Matematica finanziaria, secondo parziale

PRIMO TEOREMA

CASO 1:

Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione decrescente, f’(x) < 0, e convessa, f’’(x) > 0, per cui

f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge crescendo a partire da sinistra, ovvero da x = a.

0

b

soluzione

x = a x

0 1 x

2 T 1 f

T 1

CASO 2:

Anche nel caso in cui nell’intervallo [a,b] risulta una funzione crescente, f’(x) > 0, e concava,

f’’(x) < 0, per cui f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge crescendo a partire da sinistra,

ovvero da x = a.

0 T 1 T 1 f

x

1 b

x = a

0 soluzione

x

2

SECONDO TEOREMA

CASO 1:

Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione crescente, f’(x) > 0, e convessa, f’’(x) > 0,

per cui f(a) < 0 e f(b) > 0, allora il metodo di Newton converge decrescendo a partire da destra,

ovvero da x = b.

0 soluzione

a x = b

0

x x

2 1

f T T

1 1

CASO 2:

Se nell’intervallo [a,b] risulta una funzione decrescente, f’(x) < 0, e concava, f’’(x) < 0, per cui

f(a) > 0 e f(b) < 0, il metodo di Newton converge decrescendo a partire da destra, ovvero da x = b.

0

T 1

T 1 x

f 1

x x = b

2 0

a soluzione

Nel caso in cui si ricada in uno dei due teoremi sopra espressi, per cui il metodo converge, una

regola pratica per individuare il punto iniziale del metodo è la seguente: si calcola f’’(b)* f(b) e se il

risultato è positivo (per cui sono concordi), il punto di partenza delle iterazioni è x = b, mentre se

0

sono discordi, si ha x = a.

0

Design di titoli obbligazionari

Il design di titoli obbligazionari è, in parole povere, un problema inverso del calcolo del Tasso

Implicito. Esso consiste nel calcolare le poste che un titolo deve produrre dato un Tasso Implicito

fornito dalla struttura del mercato. Dal punto di vista computazionale tale problema si risolve

considerando il flusso di rate come una rendita posticipata e calcolando la rata che mi rimborsa un

prestito come un problema inverso “semplice”.

REA: risultato economico attualizzato

Il Tasso Implicito è una buona misura per valutare un’operazione finanziaria qualora sia presente un

unico cambiamento di segno tra le poste, ovvero quando si è in un contesto di puro finanziamento o

di puro investimento. In caso contrario, un indicatore che ci consente di scegliere tra due o più

operazioni è il REA, valore attuale netto (VAN) o in termini anglofoni Net Present Value (NPV).

Il criterio del REA si è sviluppato in ambito aziendale e, nella sua forma originaria, consiste nel

confronto fra un investimento e un altro di cui è noto il tasso. Per estensione si è poi applicato come

criterio di confronto tra due investimenti ad un tasso esogeno, soggettivo, ricavato da

considerazioni extra finanziarie. Dal punto di vista computazionale, la sua determinazione consiste

nel calcolare il valore attuale dell’operazione al tasso esogeno:

r

k

VAN = ∑ - C

t - t

(1+i) 2 1

- C r

r r

2

1 n

t

t t

2

1 n

0 i

i

i

Dunque, si tratta semplicemente di gestire un’operazione finanziaria semplice. Ne deriva che il

REA è un numero che può essere sia positivo che negativo.

Nel caso di valutazione tra più alternative, sia investimenti che finanziamenti, effettuata ad uno

specifico tasso, si prende l’opportunità con il REA maggiore con l’avvertenza però, di rispettare la

convenzione per cui gli introiti sono indicati con segno “ + ” e gli esborsi con segno “ - ”.

Nonostante il contenuto informativo del Tasso Implicito sia maggiore, il REA si rende necessario

qualora il contesto teorico non garantisca la sua esistenza ed unicità. Di fatto vi possono essere casi

in cui la funzione DCF assume forme tale da rendere il criterio del Tasso Implicito non definito.

0

0

Tale problema, in ambito finanziario, non si pone perché la gestione degli assets (I) e delle liabilities

(F) avviene in maniera separata. In ambito aziendale, invece, le decisioni di investimento e

finanziamento sono strettamente legate l’una all’altra e, per tale motivo, sono valutate

congiuntamente.

Infine, per quanto riguarda, la soggettività del REA, punto di debolezza di tale indicatore, è dovuta

al fatto che in funzione del tasso esogeno può variare l’ordine di preferenza fra alternative. In

generale considerando un tasso basso si darà rilevanza al payoff complessivo mentre, se si utilizza

un tasso elevato si darà rilevanza all’effetto dell’attualizzazione.

Matematica finanziaria con Excel

Excel è uno strumento molto utile che permette di bypassare l’elevata mole computazionale e di

fornire fogli più elaborati che, se opportunamente parametrizzati, consentono di risolvere classi di

problemi e di essere utilizzati anche da chi non conosce le tematiche della matematica finanziaria.

Tuttavia occorre però utilizzare delle accortezze. Infatti, tale strumento, propone approssimazioni

inaccettabili per un qualsiasi contesto minimamente rigoroso e, in altri casi, le funzioni o le

maschere di dialogo risultano fuorvianti rispetto ai modelli da risolvere.

Premesso ciò, Excel è un utile strumento di calcolo che non si sostituisce però al lavoro

modellistico dell’esperto.

Nel contesto delle rendite e delle operazioni composte Excel risulta particolarmente efficace e mette

a disposizione una serie di funzioni finanziarie.

La funzione VA calcola il valore attuale di una rendita.

Tale funzione apre una finestra di dialogo in cui vanno inseriti diversi parametri:

1) Tasso_int, tasso a cui viene effettuata l’operazione, con l’accortezza di convertire il tasso, ove

necessario, in un’apposita cella.

2) Periodi, numero totale delle rate.

3) Pagam, valore della rata che, per ottenere un valore attuale positivo, dovrà essere anticipato dal

segno “ - ”.

4) Tipo, indica lo schema di pagamento (0 posticipato, 1 anticipato).

La funzione VAL_FUT calcola il montante di una rendita e mantiene le stesse caratteristiche della

funzione VA.

Per valutare il valore di una rendita differita occorre procedere in due passaggi:

1) calcolare il valore della rendita all’epoca canonica usufruendo della funzione appropriata (VA o

VAL_FUT);

2) trasferire il valore attraverso l’uso di operazioni semplici che dovranno essere inserite a mano

nella cella.

La funzione RATA consente di determinare la rata che rimborsa un prestito o, alternativamente,

costituisce un capitale. Tale funzione apre una finestra di dialogo i cui vanno inseriti alcuni

parametri:

1) Tasso_int

2) Periodi

3) PV, valore attuale della rendita

4) VAL_FUTURO, montante della rendita

5) Tipo

Ovviamente a seconda del tipo di problema (rata che restituisce un prestito o costituisce un capitale)

variano i parametri PV e VAL_FUTURO in modo tale che una assuma un valore > 0 e l’altro = 0.

La funzione TASSO ci permette di determinare il tasso implicito di una rendita senza dover

impostare il metodo di Newton. Tale funzione implica l’apertura di una finestra di dialogo in cui

saranno presenti diversi parametri:

1) Periodi

2) Pagam, posto con il segno “ - ” altrimenti non vi sarebbe il contesto teorico per cui il Tasso

Implicito esista e sia unico

3) VAL_ATTUALE

4) VAL_FUTURO

5) Tipo

Anche in questo caso, in funzione del problema, varierà il contenuto dei parametri VAL_ATTUALE

e VAL_FUTURO.

La funzione NUM.RATE permette di determinare il numero di rate di una rendita precisando che

qualora tale numero non sia intero occorrerà adoperare degli aggiustamenti di tipo modellistico.

Tale funzione prevede i seguenti parametri:

1) Tasso_int

2) Pagam, anticipato dal segno “ - ”

3) VAL_ATTUALE

4) VAL_FUTURO

5) Tipo

Qualora il numero di rate non sia intero occorre, in primis, determinare lo scarto fra il VA,

determinato con la funzione VA, il numero di rate approssimato all’unità con la funzione

TRONCA, e il debito esistente. Successivamente si possono utilizzare diversi metodo per

aggiustare il problema:

- pagamento immediato dello scarto;

- pagamento a fine scadenziario del montante della scarto;

- distribuzione dello scarto in modo uniforme, attraverso il calcolo, con la funzione RATA,

dell’ammontare della nuova rata considerando il numero di rate approssimato;

- determinare il nuovo ammontare della rata, con la funzione RATA, considerando un numero di

rate dato dalla funzione TRONCA +1.

Nel contesto del Tasso Implicito di una funzione DCF è presente la funzione RICERCA

OBIETTIVO concepita specificatamente per il calcolo numerico degli zeri di una funzione e che

basa il suo funzionamento proprio sul metodo di Newton. Tale funzione consiste nel porre il valore

di una cella, uguale al valore che si vuole ottenere, cambiando il valore di un’altra cella ad essa

collegata. In pratica, dunque, la funzione RICERCA OBIETTIVO implica l’apertura di

un’interfaccia contenente tre valori da inserire: Imposta la cella, al valore, cambiando la cella.

Vi possono essere due distinti approcci: modellistico e strumentale.

L’approccio modellistico si basa sulla localizzazione del tasso utilizzando excel solo per la

risoluzione numerica dell’equazione, già precedentemente elaborata a mano. Dunque, in tal caso,

]

occorre scrivere in una cella l’intervallo di destra [1; 2 e in un’altra la funzione di cui si vuole

determinare lo 0. A questo punto si utilizza la funzione RICERCA OBIETTIVO fissando la

funzione uguale a 0 cambiando la cella contenente l’intervallo.

L’approccio strumentale, invece, permette di costruire un foglio di excel che, a partire dai dati del

problema, restituisce il risultato. In questo caso, dunque, occorre scrivere nel foglio di excel tutti i

dati conosciuti, ovvero: la data d’acquisto, il P di acquisto, l’epoca delle poste con rispettivo valore,

un ipotetico valore del TIR (solitamente = 1), il valore delle poste attualizzate e una cella di

controllo. Viene da se che il TIR della funzione sarà quel tasso per cui il totale delle poste

attualizzate è uguale al prezzo d’acquisto.

Va precisato, inoltre, che la cella denominata controllo, ottenuta come differenza fra la somma delle

poste attualizzate e il prezzo d’acquisto non sempre è uguale a 0 poiché il metodo di Newton rimane

sempre un’approssimazione e sarà tanto distante quanto più alto sarà il grado della funzione.

Qualora il titolo non sia stato acquistato sul mercato primario, ma prima dell’emissione della prima

cedola, occorre effettuare il calcolo della distanz