Matematica e statistica - Appunti secondo parziale

NOTA LA FUNZIONE f(x)

|x1 - x0| = Δx

|f(x1) - f(x0)| = Δy

Da Δy e da che cosa è uguale? Alla tgα.

Ottenendo quindi la misura dell'inclinazione del segmento AC.

Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)

tgα = Δy / Δx

Il rapporto incrementale rappresenta il tasso di variazione della funzione f(x) nel punto x0.

DErIVATA DELLA FUNZIONE COSTANTE E LINEARE

La derivata si può dunque intendere come l'unite del rapporto incrementale.

Derivata di f(x) = df(x) / dx

Facendo riferimento al grafico sopra: quando C = A, Δx →0

ʸ(x) = costante = c => d(ʸ₀ - 0) / dx

REGOLE DI DERIVATAZIONE (ELEMENTARE)

• Lo funzione f(x) = ax^β con a, β ϵ R, la derivata f^'(x) = df(x) / dx = da(x^β) / dx = a.β.x^β-1

Regole di derivazione (in generale):

Se f(x) e g(x) sono 2 funzioni derivabili ∈ C e R, allora valgono le seguenti regole:

1. Moltiplicazione per uno scalare: (C ⋅ f(x))'= C ⋅ f'(x)
2. Somma: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
3. Prodotto: (f(x) ⋅ g(x))' = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)
4. Rapporto: (f(x) / g(x))' = (f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)) / (g(x))²
5. Funzione di funzione: (f [g(x)])' = f' [g(x)] ⋅ g'(x)

Derivata dell'interno/p>

Derivative e regole di derivazione

La derivata è data dal limite del rapporto incrementale data da: ^lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) − f(x₀)] / Δx = f'(x) = d f(x) / dx |_{x = X0}

Risolvendo l'eq. Della retta si ha: y = mx + q → y' = m y' = m corrisponde a q derivata di y rispetto a x

Regola di derivazione per funzioni di potenze:

f(x) = α x^β → f'(x) = d [α ⋅ β ⋅ x^β-1] / d x

Esempi:

Applicazione all'equazione della retta:

y = 4 x → m = 4 → y' = m = 4

y = 4 g(x) = 4m ⋅ x³ → m = 24 y = m x³ + (0 x⁵) = − 3 m ⋅ x⁴

Derivata di x⁻⁵ = −5 x_x⁻⁶

y' = (3m x² − x⁵) / −3 m 1 / x⁵ | −5 1/x⁶

ES: _limx→1 ^{ln x}⁄_x-1 → app. da l'Hôpital:

_limx→1 ^{ln x}⁄_x-1 = _limx→1 ^1⁄x⁄₁ = 1

La rete ℓ₀₀ = ƒ'(x₀)(x-x₀) tangente in x₀ a ƒ(x) Grafo ƒ(x) è la migliore approssimazione lineare possibile della funzione ƒ(x) intorno a punto x₀.

Calcolo dei minimi e dei massimi di ƒ(x):

• ƒ'x
• xmax
• xmin

L'angola formata dalla tangente diventa sempre più piccolo fino ad arrivare a zero (punto di non continui). Poi a decrescere diventando negatica la tangente di con is un punto minimo e poi riprenderà a croissance.

Date una fonctione y = ƒ(x) Reaule SIA I C D:

• Se ƒ(x)>0 per x ∈ I → ƒ(x) è crescente in I
• Se ƒ(x)