Riassunto concetti principali geometria per esame

Verificare che uno spazio vettoriale U è un sottospazio di V

In questo caso devo calcolare il generico vettore e vedere se il sottospazio è chiuso per la somma e per il prodotto per scalare.

Esempio: U = {A ∈ M_2,2(R) | a_1,1 + a_1,2 = 0; a_1,1 − a_2,1 = 0}

Scrivo la matrice generica: A = a_1,1−a_1,1a_1,1a_2,2

Ora scrivo la matrice B per verificare la chiusura per la somma: B = b_1,1b_1,2b_2,1b_2,2 e procedo con la verifica:

A + B = a_1,1 + b_1,1b_1,2−a_1,1b_2,1 + a_1,1b_2,2 + a_2,2

Ora devo vedere se la matrice ottenuta soddisfa le condizioni iniziali:

• a_1,1 + b_1,1 + b_1,2−a_1,1 = 0
• a_1,1 + b_1,1 − b_2,1 − a_1,1 = 0

In questo modo ottengo:

• b_1,1 + b_1,2 = 0
• b_1,1 − b_2,1 = 0

Che sono proprio le condizioni iniziali. Quindi è chiuso per la somma.

λA = λa_1,1−λa_1,1λa_1,1λa_2,2 e verifico di nuovo le condizioni iniziali:

• λa_1,1 − λa_1,1 = 0
• λa_1,1 − λa_1,1 = 0

Vedendo che sono verificate di nuovo e che, quindi, la matrice è chiusa anche per il prodotto per scalare.

A questo punto concludo dicendo che U è un sottospazio vettoriale di M_2,2(R).

Calcolare una base di uno spazio vettoriale

Se ho già i vettori separati li metto dentro ad una matrice e faccio la riduzione a scala con le mosse di Gauss.

Esempio:

• v₁ = 110
• v₂ = 111
• v₃ = 2−10

Allora creo la matrice

1  1  2
1 -1  1
0  0  0

R₂ − R₁

1  1  2
0 -2 -1
0  0  0

R₃ + R₂

1  1  2
0 -2 -1
0  0  0

Quindi i vettori v₁ e v₂ sono linearmente indipendenti e costituiscono una base dello spazio che li contiene.

Nota bene: posso avere, anziché tre vettori, tre polinomi, es. p₁(t) = t² − 2t + 1; p₂(t) = t² + 1; in questo caso separo il polinomio in:

p = t²t1; in questo modo, prendendo p₁(t) avrò 1−21 e p₂(t) = 101

Se invece i vettori non li ho già, allora procedo in maniera diversa: prima mi devo ricavare i vettori.

Esempio:

• V = {x ∈ R⁴ | x₁ + 2x₂ − x₃ = 0}

In questo caso devo ricavare il generico vettore rispettando le condizioni:

v = x₁x₂x₁ + 2x₂

A questo punto raccolgo x₁ e x₂, per poi mettere i vettori ottenuti dentro ad una matrice:

• x₁ = 1 1
• x₂ = 0 2

e procedo come prima con le mosse di Gauss.

Nota bene: posso anche avere i vettori scritti in questo modo:

• v₁ - 2v₂ + 3v₃; v₁ + 5v₃

In questo caso separo i termini come prima.