Schema studio di funzione

Studio di funzione

Dominio

• Funzioni elementari
  • Funzione razionale: \( m / m \neq 0 \)
  • Funzione irrazionale: \( g(x)^{1/2h} \Rightarrow g(x) \geq 0 \)
  • Funzione logaritmica: \( \log_a(g(x)) \) con \( g(x) > 0 \)
  • Potenza ad esponente reale: \( g(x)^{h/2} \Rightarrow g(x) \geq 0 \)

\( \sin(x) \), \( \cos(x) \)

Arcoseno e arccoseno

• \( f(x) = \text{arc sen}(g(x)) \)
• \( f(x) = \text{arc cos}(g(x)) \)

Arcotangente

• \( f(x) = \text{arc tg}(g(x)) \)

Funzioni composte

• \( f(x) = \frac{N(g(x))}{g(x)} \) con \( \frac{g(x)}{g(x)} > 0 \), \( g(x) \neq 0 \)
• \( f(x) = \log(\text{arc sen}(g(x))) \) con \( \text{arc sen} g(x) \in \mathbb{R} \)

Segno

\( f(x) > 0 \)

Suriettività e iniettività

• Iniettiva: Se \( f(x) = f(y) \) per ogni \( x \neq y \) allora \( x \) è isocel.

Studio di funzione

• Dominio
  • Funzione razionale: \( mm \), \( m \neq 0 \)
  • Funzione irrazionale: \( \log_2(g(x)) \), \( g(x) > 0 \)
  • Funzione logaritmica: \( \log_a(g(x)) \) con \( a>0 \), \( a \neq 1 \)
  • Potenza ad esponente reale: \( g(x)^h \), \( g(x) > 0 \)

\( \sin(x) = g \), \( g(x) > 0 \), Dom \( g(x) \)

Se \( z \notin \mathbb{Z} \) ed è un numero non razionale (es. \( g = \pi \) o \( \pm \sqrt{3} \)), \( g(x) > 0 \)

Arcoseno e arcocoseno

• \( f(x) = \text{arcsen}(g(x)) \), \(-1\)
• \( f(x) = \text{arccos}(g(x)) \), \(-1\)

Arcotangente

• \( f(x) = \text{arctg}(g(x)) \), Dom \( g(x) \)

Funzioni composte

• Composte
  1. \( f(x) = \frac{N\sqrt{g(x)}}{g(x)} \) con \(\{g(x)/g(x) > 0\}\), \(\{g(x) \neq 0\}\)
  2. \( f(x) = \log(\text{arcsen}(g(x))) \) con \(\{\text{arcsen} g(x) \in \mathbb{R}\}\), \(\{0\), \{-1\}

Se il \( \Delta \) della N è negativo, l'insieme è tutto \( \mathbb{R} \) perché \( x \) è sempre positivo

Segno

\( f(x) \geq 0 \)

Suriezione e iniezione

• Iniettiva: Se \( f(x) \neq f(y) \) per ogni \( x \neq y \) allora si associa a punti diversi immagini diverse.
• Suriettività: Se per ogni \( y \) esiste un numero \( x \) per cui \( f(x) = y \), cioè se ogni elemento del codominio è origine da qualche associazione, allora \( f \) è suriettiva. Oppure se l'intersezione con la retta parallela a Ox posta a livello \( y \), interseca \( f \) almeno in un punto.

Biiettività

Se è sia iniettiva che suriettiva.

Limitatezza

Se esistono costanti \( H \) e \( m \), per cui \( m \leq f(x) \leq H \), quando se è contenuta tra le due rette \( y = m \) e \( y = H \). Non può essere suriettiva.

Parità e disparità

• Pari: \( f(x) = f(-x) \), \( x \in \mathbb{R} \)
• Dispari: \( f(x) = -f(-x) \), \(\forall x \in \mathbb{R} \)

Monotonia

• Monotona crescente: Se conserva l'ordine crescente dell'asse \( x \), ossia se per ogni coppia di punti \( x_1 \) 2 si ha \( f(x_1) 2 \).
• Monotona decrescente: Se inverte l'ordine crescente dell'asse \( x \), ossia se per ogni coppia di punti \( x_1 \) 2 si ha \( f(x_1) > f(x_2) \).

Periodicità

Se esiste un numero \( t \neq 0 \) tale che \( f(x+t) = f(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f \) è periodica. Tra questi numeri, si dice periodo e lo denotiamo con \( T \). Es: \( f(x) = \sin x \) è periodica.

Positività

\( f(x) \geq 0 \)

Intersezione con gli assi

• \( f \cap x: y = 0 \) (0 = \( f(x) \))
• \( f \cap y: x = 0 \) (\( f(0) = y \))

Asintoti

• \( x \rightarrow x_0 \), \( \lim f(x) = \pm \infty \) (AS. V.)
• \( x \rightarrow \pm \infty \), \( \lim f(x) = l \in \mathbb{R} \) (AS. OR.)
• \( m = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l \) finito e non nullo
• \( q = \lim_{x \rightarrow \pm \infty} (f(x) - mx) = 0 \), \( l \) finito

Discontinuità

• Eliminabile: \( \exists \lim f(x) = l \in \mathbb{R} \) ma \( l \neq f(x_0) \)
• Di salto (I specie): \( \exists \lim^+ f(x) \neq \exists \lim^- f(x) \in \mathbb{R} \), \( f(x) = l \notin \mathbb{R} \) (ma \( l \notin \pm \infty \))
• II specie: \( \exists \lim^+ f(x); \exists \lim^- f(x) = \pm \infty \, \forall x \)
• III specie: \( \exists \lim f(x) = l \) finito \( \neq f(x_0) \) \( \lor f(x_0) \)

Derivata prima

• Condizione: \( f'(x) = 0 \)
• \( f'(x) = 0 \) per calcolare la crescita e la decrescenza
• Esempio: \( y = x^2 - 9 \)
• \( y' = 2x \)
• Se \( 2x < 0 \) dove si sostituiscono le ascisse dei punti \( x_1 \) e \( x_2 \) e si guarda il segno che assume

Derivata seconda

• \( f''(x) = 0 \) determinare convessità e concavità (concordi)
• \( f'(x) = 0 \) e punti di flesso
• Se \( f''(x) < 0 \) massimo relativo
• Se \( f''(x) > 0 \) minimo relativo
• Se \( f''(x) = 0 \)
• Se \( y = f(x) \) continua fra quegli stessi punti il max e min assoluto
• Se
• Se \( f'(x) = 0 \) e consideriamo \( y = 1/f(x) \) 2a volta, poiché il massimo diventa dovunque 1/e il minimo diventa minimo
• Se e solo se \( f'(x) < 0 \) o \( x_a \in D_f \), \( f'(x) \) e \( y = 1/f(x) \) rimangono modificati stessi punti \( x \) max e i min assoluti

Derivate

• \( y = c \)
• \( y = x \)
• \( y = x^n \)
• \( y = \ln x \)
• \( y = \log_m x \)
• \( y = e^x \)
• \( y = a^x \)
• \( y = \sin x \)
• \( y = \cos x \)
• \( y = \tan x \)
• \( y = \cotan x \)
• \( y = \text{arcsen} x \)
• \( y = \text{arccos} x \)
• \( y = \text{arctan} x \)
• \( y = \text{arccotan} x \)
• \( y = \log_a x \)
• \( y = a^{f(x)} \)
• \( y = e^{f(x)} \)
• \( y = \log_a f(x) \)
• \( y = \log x \)

Derivata

• \( y' = 0 \)
• \( y' = 1 \)
• \( y' = n x^{n-1} \) con \( n \in \mathbb{R} \)
• \( y' = 1/x \)
• \( y' = 1/(x \ln m) \)
• \( y' = e^x \)
• \( y' = a^x \ln a \)
• \( y' = \cos x \)
• \( y' = -\sin x \)
• \( y' = 1/(\cos^2 x) = \sec^2 x \)
• \( y' = -1/(\sin^2 x) = -\csc^2 x \)
• \( y' = 1/(\sqrt{1-x^2}) \)
• \( y' = -1/(\sqrt{1-x^2}) \)
• \( y' = 1/(1+x^2) \)
• \( y' = -1/(1+x^2) \)
• \( y' = 1/(x \ln a) \)
• \( y' = f'(x) a^{f(x)} \ln a \)
• \( y' = f'(x) e^{f(x)} \)
• \( y' = f'(x)/(f(x) \ln a) \)
• \( y' = 1/x \)

Regole di derivazione

• \( y = [f(x) + k]' \)
• \( y = e^{f(x)} \)
• \( y' = f'(x) \pm g'(x) \)
• \( y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)
• \( y' = 1 \)
• \( y' = -f'(x)/(f(x))^2 \)
• \( y' = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x))/(g(x))^2 \)

Integrali indefiniti

• \( \int 0 \, dx = x + C \)
• \( \int x^n \, dx = x^{n+1} / (n+1) \) se \( \text{dom } g \, z \neq x \)
• \( \int 1/x \, dx = \log|x| + C \)
• \( \int \cos x \, dx = -\sin x + C \)
• \( \int \cos(mx) \, dx = -1/m \sin(mx) + C \)
• \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)
• \( \int \sin(mx + \phi) \, dx = -1/m \cos(mx + \phi) + C \)
• \( \int \log a x \, dx = -x \log a x - x / \ln a + C \)
• \( \int 1 / \sin^2(x) \, dx = -\tan x + C \)
• \( \int 1/\cos^2 x \, dx = \tan x + C \)
• \( \int 1/a^2 + x^2 \, dx = 1/a \arctan(x/a) + C \)
• \( \int 1/\sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \arcsin(x/a) + C \) con \( a \neq 0 \)
• \( \int 1/1+x^2 \, dx = \arctg x + C \)
• \( \int 1/m^2 + x^2 \, dx = 1/m \arctg(x/m) + C \)
• \( \int m/(m^2 + x^2) \, dx = \ln |a + \sqrt{x^2 + a^2}| / m + C \)

R(x)

\( f(x) = R(x) \)

\( R'(x)c^x \int p^x \, dx = e^x + c \)

\( \int R'(x)e^f(x) \int_R = e^{f(x)} + c \)

\( \int a^x \, dx = a ^x / \ln a \)

\( \int f^{(k)}(x)a^x \, dx = \log a \)

\( \int P(x) \, dx + \int G(x) \, dx = \int e^w \, dx + \int g(x)a \)

\( \int P(x)G(x) \, dx = \int P(x) \, dx + \beta g(x) \, dx \)

Integrazione per sostituzione

• \( \int P(x)\Phi x = \int P_R g(t) g(t) \, dx \)
• \( \int R\Phi(x)\Phi(x) \, dx \)
• \( x = \phi(x) \phi'(t) \int R(\phi) = \phi'(t)1\phi'^'(t) =(\phi)'(p)x^{\phi'}(t) +\int(\phi') = \phi(t)x_e=\int1/Ben_1 dt\{\phi'(t)\}=dx =\phi_R\int P(\alpha) \, dx = \{xdx_{\phi(t)}dx x = t^3 + 2_{dx_2} \}

Sostituzioni (razionalizzanti) notevoli

• \( \int R e_{dximport} + G(N\alpha+tdxes. \int_R dx \int dx = (3+t_2) dx+ c \int R_N , ²x dx ees. \int e^x+e^x \int R'(\alpha x)x s s = f_R es: \int P(t)^e+e^x dx k = ee < =\log < = dx = log <= dx = log t = 1/tx + c \int R(comx, &leb;coses: \int x dx = f'xt =z = comx = t2text qt = tg(dx = 2/(q + t)t \)

Integrazione per parti

\( \int f(x)g(x) \, dx \leftarrow f(x)g(x)-\int g(x)L=\int g(x)-\int g(x)f(x)= f'(x)g(x) \, dx - \int g(x)f(x)g'(x)\, dx \)

Integrazione delle funzioni razionali

\( R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) con \( P \) e \( Q \) polinomi.

• 1. Se grado \( P \geq \) grado \( Q \) faccio la divisione \( P(x) : Q(x) R(x) = D(x) \) (quoziente)+ \( \frac{R(x)}{Q(x)} \) (resto)
  2. Scomporre \( Q(x) \) in prodotti di fattori di grado 1 e/o fattori di grado 2 con \( \Delta < 0 \)
  3. Scomporre \( P(x) \) in fattori semplici: \(\frac{A(x)}{Q(x)}\)
  4. Calcolare gli integrali reali

Divisione tra polinomi

Esempio: \((x^3+2x^2 - 9x - 4) : (x^2 - 2x - 1)\)

Risultato: \( x + 4 \)

Q(x) ______________________

x^2-2x-1| x^3 + 2x^2 - 9x - 4

- (x^3 - 2x^2 - x)

--------------------------

4x^2 - 8x - 4

- (4x^2 - 8x + 4)

--------------------------

-8

\( \int x+\frac{4}{Q(x)} + \int R(x) \)

Limiti notevoli

• \( \lim_{x \rightarrow \infty} k = \pm \infty \), \( \lim_{x \rightarrow 0} k = 0 \)
• \( k = 0^+ \), \( k - k -\infty < k < 0 k_{ +\infty < k < \infty} \)
• \( \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0^+ e^x \)
• \( 0^- k = 0^- k^0+ = \infty \)
• \( >^- e^e = 0^- e^x \)
• \( \lim_{x \rightarrow \infty} x = +\infty \)
• \( \lim_{x \rightarrow \infty} x^2 = \{+\infty \text{ per n pari} -\infty \text{ per n dispari} \}\)
• \( \lim_{x \rightarrow n} a^x = 0 \)
• \( \lim_{x \rightarrow -\infty} \log_a x = -\infty \)
• \( 0 < a < 1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} a^x = 0 \)
• \( a > 1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} a^x = +\infty \)
• \( a < 1 -\gt \lim_{x \rightarrow +\infty} \log_a x = -\infty \)
• \( \lim_{x \rightarrow 0^+} \log_a x = +\infty \)
• \( \lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \)
• \( \lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \)
• \( \lim_{x \rightarrow 0^+} \log_a (1+x) = 1 \)
• \( a > 1 \lim_{x \rightarrow 0^+} \log (1+x)= 1 \)
• \( \lim_{x \rightarrow +\infty} a^{\frac{1}{x}} = 1 \; \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{1}{x}} = 1 \)
• \( \lim_{x \rightarrow +\infty} (\ln x)^{\frac{1}{x}} = 1 \)

Operazioni con i logaritmi

• \( \log_a m n = \log_a m + \log_a n \)
• \( \log_a \frac{b}{n} = 1 \)
• \( \log_a m^b = b \log_a m \)
• \( \log_a b^2 = 2 \log_a b \)
• \( b > c \log_a b^2 = b \log_a c \)
• \( a^c = b \log_a c = b \log_a a^c \)
• \( e^b = 1 = 0 \log_e x \)
• \( \log_a b \log_a c = \log_c b \)
• \( \log_a b^2 = \frac{\log_a b}{2} \)
• \( \log_a b - \log_a b \)
• \( \log_a b^2 = \log_c b \)

Grafici principali delle funzioni

Funzione esponenziale

\( y = a^x \) con \( a > 1 \)

• dom: \( \mathbb{R}^+ \)
• codom: \( \mathbb{R}^+ \)

La funzione \( \log \) crescente

\( x \uparrow \iff e^a x \uparrow x \frac{1}{2} 1 2 3 = a \frac{1}{2} a^1 a^{1/2} a^2 \)

\( \lim_{x \rightarrow -\infty} a^x = 0 \text{; } \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty \)

Funzione esponenziale

\( y = a^x \) con \( 0 < a < 1 \)

• dom: \( \mathbb{R}^+ \)
• codom: \( \mathbb{R}^+ \)

La funzione \( \log \) decrescente

\( x \uparrow a^{\frac{1}{2}} a \)

\( \lim_{x \rightarrow -\infty} a^x = 0 \text{; } \lim_{x \rightarrow +\infty} a^x = +\infty \)

Funzioni logaritmiche

\( y = \log_a x \)

D = \( \mathbb{R}^+ \) = \((0, +\infty)\)

C.B = \([- \infty ; +\infty ]\)

\( x_1 = x_2 \) ⇒ \( \log_a x_1 = \log_a x_2 \) (simmi)

\( a^x = x \iff x = a^{\log_a x} \)

\( \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c('a = c.a)0 1 \leq x_2) \iff \log_a x_1 \geq \log_a x_2 \)

\( \lim_{x \rightarrow 0} \log_a x = -\infty ; \lim_{x \rightarrow +\infty} \log_a x = 0 \)

Seno

\( y = \sin x \)

• dom = \( \mathbb{R} \)
• cod = \([-1, 1]\)

Coseno

\( y = \cos x \)

• dom = \( \mathbb{R} \)
• cod = \([-1, 1]\)

Tangente

\( y = \tan x \)

• dom = \(\{x \in \mathbb{R}, x \neq \pi/2 + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
• cod = \( \mathbb{R} \)

Cotangente

\( y = \text{ctg } x \)

• dom = \(\{x \in \mathbb{R}; x \neq k\pi; k \in \mathbb{Z}\}\)
• cod = \( \mathbb{R} \)

Arcoseno

\( y = \text{arcsen} x \)

• dom = \([-1, 1]\)
• cod = \([- \pi/2, \pi/2]\)

\( \lim_{x \rightarrow -1} \text{arcsen} x = -\pi/2 \)

\( x \rightarrow 1^- \)

\( \lim_{x \rightarrow 1^-} \text{arcsen} x = \pi/2 \)

\( \int 1/\sqrt{1-x^2} \, dx = N\pi x + \text{arcsen} x + c \)

Arccoseno

\( y = \text{arcos} x \)

• dom = \([-1, 1]\)
• cod = \([0, \pi]\)

\( \lim_{f(x) = \pi} \) quando \( x \rightarrow D(1)^- \)

\( \lim_{f(x) = 0} \) quando \( x \rightarrow D(-1)^+ \)

\( \int -1/\sqrt{1-x^2} \, dx = x \, \text{arccos} x - N^{-1} + c \)

Arcotangente

\( y = \text{arctg} x \)

• dom = \( \mathbb{R} \)
• cod = \((- \pi/2, \pi/2)\)

\( \lim_{x \rightarrow 0} \text{arctg} x = +\pi/2 \)

\( \lim_{x \rightarrow 0^-} \text{arctg} x = \pi/2 \)

\( \int \text{arctg} x \, dx = x \, \text{arctg} x - 1/2 \log(1 + x^2) + c \)