Schema studio funzione, Analisi matematica I

Studio di funzione

Dominio funzioni elementari

Funzione razionale: mm ≠ 0

Funzione irrazionale: g(x) > 0 N(g(x))

Funzione logaritmica: log_a(g(x)) g(x) > 0

Potenze ad esponente reale:

• g(x) > 0
• g(x) ≠ 0
• g(x) > 0 se z è reale, ma non razionale (g≠π,0,√3)

Arcotangente: f(x) = arctg (g(x)) D ≠ g(x)

Funzioni composte

1. f(x) = N a(x) / g(x)

• a(x) / g(x) > 0
• g(x) ≠ 0

f(x) = log (arcem g(x)) arcem g(x) > 0 -1 ≤ g(x) ≤ 1

Suriettività e iniettività

Iniettiva: f(x) ≠ f(y) per ogni x ≠ y, diversi immagini diverse

Studio di funzione

Dominio funzioni elementari

Funzione razionale:

Funzione irrazionale: f(x) = m m ≠ 0 g(x) > 0 N(g(x)) IR

Funzione logaritmica: log_a(g(x)) g(x) > 0

Potenze ad esponente reale: g(x)^h g(x) > 0

Arcotangente: f(x) = arc tg (g(x)) Dom g(x)

Funzioni composte

1. f(x) = N(a(x)/g(x)) Se Δ della N è negativo, l'insieme è tutto IR poiché x è sempre positivo

Segno

f(x) > 0

Suriettività e iniettività

Iniettiva: Se f(x) ≠ f(y) per ogni x ≠ y

Suriettività: Se per ogni y esiste un numero x per cui f(x) = y. Può secondo alcuni non ottenere dai bisogni discussi. Si ottavo R₂. Se l'intersezione con retta orizzontale di codice da elliu contiene almeno un punto.

Biiettiva: Se è sia iniettiva che suriettiva.

Limitatezza

Se esistono costanti m, M per cui m ≤ f(x) ≤ M ovvero se è contenuta tra le due rette y= m e y= M. NON puoi essere suriettiva.

Parità e disparità

Pari: f(x) = f(-x) ∀ x ∈ R

Dispari: f(x) = - f(-x) ∀ x ∈ R

Monotonia

Monotona crescente: Se conserva l'ordine crescente dell'asse x essa se per ogni coppia dei punti x₁2 si trova f(x₁) 2)

Monotona decrescente: Se inverte l'ordine crescente dell'asse x e si per ogni coppia di punti x₁ 2 si trova f(x₁) > f(x₂)

Periodicità

Esiste un numero reale tale che R(x+t)=R(x) per ogni x appartenente a ℝ. Il più piccolo tra questi numeri si dice periodo e lo denotiamo con T.

Esempio: f(x) = sen x

1. 4, 6, ecc.

Il periodo T = 2 È il più piccolo

Positività

R(x) > 0

Intersezione con gli assi

R con xy = 0 f con yx = 0 f(0) = f(x) f(a) = y

Asintoti

lim_x->+∞ f(x) = ±∞ AS. V.x = x₀

lim_x->+∞ f(x) = l_{2, l2} AS. OR.

m = lim_x->+∞ = finito e non nullo, q = lim_x->+∞ (f(x) - mx) = finito

Discontinuità

Eliminabile: lim_x->x0 f(x) = l &element; ℝ ma f(x) ≠ f(x₀)

Discontinuità (1^a specie): lim_x->x0 f(x) = l &element; ℝ { y &element; ℝ ma l ≠ l }

lim_{x->x0^- f(x) = l' &element; ℝ limx->x0⁺ f(x) = l &element; ℝ { ma l' ≠ l }}

2^a specie: lim_x->x0 f(x), lim_x->x0 f(x) = ∞ x->x_0^- x->x_0⁺

2^a specie: lim_x->x0 f(x) = ∞ R assert e(x)₀ non esiste f(x) & nsub e(x)₀ f(x) ≠ 0

Derivata Prima

Se f'(x) > 0 la funzione cresce

Se f'(x) < 0 la funzione decresce

max f'(x) | x = x₁

min f'(x) | x = x₂

Es. y = x² + 9 y' = 2x quindi 0 = 2x quindi x = 0

Osservazioni grafiche

Derivata Seconda

f''(x) > 0 punto di minimo

f''(x) < 0 punto di massimo

f''(x) = 0 punto di flesso

1. Se y = f(x) + C ha negli stessi punti il max e min assoluto
2. Se y = 1/f(x)
3. Se f(x) > 0 e consideriamo y = 1/f(x) la funzione ha il max assoluto dove y = 1/f(x) se è in min.
4. Se f(x) = 0 x ∉ D_f, f(x) e y = 1/f(x) non hanno modificato i punti di max e min assoluti.

Derivate Funzioni

• y = c
• y = x
• y = xⁿ
• y = ln x
• y = e^x
• y = sin x
• y = cos x
• y = tan x
• y = arcsin x
• y = arccos x
• y = arctg x
• y = arcotg x
• y = log_ax
• y = a^x
• y = e^kx
• y = log_ax
• y = tan x

Derivate

• y' = 0
• y' = 1
• y' = n x^n-1 (x ∈ ℝ)
• y' = 1/x
• y' = x^m-1/m√x
• y' = e^x
• y' = cos x
• y' = -sin x
• y' = 1/(1 + tg²x) = cos²x
• y' = -1/((1 + cos tg x)^1/2)
• y' = 1/√(1 - x²)
• y' = -1/√(1 - x²)
• y' = 1/(1 + x²)
• y' = -1/(1 + x²)
• y' = 1/(x log e)
• y' = x^a-1 a log e
• y' = e^kx
• y' = e^x

Regole di Derivazione

• (f(x) + k)' = f'(x)
• (c f(x))' = c f'(x)
• (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
• (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
• (f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/g(x)²

Integrali indefiniti

• ∫a dx = x·a
• ∫xⁿ dx = 1/n+1 xⁿ⁺¹ se dom g f ≠ -1
• ∫1/x dx = log |x| + c
• ∫sen x dx = -cos x + c
• ∫cos x dx = sen x + c
• ∫cos (wx+φ) dx = sen (wx+φ)/w + c
• ∫tg x dx = -log|cos x| + c
• ∫1/cos² x dx = tg x + c
• ∫1/sen² x dx = -cotg x + c
• ∫1/a² + x² dx = 1/a arctg x/a + c
• ∫1/√(a² - x²) dx = arcsen x/a + c con x<a
• ∫1/x² dx = -1/x + c
• ∫f'(g)x/g'(x) dx = log|f(x)| + c
• ∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + c
• ∫f'(x) sen (f(x)) dx = -cos (f(x)) + c
• ∫f'(x) cos (f(x)) dx = sen (f(x)) + c
• ∫dx/√a² - [f(x)]² = arcsen f(x)/a + c
• ∫dx/a² + [f(x)]² = 1/a arctg f(x)/a + c
• ∫x^m dx/m² + x² = -1/m arctg x/m + c
• ∫f(x)d_x=F(x)+C
• ∫^axdx = ^ax_loga + C
• ∫[fR(x)^x]e^φ(x)g(x)d_x = ∫fR e^φ(x)d_x
• ∫R(e^x)e^exd_x = e^ex + c
• ∫f_o(x)^f(x)dx = ^F(f(x))_loga + c
• ∫fR(x)^g(x)d_x = fRωeo + ∫gθ^yd_x
• ∫(fαdx = kfκd_x

Integrazione per sostituzione

• ∫f(φ(x)) φ'(x)d_x = ∫Rg(ζ)d_ζ
• ∫fR(x) φ'(x)d_x = ^-∞∫f(Rt) dT