Schema studio funzione, Analisi matematica I

STUDIO DI FUNZIONE

DOMINIO FUNZIONI ELEMENTARI Funzione razionale:    m    m ≠ 0                  m Funzione irrazionale: N_2h(g(x))                  g(x) ≥ 0 ------------------    N(g(x))_2h    ℝ

Funzione logaritmica:              log_a(g(x))    g(x) > 0 Potenza ad esponente reale:                          g(x)^m/n    g(x) ≥ 0                          sen^-1(x) = g    g(x) ≤ 0

Se x è reale ma non razionale (g = π√5 √3) g(x) > 0

Arcocoseno e Arcotangente: f(x) = arcsen (g(x))          {-1 ≤ g(x) ≤ 1} f(x) = arccos (g(x))          Dom g(x)

Acotangente:                 f(x) = arctg (g(x)) FUNZIONI COMPOSTE a)   f(x) = N_a(x)/g(x) ai(x)/g(x) > 0        Se il Δ della N è negativo, l'insieme è tutto ℝ, perché x_e è sempre positivo g(x) ≠ 0

b)   f(x) = log (arcsen (g(x))) { arcsen (g(x)) > 0     ovvero 0 < g(x) < 1 } { -1 ≤ g(x) ≤ 1 }

SEGNO f(x) < 0

SURIETIVITÀ E INIETTIVITÀ • Iniettiva: se f(x) ≠ f(y) per ogni x ≠ y ovvero se traccia a punti diversi immagini diverse

• INVERSSA
• NON È INIETTIVA

SURIETTIVITA'

Se per ogni y esiste un numero x per cui f(x)=y, cioe' sed ogni elemento proviene da qualche x, essa si dice suriettiva.

O se l'intersezione con il rettangolo colorato e' alla base delle coordinate in almeno un punto.

BIUNIVOCA

Se e' sia iniettiva che suriettiva.

LIMITATEZZA

Se esistono costanti m e M per cui m ≤ f(x) ≤ M, ovvero se è contenuta tra le due rette y=m e y=M.

NON può essere suriettiva.

PARITA' E DISPARITA'

• Pari: f(x) = f(-x) ∀ x∈ℝ

• Dispari: f(x) = -f(-x) ∀ x∈ℝ

MONOTONIA

• Monotona crescente: Se conserva direzione crescente dell'asse x, cioè se per ogni coppia di punti x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂).

• Monotona decrescente: Se inverte la direzione crescente dell'asse x, cioè se per ogni coppia di numeri x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≥ f(x₂).

INTEGRALI INDEFINITI

∫ dx = x + c

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + c, n ≠ -1

∫_x dx = log|x| + c

∫ sen x dx = -cos x + c

∫ cos x dx = sen x + c

∫ sen (ωx + φ) dx = -1/ω cos (ωx + φ) + c

∫ cos (ωx + φ) dx = 1/ω sen (ωx + φ) + c

∫ 1/x dx = log|x| + c

∫ cotg x dx = log|sen x| + c

∫ 1/cos²x dx = tg x + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ e^x dx / a^x = a^-1 e^x + c

∫ 1/√(1 - x²) dx = arcsen x + c

∫ 1/√(a² - x²) dx = arcsen (x/a) + c, a > 0

∫ 1/(1 + x²) dx = arctg x + c

∫ dx / (mx² + bx + c) = 1/m arc tg (2mx + b)/(√(b² - 4mc))

∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

∫ f'(x) / [f(x)]ⁿ dx = -1/[(n-1) f(x)^n-1] + c, n ≠ -1

∫ f'(x) e^g(x) dx = e^g(x) + c

∫ f'(x) / √[1 - (f(x))²] dx = arcsen f(x) + c

∫ f'(x) / 1 + [f(x)]² dx = arctg f(x) + c

∫ a rⁿ dx / (a + x)^m = 1/m log |a + x| - (1/(m - 1)) + c

COTANGENTE

y = cotg x

• dom = {x ∈ R; x ≠ kπ, k ∈ Z}
• cod = R

ARCOSENO

y = arcsen x

• dom = [-1, 1]
• cod = [-π/2, π/2]

lim arcsen x = -π/2

x → (-1)⁺

lim arcsen x = π/2

x → 1^-

∫ arcsen x dx = x arcsen x + N x + c

ARCOCOSENO

y = arcocos x

• dom = [-1, 1]
• cod = [0, π]

lim f(x) = π

x → 0⁽¹⁾⁺

lim f(x) = 0

x → 0¹-

∫ arecos x dx = x arcocos x - N x + c

ARCOTANGENTE

y = arcotg x

• dom = R
• cod = (-π/2, π/2)

lim arcotg x = -π/2

x → -∞

lim arcotg x = π/2

x → +∞

∫ arcotg x dx = x arcotg x - 1/2 log(x² + 1) + c