Matematica e statistica - Appunti secondo parziale

Concetto di derivata

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

tg α = Δy/Δx rapporto incrementale, ne faccio un limite per Δx → 0.

lim_{Δx → 0} [f(x₀ + Δx) - f(x₀)]/Δx

Il concetto di derivata altro non è che il limite del rapporto tra gli incrementi.

Il tasso di variazione della funzione f(x) nel punto x₀.

Derivata della funzione costante e lineare

Vale in tutti i punti qualsiasi esso sia. La derivata si può dunque intendere come il "limite del rapporto incrementale".

Derivata di f(x) = d f(x)/d x = f'(k)

y₀(x) = costante = c => d y₀/d x = 0

y₁ = a x d y₁/d x = a

Regole di derivazione (elementari)

Con a, β ∈ ℝ, ha derivata f'(x) = d f(x)/d x = d (ax^β)/d x

a ⋅ β ⋅ x^β-1

Esempio: y₀ = c y₀ = d y₀/d x = 0

y₄ = a ⋅ x = a ⋅ x¹ => y₄ = d y₄/d x = a ⋅ (1)(x⁰) = a ⋅ 1 ⋅ 1 = a

Esempi di funzioni e derivate

Nota la funzione f(x)

|x₁ - x₀| = Δx

|f(x₁) - f(x₀)| = Δy

Δy = che cosa è uguale? Alla f.qu.Δx

Ottenendo quindi la stessa inclinazione del segmento AC.

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

tgα = Δy/Δx = rapporto incrementale, ne faccio una retta limite per Δx→0.

Se una funzione è continua nel punto x₀ e lo stesso uso del concetto di derivata che altro non è che il limite del rapporto tra gli incrementi.

lim (Δx→0) f(x₀ + Δx) - f(x₀)/Δx

Il rapporto incrementale rappresenta il tasso di variazione della funzione f(x) nel punto x₀.

Derivata della funzione costante e lineare:

y = c vale in tutti i punti

y = ax tgα è la stessa per qualsiasi punto di x perché l'angolo non cambia.

La derivata si può dunque intendere come il "limite del rapporto incrementale".

Derivata di f(x) = d f(x)/d x = f'(x) (derivare e dividere)

Facendo riferimento ai grafici sopra: quando c→a, Δx→0

Condizione corrispondente a f'(x) |_x=x₀

y₀(x) = costante = c => d y₀/d x = 0

y₁ = ax => d y₁/d x

Regole di derivazione (generali)

La funzione f(x) = a x^β, con a, β ∈ ℝ, ha derivata f'(x) = d f(x)/d x = d(ax^β)/d x = a · β · x^β-1

Esempio: y₀ = c y₀ = d y₀/d x = 0

y₁ = ax = ax¹ => y'₁ = d y₁/d x = a · (1)(x⁰) = a · 1 · 1 = a

y₂ = bx² y₁ = d y₂ / dx = b · 2x = 2bx

Esempio: f(x) = ax²+bx+c ottenuto da una funzione quadrata

Esempio: f(x) = 2ax+b1 funzione lineare

Regole di derivazione per funzioni composte

Se f(x) e g(x) sono 2 funzioni derivabili e c ∈ R, allora valgono le seguenti regole:

• Moltiplicazione per uno scalare: (c·f(x))^' = c·f^'(x);
• Somma: (f(x) + g(x))^' = f^'(x) + g^'(x);
• Prodotto: (f(x) · g(x))^' = f^'(x) · g(x) + f(x) · g^'(x);
• Rapporto: (f(x)/g(x))^' = (f^'(x) · g(x) - f(x) · g^'(x))/g(x)²;
• Funzione di funzione: f(g(x))^' = f^'(g(x)) · g^'(x)

Esempi di derivazione

Esempio: f(x) = x³ + 5x² - 2x³

f^'(x) = 3x² + 2·5x - 4·x² = 3x² + 10x - 8x³

Esempio: f(x) = x^-5 + x^10x + √2/(x² - x^-2) + x^-1

f^'(x) = -5x^-2 + 2x + 6x^-6

d(x^-5)/dx = -5x^-c d/dx (1/x⁵) = (1/x⁵)₀/x¹⁰ = -5x^-4 = -5x^-c

Derivate e regole di derivazione

La derivata è data dal limite del rapporto incrementale dato da:

lim _{{f(xo+Δx) - f(xo)}}/^{Δx→0 Δx} = _f^'(x)/^dx = _d(x)/^dx x = x_o

Risolvendo l'equazione della retta si ha:

y = mx + q ⇒ y = y = (y₁)^k + q

L'equazione di y rispetto a x

Regola di derivazione per funzioni di potenze:

f(x) = dx^β f^'(x) = _dR/^dx · β · x^(β-1)

Esempio di applicazione all'equazione della retta:

y = g(x) = mx + q y = mx⁴

Esempio: y = mx^-x5

Esempio: m · x³ + (0 · x⁵ = -3m · x⁴ + (10 · (-5)x^-c == -3 m · ₁/^x3 - ₅₀/^xc

52ES.: Derivata di f(x) = √x d√x / dx = d / dx (x