un punto sempre diverso al fine di avvicinarsi sempre di più alla soluzione vera, è possibile considerare come la nuova stima iniziale ripetendo il procedimento, per cui: f(x )1X = x -2 1 f’(x )1

Dunque, in generale, la formula di iterazione è: f(x )iX = x -i+1 i f’(x )i

In particolare, va precisato, che nelle applicazioni finanziarie l’individuazione dell’intervallo [a,b] in cui è presente lo 0 si riassume nell’intervallo [0,1]: 0 poiché si considera un tasso non negativo e 1 poiché si presume che nella realtà i tassi siano inferiori al 100%. Inoltre la stima iniziale, a o b, si determina, semplicemente, in base a come è posta l’equazione.

Il metodo di Newton enuncia due teoremi, ognuno dei quali presenta due casistiche, che fissano le opportune condizioni di regolarità affinché tale metodo garantisca la convergenza alla soluzione cercata. In generale, poiché il Tasso Implicito esista e sia unico (unico zero della funzione), occorre che nell’intervallo [a,b] sia presente un comportamento regolare e cioè f’ e f’’ mantengano lo stesso segno.

Primo teorema

• Caso 1: Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione decrescente, f’(x) < 0, e convessa, f’’(x) > 0, per cui f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge crescendo a partire da sinistra, ovvero da x = a.
• Caso 2: Anche nel caso in cui nell’intervallo [a,b] risulta una funzione crescente, f’(x) > 0, e concava, f’’(x) < 0, per cui f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge crescendo a partire da sinistra, ovvero da x = a.

Secondo teorema

• Caso 1: Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione crescente, f’(x) > 0, e convessa, f’’(x) > 0, per cui f(a) < 0 e f(b) > 0, allora il metodo di Newton converge decrescendo a partire da destra, ovvero da x = b.
• Caso 2: Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione decrescente, f’(x) < 0, e concava, f’’(x) < 0, per cui f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge decrescendo a partire da destra, ovvero da x = b.

Nel caso in cui si ricada in uno dei due teoremi sopra espressi, per cui il metodo converge, una regola pratica per individuare il punto iniziale del metodo è la seguente: si calcola f’’(b)* f(b) e se il risultato è positivo (per cui sono concordi), il punto di partenza delle iterazioni è x = b, mentre se sono discordi, si ha x = a.

Design di titoli obbligazionari

Il design di titoli obbligazionari è, in parole povere, un problema inverso del calcolo del Tasso Implicito. Esso consiste nel calcolare le poste che un titolo deve produrre dato un Tasso Implicito fornito dalla struttura del mercato. Dal punto di vista computazionale tale problema si risolve considerando il flusso di rate come una rendita posticipata e calcolando la rata che mi rimborsa un prestito come un problema inverso “semplice”.

REA: Risultato economico attualizzato

Il Tasso Implicito è una buona misura per valutare un’operazione finanziaria qualora sia presente un unico cambiamento di segno tra le poste, ovvero quando si è in un contesto di puro finanziamento o di puro investimento. In caso contrario, un indicatore che ci consente di scegliere tra due o più operazioni è il REA, valore attuale netto (VAN) o in termini anglofoni Net Present Value (NPV).

Il criterio del REA si è sviluppato in ambito aziendale e, nella sua forma originaria, consiste nel confronto fra un investimento e un altro di cui è noto il tasso. Per estensione si è poi applicato co