Riassunto teoria di Geometria

Concetto di applicazione lineare

Sia f: V->V’ un’applicazione lineare tra due spazi vettoriali. La funzione f si dice lineare se soddisfa le seguenti condizioni. Per ogni scelta di vettori u e v in V ed ogni scalare a in R si ha:

1. f(u+v) = f(u) + f(v)
2. f(a*u) = a*f(u)

Ci sono delle proprietà per f: V->V’:

1. f(0 ) = 0V V’
2. Si può portare fuori il segno: f(-u) = -f(u)
3. Vale la distributiva: f(u-v) = f(u) - f(v)
4. Si possono portare fuori gli scalari: f(au+bv) = af(u) + bf(v)
5. Se f è biettiva anche f è lineare
6. Se f: V->V’ e g: V’->V” sono applicazioni lineari, allora è lineare anche la loro composta (f g)
7. Date f: V->V’ e g: V->V’ lineari

ed un qualunque scalare c di R, le applicazioni f+g:V->V' e c*f:V->V' definite ponendo (f+g)(u) = f(u)+g(u) e (c*f)(u) = c*f(u) sono anch'esse lineari. E' possibile costruire applicazioni lineari V->V' tra spazi vettoriali qualsiasi. Fissiamo una base B di V ed una base B' di V'. Supponiamo B abbia dimensione n e V' dimensione m. Sia A una matrice m*n. Possiamo definire allora una applicazione lineare f: V->V' tramite f(u) = [A] * L * [u] ovvero si parte da un vettore u in V, poi si calcolano le coordinate x = [u] di u rispetto alla base B, si moltiplica il vettore x per la matrice A, ottenendo così un nuovo vettore numerico y = A * x (per fare questo occorre considerare x come una colonna), e poi si definisce f(u) come quel vettore di V' che, rispetto alla base B', ha coordinate y. Se viene fornita una applicazione f di vettori di B, dalle immaginisiritrovano le colonne di A.10.Data f, esiste A sua matrice rappresentativa tale che [f(x)] = A*[u]B’ BCavallari Gianmarco 8 of 184. Matrice rappresentativa di una applicazione lineare: Sia f: V->V' un'applicazione lineare, B = {b1,...,bn} e B' = {b'1,...,b'm} basi di V e V'. Si definisce matrice rappresentativa di f rispetto alle basi B e B' quella matrice A con m righe ed n colonne la cui colonna di posto j è data dal vettore [f(b'j)] delle coordinate di f(b'j) rispetto alla base B'. Denotiamo tale matrice con il simbolo M(f) := A. Gode di alcune proprietà: 1. Sia f: V->V' applicazione lineare, B base di V e B' base di V'. Allora per ogni vettore u di V si ha che: [f(u)] = M(f) * [u]B' 2. Se f:V->V' e g:V'->V'' sono applicazioni lineari, allora f composto g è ancora lineare e M(g*f) = M(g) * M(f). Questo vuol dire

che laBB” B’B” BB’rappresentativa di una composizione di due applicazioni lineari è uguale alprodotto delle due matrici rappresentative.

3. Se f è una applicazione lineare tra spazi della stessa dimensione, B base diV e B’ base di V’, allora anche f è lineare e la M (f) è invertibile:-1 BB’M (f )=M (f)B’B -1 BB’ -1

4. La matrice rappresentativa varia al variare delle basi

5. La matrice rappresentativa dell’applicazione delle coordinate [] :V->R ,nBriferita alla base B in partenza ed alla base canonica in arrivo, è lamatrice unitaria I: M ([] ) = IBε B

6. La matrice dell’applicazione L :R -> R riferita alle basi canoniche èn mAproprio A: M (L ) = A.εε A

7. Se f è definita implicitamente per x,y,z,t, impostare per riga larappresentativa, altrimenti se sono fornite le immagini di f impostare larappresentativa di f da B a ε mettendoli in colonna.

Nucleo ed Immagine di una applicazione lineare: ad ogni applicazione lineare f: V->V' si possono associare due spazi vettoriali detti nucleo ed immagine di f, che ne rappresentano la struttura.

1. Nucleo: si definisce nucleo di f e si denota Ker(f) l'insieme formato da tutti i vettori di V che hanno immagine nulla in V' tramite f. Gode di alcune importanti proprietà:
   1. Il nucleo è un sottospazio di V: il kernel è infatti stabile rispetto all'addizione e la moltiplicazione, quindi è sicuramente un sottospazio di V. Inoltre il ker contiene l'elemento nullo di V.
   2. f è iniettiva se e solo se Ker(f) = {0}: l'applicazione f associa a distinti elementi di V distinti elementi di V' e nessun vettore di V si annulla tramite f. Infatti, l'unico elemento nullo in V' è proprio e solamente il vettore nullo di V.
   3. Se Ker(f) = {0}, allora f trasforma sistemi liberi in sistemi liberi: il sistema delle immagini di f

      è libero per iniettività e linearità. Infatti, grazie a queste due proprietà, l’unica relazione che può esistere tra i vettori immagine è solamente quella banale. Le immagini sono tutte linearmente indipendenti tra di loro.

      4. Se f = L :R ->R allora ker(f) coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo A*x = 0 : la dimostrazione è ovvia poiché LARmporta il vettore x di R nel vettore L (X) = A*x di R .

      5. Sia B una base di V e B’ una base di V’. Sia A = M (f) la matrice BB’∈ ∈rappresentativa di f ed L : x R ->A*x R l’applicazione lineare corrispondente. Siano x ,…x vettori di una base di ker(L ) e siano1 h Au ,…,u i vettori di V ad essi corrispondenti tramite l’applicazione delle1 hcoordinate [] :V->R . Allora i vettori u ,…,u formano una base di ker(f).nB 1 hIn particolare kef(f) e ker(L ) hanno la stessa dimensione: Fissiamo BA

      $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi può essere formattato come ∈. $\in$ è un simbolo di appartenenza, quindi 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      rk(A).ACavallari Gianmarco 9 of 182. L'immagine: si definisce immagine di f e si denota con Im(f) l'insieme formato da tutti i vettori di V' della forma f(u), ottenuti al variare di u in V. Gode di alcune importanti proprietà:

      1. Im(f) è un sottospazio di V': questo poiché Im(f) è stabile rispetto a somma ed addizione e possiede l'elemento nullo di V', pertanto è un sottospazio.
      2. F è suriettiva (ovvero esaurisce l'insieme V') se e solo se Im(f) = V': vero per definizione di funzione suriettiva.
      3. Se i vettori u,...,u generano V allora le loro immagini tramite f formano Im(f) e V': per definizione V è formato da vettori u,...,u con hu = a1u1 +...+anun e V' è formato da vettori u' = f(u) quindi si ha che hu' = f(u) = f(a1u1 +...+anun) = a1f(u1) + ... + anf(un) e ciò prova che Im(f) è generabile con i vettori f(u1),...,f(un).

      vettori f(u), ..., f(u).1

      Se f = L : R -> R allora Im(f) coincide con lo spazio delle colonne di A:n mA

      Come già detto, Im(f) è generato dalle immagini dei vettori canonici di R. L'asserto segue dal fatto che L(e) = A * e coincide con la colonna n A_i di posto i di A.

      5. Sia B una base di V e B' una base di V'. Sia A = M(f) la matrice BB' rappresentativa di f. Se le colonne A, ..., A formano una base per lo spazio delle colonne di A, allora le immagini {f(b), ..., f(b)} formano una base per Im(f).

      6. Se A è una qualunque matrice rappresentativa di f, allora dim(Im(f)) = rk(A)

      7. dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) (teorema della dimensione)

      6. Definizione di isomorfismo: un'applicazione lineare biunivoca f: V -> V' si dice isomorfismo tra lo spazio V e lo spazio V'. Il nome dice che è un'operazione che porta basi in basi di stessa forma e dimensione.

      1. La dimensione di V e V' sono uguali

      1. tramite f e l'inversa di f è ancora un isomorfismo da V' a V. 2. Se B è una base di V e B' è una base di V', allora la matrice rappresentativa è a sua volta invertibile. 3. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione (equivalenza). L'equivalenza è riflessiva (V isomorfo a se stesso) e transitiva (l'isomorfismo vale anche per le composizioni di sottospazi). 4. L'applicazione delle coordinate è un isomorfismo. 5. Ogni spazio vettoriale di dimensione n è isomorfo a Rn. 6. Definizione di endomorfismo: un'applicazione lineare del tipo f: V->V, in cui lo spazio di partenza coincide con quello di arrivo, dicesi endomorfismo di V. (Ovvero si rimane nella stessa base di partenza). 7. Definizione di omomorfismo: Dati V e V', spazi vettoriali, l'insieme delle applicazioni lineari possibili da V a V' si dice omomorfismo e si indica con Hom(V,V'). E' un

      insieme stabile rispetto ad addizione e moltiplicazione dunque crea un algebra e spazio vettoriale (Hom(V,V'),+,*). Trovarsi in Hom significa essere linearmente indipendente.

      1. Lo spazio Hom(V,V') è isomorfo a M(m,n) tramite la matrice rappresentativa dove m = dimV e n = dimV'. Questo significa che lo studio delle applicazioni lineari è equivalente allo studio delle matrici.
      2. Se oltre l'addizione interna e somma esterna si include la moltiplicazione interna, si ha l'...