Matematica formulario secondo parziale

N. B.

1. Il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange (attraverso la condizione

() = ().

2. Il teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per

,

l’esistenza del punto quindi se il teorema non è applicabile non è detto che non esista

tale punto.

3. Interpretazione geometrica ( ; ())

La retta tangente nel punto ha la stessa inclinazione della retta passante per e

( ; ()).

Corollario 1 () [; ]

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in ogni suo punto

′() ()

interno e tale che sia nulla in ogni punto interno dell’intervallo, allora è costante in

[; ].

tutto

Corollario 2 [;

() () ],

Se e sono due funzioni continue nell’intervallo derivabili in ogni punto interno

′ ()

= ′() ∈ (; ),

all’intervallo, e tali che per ogni allora esse differiscono per una

costante.

Teorema (test di stretta monotonia in un intervallo)

: (, ) → (, ) , ∈ .

Sia una funzione derivabile in con

′ ()

> 0 ∀ ∈ (, ) (, ).

1. Se allora è strettamente crescente in

′ ()

< 0 ∀ ∈ (, ) (, ).

2. Se allora è strettamente decrescente in

8

Prima condizione sufficiente per estremi locali

: ⊆ → .

Sia una funzione Un punto interno di è:

0 )

(

1. Di massimo locale, se esiste un suo intorno tale che la funzione sia continua in e

0 0

) { }

∈ ( −

derivabile in ogni con:

0 0

′ ′

( ) ( )

< < ⇒ ≥ 0 ≥ ∀ , ∈ ( ) ∩

1 0 2 1 2 1 2 0

)

(

2. Di minimo locale, se esiste un suo intorno tale che la funzione sia continua in e

0 0

) { }

∈ ( −

derivabile in ogni con:

0 0

′ ′

( ) ( )

< < ⇒ ≤ 0 ≤ ∀ , ∈ ( ) ∩

1 0 2 1 2 1 2 0

Primo corollario : ⊆ → . .

Sia una funzione Un punto interno di

0 )

(

1. si dice punto di massimo locale per la funzione se esiste un intorno di tale

0 0 0

′

) ( )

∈ ( = 0

che f sia derivabile in ogni con e con:

0 0

′ ′

( ) ( )

< < ⇒ ≥ 0 ≥ ∀ , ∈ ( ) ∩

1 0 2 1 2 1 2 0

′ ′

( ) ( ))

> 0 >

Se le disuguaglianze sono strette ( allora si dice punto di massimo

1 2 0

locale forte per la funzione. )

(

2. si dice punto di minimo locale per la funzione se esiste un intorno di tale che

0 0 0

′

) ( )

∈ ( = 0

f sia derivabile in ogni con e con:

0 0

′ ′

( ) ( )

< < ⇒ ≤ 0 ≤ ∀ , ∈ ( ) ∩

1 0 2 1 2 1 2 0

′ ′

( ) ( ))

< 0 <

Se le disuguaglianze sono strette ( allora si dice punto di minimo

1 2 0

locale forte per la funzione.

Secondo corollario

: ⊆ → . .

Sia una funzione Un punto interno di

0 )

(

1. si dice punto di massimo locale forte se per la funzione esiste un intorno di

0 0 0

dove f è derivabile due volte con ′ ′′

( ) ( )

= 0 < 0

0 0 )

(

2. si dice punto di minimo locale forte se per la funzione esiste un intorno di

0 0 0

dove f è derivabile due volte con

′ ′′

( ) ( )

= 0 > 0

0 0

′ ′′

( ) ( )

= = 0

N.B. Se non si può dire nulla sulla natura del punto.

0 0 9

Seconda condizione sufficiente per estremi locali (,

: (, ) → ∈ )

Sia una funzione differenziabile volte in con

0

(−1) ()

′ ′′

( ) ( ) ( ) ( )

= = ⋯ = = 0 ≠ 0

0 0 0 0

() ( )

> 0,

1. Se è pari e risulta allora è un punto di minimo locale forte per con

0 0

( );

valore minimo 0 () ( )

< 0,

2. Se è pari e risulta allora è un punto di massimo locale forte per con

0 0

( );

valore massimo 0

.

3. Se n è dispari allora non è un punto di estremo per

0

Legame tra derivabilità e continuità (,

: (, ) → . ∈ ),

Sia una funzione Se è derivabile in allora è anche continua in

0

(,

∈ ).

0

)

( +ℎ)−( ′

0 0 ( )

lim = lim () = ( )

Hp: Th:

ℎ→0 0 → 0

0

ℎ = + ℎ, ℎ = −

Riscriviamo il limite delle ipotesi ponendo sicchè . Osservando che per

0 0

ℎ → 0, → , il limite sarà:

0 )

() − (

0 ′ ( )

lim = 0

−

→ 0

0

Supponiamo che la tesi sia verificata. Si ha quindi che:

lim () = ( )

0

→ 0 )

() − (

0

[ lim ()] − ( ) = lim [() − ( )] = lim ∙ ( − )

0 0 0

−

→ → → 0

0 0 0

)

() − (

0

= lim ∙ lim ( − ) = ′( ) ∙ 0 = 0

0 0

−

→ →

0

0 0 ′ ( )

dove l’ultima diseguaglianza vale poiché esiste finito. Si è perciò dimostrato che

0

lim [() − ( )] = 0

0

→ 0

quindi, lim () = ( )

0

→ 0 10

Legame tra concavità, convessità e calcolo differenziale

: (, ) → ∈ (, ).

Sia una funzione derivabile due volte in Allora valgono le seguenti

condizioni:

(, ); (, );

1a. è concava in 1b. è convessa in

’ (, ); ’ (, );

2a. è decrescente in 2b. è crescente in

’’() < 0. ’’() > 0.

3a. 3b.

Teorema : (, ) → ∈ (, ).

Sia una funzione derivabile due volte in Allora le seguenti condizioni sono

equivalenti: )

⇔ () ≥ ( + ′( )( − ) , ∈ (, )

1. è convessa con

0 0 0 0

)

⇔ () ≤ ( + ′( )( − ) , ∈ (, )

2. è concava con

0 0 0 0

Polinomio di Taylor

: (, ) → ∈ (, ). : →

Sia una funzione derivabile in Il polinomio al più di grado

0

definito da: 1 1 ()

′ ′′ 2

() ) ( )( ) ( ) ( )

= ( + − + ∙ ∙ − + ⋯ + ∙ ( ) ∙ ( − )

0 0 0 0 0 0 0

2! !

oppure 1 1 ()

′ ′′ 2

(ℎ) ) ( ) ( )

= ( + ∙ ℎ + ∙ ∙ ℎ + ⋯ + ∙ ( ) ∙ ℎ

0 0 0 0

2! !

si dice polinomio di grado di in .

0

= 0,

N.B. Per si ha il polinomio di Maclaurin:

0 1 1 ()

′ ′′ 2

() ) ( ) ( )

= ( + ∙ + ∙ ∙ + ⋯ + ∙ ( ) ∙

0 0 0 0

2! !

= 0.

che si dice polinomio di Maclaurin di grado di in 0

Formula di Taylor (, (,

: (, ) → − 1 ). ∈ ),

Sia una funzione derivabile vote in Se è derivabile in 0

allora risulta: 1 1 ()

′ ′′ 2

) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )

() = ( + − + ∙ − + ⋯ + ∙ − + [( − ]

0 0 0 0 0 0 0 0

2! !

.

che si dice formula di Taylor di ordine di in 0

= 0,

Se si ha:

0 1 1 ()

′ ′′ 2

) ( ) ( ) ( )

() = ( + ∙ + ∙ ∙ + ⋯ + ∙ ∙ + [ ]

0 0 0 0

2! !

.

che di dice formula di Maclaurin di ordine n di f in 0

11

Formule di Maclaurin

1. 2 3

= 1 + + + + ⋯+ + ( )

2! 3! !

2. 2 3

+1

ln(1 + ) = − + + ⋯ + (−1) ∙ + ( )

2 3

3. 3 5 7

(−1)

2+1 2+1

sin = − + − + ⋯+ ∙ + ( )

(2

3! 5! 7! + 1)!

4. 2 4 6

(−1)

2 2

cos = 1 − + − + ⋯+ ∙ + ( )

(2)!

2! 4! 6!

5. 2

(

(1 + ) = 1 + + ( − 1) ∙ + ⋯ + ( − 1)( − 2) … − + 1) ∙ + ( )

2! !

12

3- Spazi e sottospazi vettoriali

Spazio vettoriale

Indichiamo con un insieme non vuoto qualsiasi. Se in sono definite

∀, ∈ ⇒ + ∈

{ . ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈

con le loro 8 proprietà (4+4), allora si chiama spazio vettoriale.

Proprietà dell’addizi