Matematica formulario secondo parziale

1 - Derivate

Rapporto incrementale ))

: ⊆ → ( , ( = ( + ℎ, ( + ℎ)).

Siano una funzione e due punti e

0 0 1 0 0

Il rapporto definito da ∆ ( + ℎ) − ( ) ( + ℎ) − ( )

0 0 0 0

= =

∆ ( + ℎ) − ( ) ℎ

0 0 [ , + ℎ] ℎ > 0).

si dice rapporto incrementale relativo all’intervallo (con

0 0 r

Grf

f(x +h) P

o 1

x)

Δf(

f(x ) P

o Δ x x +h

x o

o

Derivata di una funzione in un punto (, (,

: ⊆ → = ) ∈ ).

Consideriamo una funzione con e un punto La funzione

0

ℎ → 0,

si dice derivabile nel punto se il limite del rapporto incrementale per ossia

0 )

∆ ( + ℎ) − (

0 0

lim = lim

∆ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 ′( ).

esiste ed è finito. Il valore del limite si dice derivata prima di in , indicato con

0 0

Equazione della retta tangente

(, (,

: ) → ∈ ),

Data una funzione derivabile in un punto la retta di equazione

0

′

) ( ) ( )

= ( + ∙ −

0 0 0

si dice retta tangente al grafico di in .

0

Dominio di derivabilità

(,

: ) → , ⊆ (, )

Data una funzione l’insieme dei punti del dominio di dove la

.

funzione è derivabile si chiama dominio di derivabilità di

1

Funzione derivata prima ′

(,

: ) → ⊆ (, ), : →

Data una funzione con dominio di derivabilità la funzione

∈ ′() .

che associa ad ogni la derivata si dice funzione derivata prima di

′ .

N.B. Se è continua in allora si dice che la funzione è derivabile con continuità in

Derivata destra (, (,

: ) → , ∈ )

Data una funzione si dice derivabile da destra in se

0

)

∆ ( + ℎ) − (

0 0

lim = lim

∆ ℎ

+ +

ℎ→0 ℎ→0 +′

( ).

esiste ed è finito. Il valore del limite si dice derivata destra di f in , indicato con

0 0

Derivata sinistra (, (,

: ) → , ∈ )

Data una funzione si dice derivabile da sinistra in se

0

)

∆ ( + ℎ) − (

0 0

lim = lim

∆ ℎ

− −

ℎ→0 ℎ→0 −′

( ).

esiste ed è finito. Il valore del limite si dice derivata sinistra di f in , indicato con

0 0

Condizione necessaria di derivabilità

(, (,

: ) → ∈ )

Una funzione è derivabile in un punto se e solo se f è derivabile sia da

0

+′ −′

( ) ( ).

=

destra che da sinistra in con Risulta quindi che:

0 0 0

′ +′ −′

( ) ( ) ( )

= =

0 0 0

Continuità e derivabilità

(, (,

: ) → ∈ )

Una funzione derivabile in un punto è ivi continua.

0

⇒

Derivabilità Continuità (ma non vale il contrario).

(, (,

: ) → ∈ ),

Se una funzione non è continua in un punto allora non è derivabile

0

nel punto .

0

Punti di non derivabilità (, (,

: ) → ∈ ).

Consideriamo una funzione continua in un punto 0

+′ −′ +′ −′

( ) ( ) ( ) ( )

e ≠

1. Se esistono finite ma allora si dice che in ha un

0 0 0 0 0

punto angoloso.

N.B. Se una delle due derivate è finita e l’altra è infinita (con continua in ), allora

0 0

.

si dice punto angoloso di 2

2. Il limite del rapporto incrementale risulta: )

( + ℎ) − (

0 0

lim = +∞ (. −∞)

ℎ

ℎ→0

.

allora si dice punto di flesso a tangente verticale per

0

3. Se i limiti dei rapporti incrementali risultano: )

( + ℎ) − (

0 0

lim = +∞ (. −∞)

ℎ

+

ℎ→0

e )

( + ℎ) − (

0 0

lim = −∞ (. +∞)

ℎ

−

ℎ→0

.

allora si dice punto di cuspide per

0

Derivate di funzioni elementari (vedi file allegato)

Derivata di una funzione composta

(, (,

: ) → : ) → ⊆ (, ).

Consideriamo due funzioni e con Se è derivabile in

∈ (, ) () ⊂ (, ) ∘ : (, ) →

e è derivabile in allora la funzione è derivabile in

∈ (, ) con derivata prima definita da:

′ ′

( ()

∘ ) = [()] ∙ ′()

Derivate delle funzioni composte (vedi file allegato)

Derivata di una funzione inversa ′

(, ( )

: (, ) → ∈ ) ≠ 0.

Sia una funzione iniettiva e derivabile in con La funzione

0 0

−1

= ( )

inversa esiste ed è derivabile in un punto con derivata prima:

0 0

1

−1 ′

[ ( )] =

0 ′( )

0

3

Funzione differenziabile (,

: (, ) → ∈ ).

Siano una funzione e un punto La funzione si

0

( )

dice differenziabile in se esiste un coefficiente tale che:

0 0 (ℎ) è l’errore

di

) )

∆ = ( + ℎ) − ( = ( ∙ ℎ + (ℎ)

0 0 0 approssimazion

e quando ℎ → 0.

)

( ∙ ℎ = ( )

dove il termine si dice differenziale primo della

0 0

funzione in .

0 ) )

∆ = ( + ℎ) − ( ≈ ( ∙ ℎ

N.B. 0 0 0

Derivabilita e differenziabilità (,

: (, ) → ∈ ).

Siano una funzione e un punto La funzione è differenziabile in se

0 0

e solo se è derivabile in , e risulta

0 ′

) ( )( )

() − ( = − + ( − )

0 0 0 0

′ ( )( )

− =

dove si dice differenziale primo di in .

0 0 0

N.B. : (, ) →

1. Per funzioni in una sola variabile, come

(, (,

∀ ∈ ) ⇔ ∀ ∈ )

se è derivabile f è differenziabile

(vale anche il contrario) : (, ) →

2. Per funzioni in una sola variabile, come

(, (, (,

∀ ∈ ) ⇔ ∀ ∈ ) ⇒ ∀ ∈ ).

se è differenziabile f è derivabile f è continua

Derivate di ordine superiore al primo (,

: (, ) → − 1 ∈ )

Una funzione derivabile volte in un punto si dice derivabile

(,

∈ )

volte in se il limite −1 −1

( ()

+ ℎ) −

lim ℎ

ℎ→0 ().

esiste finito. Il valore del limite è la derivata

()

N.B. Se la derivata è continua per ogni appartenente al dominio di derivabilità

∈ ) .

(∀ allora si dice derivabile volte con continuità in

()

⇒

N.B. è l’insieme di tutte le funzioni derivabili volte con continuità in ( Spazio

vettoriale). 4

2- Applicazione del calcolo differenziale

Teorema di Fermat (,

: (, ) → ∈ ).

Sia una funzione derivabile in Se è un punto di estremo locale per

′ ()

(, ) = 0.

in allora

Dimostrazione (,

).

Sia x un punto di massimo locale per nell’intervallo

a x b

( + ℎ) (), ℎ ( + ℎ) ≤ ().

Confrontando e con molto piccolo, risulta che

Possiamo distinguere due casi:

ℎ < 0

1. ( + ℎ) ≤ ()

( + ℎ) − () ≤ 0

ℎ,

Divido entrambi i membri per e si ha:

( + ℎ) − () ≥0

ℎ

Ossia risulta: ( + ℎ) − ()

−′ ()

= lim ≥0

ℎ

−

ℎ→0

ℎ>0

2. ( + ℎ) ≤ ()

( + ℎ) − () ≤ 0

ℎ,

Divido entrambi i membri per e si ha:

( + ℎ) − () ≤0

ℎ

Ossia risulta: ( + ℎ) − ()

+′ ()

= lim ≤0

ℎ

+

ℎ→0 ′ ().

Per ipotesi f è derivabile in x, quindi esiste la derivata prima Quindi derivata destra e

sinistra sono uguali alla derivata prima:

−′ +′ ′

() () ()

= ⇒ = 0

i

N. B. I punti in cui la derivata prima annulla si dicono punti stazionari.

5

Ricerca dei punti stazionari

1. Ricerca dei valori che annullano la funzione derivata prima.

2. Utilizzo del teorema di Fermat

: (, ) → ′

(, ()

{ ∈ ) ⇒ = 0

è

′ ()

≠ 0

Se allora non è un punto di estremo.

′ ()

= 0

rappresenta una condizione necessaria ma non sufficiente affinché sia un

.

punto di estremo per

[, ],

3. è differenziabile in usando il teorema di Weierstrass.

Teorema di Rolle (1° teorema del valore medio) [; (,

: [, ] → ] ),

Data una funzione continua nell’intervallo e derivabile in se

′ ()

() = (), ∈ (, ) = 0.

allora esiste almeno un punto tale che

Dimostrazione ′

[; (; ()

è continua in ] ∃ ∈ ) ∶ = 0

Hp: Th:

(;

è derivabile in )

() = () [;

],

Poiché è continua nell’intervallo chiuso allora per il teorema di Weierstrass essa

[,

, ∈ ]

ammette un massimo M e un minimo m in tale intervallo, cioè esistono tali che:

1 2

) )

( = min () ( = max ()

1 2

∈[,] ∈[,]

Indichiamo con il minimo e il massimo.

= . funzione risulta costante, pertanto

Primo caso: Allora lLa la sua derivata è nulla per

[;

∀ ∈ ]. < .

Secondo caso: () = ()almeno

La funzione non è costante, e poiché uno dei punti e deve essere

1 2

[; ]. ∈ (; ).

interno all’intervallo Supponiamo che 1 ′ ( )

= 0 ⇒ = .

Se è interno all’intervallo, allora per il teorema di Fermat

1 1 1

6

Teorema di Lagrange (2° teorema del valor medio)

: [, ] → [; ] (, ),

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in

(,

∈ )

esiste almeno un punto tale che: () − ()

′ ()

= −

Dimostrazione ()−()

è continua in [; (;

] ∃ ∈ ) ∶ ′() =

Hp: Th: −

è derivabile in (; ) r

f(b)

f(a) a b

( ; ()) ( ; ()) ().

Consideriamo i punti e del grafico della funzione L’equazione della

funzione lineare affine passante per questi due punti è:

() − ()

= () + ∙ ( − )

−

: [, ] → ()

Costruiamo una funzione ausiliaria come differenza tra la funzione e la

( ; ()) ( ; ()).

funzione lineare affine passante per i punti e

() − () (

() = () − [() + ∙ − )]

− [; ]

Per le ipotesi, questa funzione è la differenza tra due funzioni continue in e derivabili in

(; [; (;

), ] ).

per cui è anch’essa continua in e derivabile in

Inoltre risulta: () − () (

() = () − [() + ∙ − )] = () − () = 0

−

() − () (

() = () − [() + ∙ − )] = () − () − () + () = 0

−

() = () = 0

da cui 7 [, ].

Quindi possiamo applicare il teorema di Rolle alla funzione in Ciò equivale a dire che

∈ (; )

esiste almeno un punto tale che: ′ ()

= 0

()

La derivata di risulta: ′

() − () () − ()

′ ′ ′

() () ( ()

= − [() − ∙ − )] = −

− −

()

Dato che soddisfa il teorema di Rolle:

() − ()

′ ′

() ()

= − =0

−

() − ()

′ ()

− =0

−

() − ()

′ ()

= −

N. B.

1. Il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange (attraverso la condizione

() = ().

2. Il teorema di Lagrange fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per

,

l’esistenza del punto quindi se il teorema non è applicabile non è detto che non esista

tale punto.

3. Interpretazione geometrica ( ; ())

La retta tangente nel punto ha la stessa inclinazione della retta passante per e

( ; ()).

Corollario 1 () [; ]

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in ogni suo punto

′() ()

interno e ta