Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Mastrogiacomo Elisa

Appunti per il parziale di Matematica generale. 1 Determinante, matrice inversa e rango (Lezione 8). Il determinante di una matrice quadrata A ∈ Rn×n funge da indicatore algebrico fondamentale per due proprietà cruciali: l’indipendenza lineare di righe e colonne e l’invertibilità della matrice stessa. 1.1 Determinante e indipendenza lineare. Nello sviluppo di Laplace lungo una riga o colonna, a ciascun elemento aij si associa il segno (−1)i+j determinato dalla parit`a della somma degli indici (segno + se i + j `e pari, segno − se i + j `e dispari). Teorema: Determinante Nullo e Linee Dipendenti (Teor. 8.1) Il determinante di una matrice quadrata A `e nullo (det(A) = 0) se e solo se le sue righe (e le sue colonne) sono linearmente dipendenti. Equivalentemente: det(A) ̸= 0 ⇐⇒ le righe (o le colonne) di A sono linearmente indipendenti. Criterio operativo per n vettori in Rn: Per verificare se n vettori di Rn sono linearmente indipendenti (e dunque costituiscono una base per Rn), basta disporli come righe (o colonne) di una matrice quadrata A di ordine n: Se det(A) ̸= 0, i vettori sono linearmente indipendenti. ˆ Se det(A) = 0, i vettori sono linearmente dipendenti. 1.2 matrice inversa: criterio di esistenza e formula esplicita. Una matrice quadrata A si dice invertibile (o non singolare) se esiste una matrice A−1 tale che AA−1 = A−1A = In, dove In `e la matrice identità di ordine n. Teorema: Invertibilità e determinante (Teor. 8.2) Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se det(A) ̸= 0. In tal caso: det(A−1) = 1 . det(A) Se det(A) = 0, la matrice si dice singolare e non ammette inversa. Dimostrazione via Teorema di Binet: Poichè AA−1 = In, si ha det(A · A−1) = det(A) · det(A−1) = det(In) = 1. Poichè il prodotto `e 1, nessuno dei fattori pu`o annullarsi: ne consegue det(A) ̸= 0 e det(A−1) = 1/ det(A). Definizione: Complementi Algebrici e Matrice Aggiunta (Def. 8.1) Sia A = [aij] quadrata di ordine n. Si definisce complemento algebrico Aij dell’elemento aij il numero: Aij = (−1)i+j det(Mij), dove Mij è la sottomatrice (n − 1) × (n − 1) ottenuta sopprimendo la riga i e la colonna j da A. Si chiama matrice dei complementi algebrici la matrice A∗ = [Aij], e matrice aggiunta di A.