Matematica formulario secondo parziale

1 - Derivate

Rapporto incrementale

)): ⊆ → (, ( = ( + ℎ, ( + ℎ)). Siano una funzione e due punti e0 0 1 0 0

Il rapporto incrementale definito da ∆ ( + ℎ) − ( ) ( + ℎ) − ( )0 0 0 0= =∆ ( + ℎ) − ( ) ℎ0 0 [ , + ℎ] ℎ > 0).

Si dice rapporto incrementale relativo all’intervallo (con0 0 rGrff(x +h) Po 1x)Δf(f(x ) Po Δ x x +hx oo

Derivata di una funzione in un punto

(, (,: ⊆ → = ) ∈ ). Consideriamo una funzione con e un punto La funzione0 ℎ → 0, si dice derivabile nel punto se il limite del rapporto incrementale per ossia0 )∆ ( + ℎ) − (0 0lim = lim∆ ℎℎ→0 ℎ→0 ℎ′( ). esiste ed è finito.

Il valore del limite si dice derivata prima di in , indicato con0 0

Equazione della retta tangente

(, (,: ) → ∈ ), Data una funzione derivabile in un punto la retta di equazione0′) ( ) ( ) = ( + ∙ − 0 0 0 si dice retta tangente al grafico di in .0

Dominio di derivabilità

(,: ) → , ⊆ (, ) Data una funzione l’insieme dei punti del dominio di dove la funzione è derivabile si chiama dominio di derivabilità di1

Funzione derivata prima

′(,: ) → ⊆ (, ), : → Data una funzione con dominio di derivabilità la funzione ∈ ′() . che associa ad ogni la derivata si dice funzione derivata prima di′ .

N.B. Se è continua in allora si dice che la funzione è derivabile con continuità in

Derivata destra

(, (,: ) → , ∈ ) Data una funzione si dice derivabile da destra in se0)∆ ( + ℎ) − (0 0lim = lim∆ ℎ+ +ℎ→0 ℎ→0 +′ ( ). esiste ed è finito.

Il valore del limite si dice derivata destra di f in , indicato con0 0

Derivata sinistra

(, (,: ) → , ∈ ) Data una funzione si dice derivabile da sinistra in se0)∆ ( + ℎ) − (0 0lim = lim∆ ℎ− −ℎ→0 ℎ→0 −′ ( ). esiste ed è finito.

Il valore del limite si dice derivata sinistra di f in , indicato con0 0

Condizione necessaria di derivabilità

(, (,: ) → ∈ ) Una funzione è derivabile in un punto se e solo se f è derivabile sia da0+′ −′( ) ( ). = destra che da sinistra in con Risulta quindi che:0 0 0′ +′ −′( ) ( ) ( ) = = 0 0 0

Continuità e derivabilità

(, (,: ) → ∈ ) Una funzione derivabile in un punto è ivi continua.0⇒ Derivabilità Continuità (ma non vale il contrario).

(, (,: ) → ∈ ), Se una funzione non è continua in un punto allora non è derivabile0 nel punto .0

Punti di non derivabilità

(, (,: ) → ∈ ). Consideriamo una funzione continua in un punto 0+′ −′ +′ −′( ) ( ) ( ) ( ) e ≠ 1. Se esistono finite ma allora si dice che in ha un0 0 0 0 0 punto angoloso.

N.B. Se una delle due derivate è finita e l’altra è infinita (con continua in ), allora0 0 si dice punto angoloso di 2

2. Il limite del rapporto incrementale risulta: )( + ℎ) − (0 0lim = +∞ (. −∞)ℎℎ→0 . allora si dice punto di flesso a tangente verticale per0

3. Se i limiti dei rapporti incrementali risultano: )( + ℎ) − (0 0lim = +∞ (. −∞)ℎ+ℎ→0 e )( + ℎ) − (0 0lim = −∞ (. +∞)ℎ−ℎ→0 . allora si dice punto di cuspide per0

Derivate di funzioni elementari

Derivate di funzioni elementari (vedi file allegato)

Derivata di una funzione composta

(, (,: ) → : ) → ⊆ (, ). Consideriamo due funzioni e con Se è derivabile in ∈ (, ) () ⊂ (, ) ∘ : (, ) → e è derivabile in allora la funzione è derivabile in ∈ (, ) con derivata prima definita da:′ ′( ()∘ ) = [()] ∙ ′()

Derivate delle funzioni composte (vedi file allegato)

Derivata di una funzione inversa

′(, ( ): (, ) → ∈ ) ≠ 0. Sia una funzione iniettiva e derivabile in con La funzione0 0−1 = ( ) inversa esiste ed è derivabile in un punto con derivata prima:0 01−1 ′[ ( )] =0 ′( )03

Funzione differenziabile

(,: (, ) → ∈ ). Siano una funzione e un punto La funzione si0 ( ) dice differenziabile in se esiste un coefficiente tale che:0 0 (ℎ) è l’erroredi) )∆ = ( + ℎ) − ( = ( ∙ ℎ + (ℎ)0 0 0 approssimazione quando ℎ → 0.

)( ∙ ℎ = ( ) dove il termine si dice differenziale primo della0 0 funzione in .0

) )∆ = ( + ℎ) − ( ≈ ( ∙ ℎ N.B. 0 0 0

Derivabilità e differenziabilità

(,: (, ) → ∈ ). Siano una funzione e un punto La funzione è differenziabile in se0 0 e solo se è derivabile in , e risulta0 ′) ( )( )() − ( = − + ( − )0 0 0 0′ ( )( ) − = dove si dice differenziale primo di in .0 0 0

N.B. : (, ) →

• Per funzioni in una sola variabile, come(, (, ∀ ∈ ) ⇔ ∀ ∈ )se è derivabile f è differenziabile(vale anche il contrario) : (, ) →
• Per funzioni in una sola variabile, come(, (, (, ∀ ∈ ) ⇔ ∀ ∈ ) ⇒ ∀ ∈ ).se è differenziabile f è derivabile f è continua

Derivate di ordine superiore al primo

(,: (, ) → − 1 ∈ ) Una funzione derivabile volte in un punto si dice derivabile(, ∈ ) volte in se il limite −1 −1( () + ℎ) − lim ℎℎ→0 (). esiste finito.

Il valore del limite è la derivata () N.B. Se la derivata è continua per ogni appartenente al dominio di derivabilità∈ ) .(∀ allora si dice derivabile volte con continuità in () ⇒

N.B. è l’insieme di tutte le funzioni derivabili volte con continuità in ( Spaziovettoriale). 4

2 - Applicazione del calcolo differenziale

Teorema di Fermat

(,: (, ) → ∈ ). Sia una funzione derivabile in Se è un punto di estremo locale per′ ()(, ) = 0. in allora

Dimostrazione

(, ). Sia x un punto di massimo locale per nell’intervalloa x b( + ℎ) (), ℎ ( + ℎ) ≤ (). Confrontando e con molto piccolo, risulta che

Possiamo distinguere due casi:

• ℎ < 01. ( + ℎ) ≤ ()( + ℎ) − () ≤ 0ℎ, Divido entrambi i membri per e si ha:( + ℎ) − () ≥0ℎ Ossia risulta: ( + ℎ) − ()−′ () = lim ≥0ℎ−ℎ→0
• ℎ>02. ( + ℎ) ≤ ()( + ℎ) − () ≤ 0ℎ, Divido entrambi i membri per e si ha:( + ℎ) − () ≤0ℎ Ossia risulta: ( + ℎ) − ()+′ () = lim ≤0ℎ+ℎ→0

′ (). Per ipotesi f è derivabile in x, quindi esiste la derivata prima Quindi derivata destra esinistra sono uguali alla derivata prima:−′ +′ ′() () () = ⇒ = 0i

N. B. I punti in cui la derivata prima annulla si dicono punti stazionari.5

Ricerca dei punti stazionari

• Ricerca dei valori che annullano la funzione derivata prima.
• Utilizzo del teorema di Fermat: (, ) → ′(, () { ∈ ) ⇒ = 0 è ′ () ≠ 0 Se allora non è un punto di estremo.′ () = 0 rappresenta una condizione necessaria ma non sufficiente affinché sia un punto di estremo per [, ],
• È differenziabile in usando il teorema di Weierstrass.

Teorema di Rolle (1° teorema del valore medio)

[; (,: [, ] → ] ), Data una funzione continua nell’intervallo e derivabile in se′ ()() = (), ∈ (, ) = 0. allora esiste almeno un punto tale che

Dimostrazione

′[; (; () è continua in ] ∃ ∈ ) ∶ = 0 Hp: Th:(; è derivabile in )() = () [; ],

Poiché è continua nell’intervallo chiuso allora per il teorema di Weierstrass essa[, , ∈ ] ammette un massimo M e un minimo m in tale intervallo, cioè esistono tali che:1 2) )( = min () ( = max ()1 2∈[,] ∈[,]

Indichiamo con il minimo e il massimo. = . funzione risulta costante, pertanto

Primo caso: Allora lLa la sua derivata è nulla per[;∀ ∈ ]. < .

Secondo caso: () = () almeno La funzione non è costante, e poiché uno dei punti e deve essere1 2[; ]. ∈ (; ). interno all’intervallo Supponiamo che 1 ′ ( ) = 0 ⇒ = . Se è interno all’intervallo, allora per il teorema di Fermat1 1 1

Teorema di Lagrange (2° teorema del valor medio)

6Teorema di Lagrange (2° teorema del valor medio): [, ] → [; ] (, ), Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in(, ∈ ) esiste almeno un punto tale che: () − ()′ () = −

Dimostrazione

()−()è continua in [; (; ] ∃ ∈ ) ∶ ′() = Hp: Th: − è derivabile in (; ) rf(b)f(a) a b

( ; ()) ( ; ()) (). Consideriamo i punti e del grafico della funzione L’equazione della funzione lineare affine passante per questi due punti è:() − () = () + ∙ ( − )−

: [, ] → () Costruiamo una funzione ausiliaria come differenza tra la funzione e la( ; ()) ( ; ()). funzione lineare affine passante per i punti e()

− () (() = () − [() + ∙ − )]− [; ] Per le ipotesi, questa funzione è la differenza tra due funzioni continue in e derivabili in(; [; (;), ] ). per cui è anch’essa continua in e derivabile in

Inoltre risulta: () − () (() = () − [() + ∙ − )] = () − () = 0−() − () (() = () − [() + ∙ − )] = () − () − () + () = 0−() = () = 0 da cui 7 [, ].

Quindi possiamo applicare il teorema di Rolle alla funzione in Ciò equivale a dire che ∈ (; ) esiste almeno un punto tale che: ′ () = 0

()La derivata di risulta: ′() − () () − ()′ ′ ′() () ( () = − [() − ∙ − )] = −− −()

Dato che soddisfa il teorema di Rolle:() − ()′ ′() () = − =0−() − ()′ () − =0−() − ()′ () = −

Note

• Il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange (attraverso la condizione() = ().
• Il teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per, l’esistenza del punto quindi se il teorema non è applicabile non è detto che non esista tale punto.
• Interpretazione geometrica ( ; ())La retta tangente nel punto ha la stessa inclinazione della retta passante per e( ; ()).

Corollario 1

() [; ]Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in ogni suo punto′() ()interno e ta