Riassunto teoria di Geometria

Teoria esercizio 1

Spazio vettoriale

Un spazio vettoriale, anche definito dalla struttura algebrica (V,+,*), è un insieme non vuoto V su cui sono fissate un'operazione interna ed una esterna. La struttura algebrica si dice spazio vettoriale se soddisfa le 8 proprietà: associativa addizione, elemento neutro addizione, esistenza dell’opposto, commutativa dell’addizione, associativa della moltiplicazione esterna, distributiva della moltiplicazione esterna rispetto ad addizione interna e numeri reali.

I vettori

I vettori sono gli elementi costituenti dello spazio vettoriale. Sono spesso indicati da lettere minuscole. Esiste il vettore nullo u = 0 ed il vettore opposto -u. I numeri reali, nel contesto dei coefficienti, sono detti scalari o pesi.

Sottospazi

Fissato V spazio vettoriale. Sia W ⊆ V un sottoinsieme di V, cioè un sottoinsieme i cui elementi stanno in V. W si dice sottospazio di V se:

• Il vettore nullo appartiene a W
• Il sottospazio è stabile rispetto alla somma interna
• Il sottospazio è stabile rispetto alla moltiplicazione esterna
• Il sottospazio W è sottospazio di V se e solo se non è vuoto

Vettore linearmente dipendente

Fissiamo uno spazio vettoriale formato da vettori u₁, u₂, …, u_h. Assegnati degli scalari, possiamo definire il vettore u := a₁u₁ + a₂u₂ + … + a_hu_h come combinazione lineare dei vettori con i rispettivi pesi (qualcuno può essere ripetuto). In tal caso diremo che u dipende linearmente dai vettori u₁, u₂, …, u_h e si può scrivere come loro combinazione lineare.

Sottospazio generato

Fissiamo un sottoinsieme qualsiasi S ⊆ V. L’insieme Span(S), costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di vettori di S e vari scalari, si dice sottospazio di V generato da S. Lo Span(S) è un sottospazio. Se S è formato da un numero finito di vettori allora ogni vettore u ∈ Span(S) è linearmente dipendente. Ci sono alcune proprietà:

• Se S è vuoto, Span(S) = {0}
• S ⊆ Span(S)
• Span(S) è un sottospazio di V
• S ⊆ T —> Span(S) ⊆ Span(T)
• S è un sottospazio di V <—> S = Span(S)
• Se W è un sottospazio di V contenente S, allora Span(S) è contenuto in W.

Sistemi di vettori linearmente indipendenti

Un sistema di vettori u₁, u₂, …, u_h si dice linearmente indipendente, o anche libero, se l’unica relazione per u₁, u₂, …, u_h è quella banale (zero). Ciò equivale a dire che gli unici pesi a₁, a₂, …, a_n ∈ R per cui u := a₁u₁ + a₂u₂ + … + a_hu_h = 0, sono quelli nulli a₁ = … = a_n = 0.

Sistemi di vettori linearmente dipendenti

Un sistema di vettori u₁, u₂, …, u_h si dice linearmente dipendente, o anche legato, se non è libero, cioè se il sistema ammette una relazione non banale. Cioè se esistono pesi non tutti nulli a₁, a₂, …, a_n ∈ R per cui u := a₁u₁ + a₂u₂ + … + a_hu_h = 0. In questi sistemi c’è la possibilità di scartare i vettori linearmente dipendenti, ovvero sovrabbondanti, per ottenere un sistema linearmente indipendente.

Proprietà sistemi liberi e legati

• Il sistema vuoto è linearmente indipendente
• Un sistema formato da un solo vettore u è libero se questo u ≠ 0.
• Un sistema costituito da due vettori è legato se e solo se almeno uno dei vettori è multiplo dell’altro
• Il sistema dei vettori u₁, u₂, …, u_h è linearmente dipendente se e solo se tra i vettori u₁, u₂, …, u_h c’è un vettore u_i che dipende linearmente dai rimanenti vettori
• Sia u_i linearmente dipendente nel sistema u₁, u₂, …, u_h. Si ha allora che Span(u₁, u₂, …, u_h) = Span(u₁, u₂, …, u_i, …, u_h) e tale vettore dicesi sovrabbondante
• Sia u₁, u₂, …, u_h un sistema di vettori linearmente indipendenti, allora i vettori di tale sistema sono tutti non nulli, diversi tra loro e se S è sottoinsieme di u₁, u₂, …, u_h allora anche S è libero.
• Sia u_i un vettore che dipende linearmente dai vettori u₁, u₂, …, u_h. Allora vi dipende in modo unico e la combinazione di scalari è unica.
• Criterio per riconoscere il vettore sovrabbondante: sia u_i un vettore del sistema u₁, u₂, …, u_h. Allora u_i è sovrabbondante rispetto al sistema u₁, u₂, …, u_h se e solo se esistono pesi a₁, …, a_i, …, a_h con a_i ≠ 0 tali che a₁u₁ + … + a_iu_i + … + a_hu_h = 0. Cioè se e solo se esiste una relazione tra i vettori u₁, u₂, …, u_h che ha peso a_i relativo a u_i non nullo (relazione non banale). Nello studio delle relazioni tra i vettori, è sovrabbondante quello che ha peso diverso da zero nella relazione.

Definizione di base

Sia V uno spazio vettoriale e sia B={b₁, b₂, …, b_h} un sistema di vettori di V. Diremo che B è una base di V se i vettori b₁, b₂, …, b_h generano V e sono linearmente indipendenti.

• B è una base per V se e solo se ogni vettore di V si può esprimere in un unico modo come una combinazione lineare dei vettori di B.
• Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile. Allora esiste almeno una base per V, e due basi di V hanno lo stesso numero di elementi (dimensione).
• Lemma di Steinitz (lemma sostitutivo): Sia V = Span(u₁, u₂, …, u_r) uno spazio vettoriale generabile con r vettori. Siano w₁, w₂, …, w_s vettori linearmente indipendenti di V. Allora s ≤ r. (In uno spazio vettoriale generabile con r vettori non ci possono essere più di r vettori linearmente indipendenti e pertanto B e B’ di V devono avere lo stesso numero di vettori).

Definizione di dimensione

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile, e sia B una base di V. Si definisce dimensione di V e si scrive come dim(V), il numero di vettori presenti in B. Tale numero non dipende dalla base scelta B.

• dim(V)=0 <—> V={0}
• dim(V)=1 se e solo se esiste un vettore non nullo u di V tale che V = {au: a ∈ R}.
• Se dim(V) = n e {b₁, b₂, …, b_h} è un sistema libero di vettori di V costituito da h vettori, allora {b₁, b₂, …, b_h} è una base di V.
• Se dim(V) = n e {b₁, b₂, …, b_h} è un sistema libero di generatori di V costituito da h vettori, allora {b₁, b₂, …, b_h} è una base di V.
• Sono equivalenti le seguenti proprietà:
  • dim(V) = n
  • n è il numero massimo di vettori per un sistema linearmente indipendente di V
  • n è il minimo numero di vettori per un sistema di generatori di V
• Da ogni sistema di generatori di V si può estrarre una base. Se S è sistema di generatori di V, allora esiste in esso una base B di V.
• Ogni sistema libero di vettori può essere esteso a base di V attraverso le forme canoniche.
• Se W è sottospazio di V, allora anche W è finitamente generabile e dim(W) ≤ dim(V) e vale l’uguaglianza dim(W)=dim(V) se e solo se W=V.

Unione ed intersezione di sottospazi

Dati due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale è possibile eseguire la loro intersezione (U ∩ W) e la loro unione (U ∪ W). (U ∩ W) è ancora un sottospazio, ma stessa cosa non vale sempre per (U ∪ W). In tal caso, si considera il sottospazio generato dall’unione dato da U + W = Span(U ∪ W).

• U + W = {u + w: u ∈ U, w ∈ W}
• U = Span(S), W = Span(T) —> U + W = Span(S ∪ T)
• dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W) [Formula di Grassmann]

La formula di Grassmann

Per questa formula U e W si assumono finitamente generali. Se assumiamo come dati le dimensioni di U e W, questa formula mette in relazione la dimensione dell’intersezione U con W, con la dimensione della somma di U con W. In generale, infatti, vale: dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W).

La dimostrazione della formula di Grassmann consiste essenzialmente nel dimostrare che un determinato sistema di vettori B, formato dalla somma dei vettori che generano U e W, è una base per U + W. Per dimostrare tale cosa si studiano le relazioni tra i vettori contenuti in B. Se si riesce a provare B come linearmente indipendente, allora anche i vettori di U e W sono tutti linearmente indipendenti. Essendo l’unica relazione tra tali vettori quella banale, la formula di Grassmann è dimostrata.

La somma diretta di sottospazi

Quando si sommano due o più vettori che hanno in comune solo il vettore nullo, allora si dice “somma diretta”. Sia V uno spazio vettoriale, ed U, W sottospazi di V. Si dice che V è la somma diretta di U e W e si scrive V = U ⊕ W se V = U + W ed inoltre (U ∩ W) = {0}. Gode di alcune proprietà:

• V = U ⊕ W
• V = U + W e dim(V) = dim(U) + dim(W)
• dim(V) = dim(U) + dim(W) e dim(U ∩ W) = 0
• Per ogni vettore v ∈ V esiste un unico vettore u ∈ U ed un unico vettore w ∈ W tali che v = u + w
• Per ogni base U di U ed ogni base W di W l’unione U ∩ W è una base di V
• Esiste una base U di U ed esiste una base W di W tali che l’unione U ∩ W è una base di V

Matrice a scala

Sia A una riga non nulla di una data matrice A. Partendo dalla sinistra, la prima componente non nulla che figura in A si chiama il pivot di A_i. Similmente, se A_j è una colonna non nulla di A, partendo dall’alto, la prima componente non nulla che figura in A si chiama il pivot di A_j. Una matrice A si dice che è a scala per righe se soddisfa le seguenti due condizioni:

• Le eventuali righe nulle di A si trovano in fondo alla matrice.
• Per ogni riga non nulla A_i di A, detto a_ij il suo pivot, sono nulle tutte le componenti di A che si trovano al di sotto di a_ij, nella stessa colonna e nelle colonne precedenti.

Ogni matrice A è equivalente per righe ad una matrice a scala S per righe. Le righe non nulle di una matrice a scala per righe sono linearmente indipendenti. Perciò il rango di una matrice a scala per righe si calcola contando semplicemente le sue righe non nulle.

La rappresentazione cartesiana di un sottospazio

Un sottospazio può essere descritto o attraverso un sistema di generatori che ne formano una base, oppure attraverso una rappresentazione cartesiana. Sia infatti U un sottospazio di Rⁿ. Si definisce rappresentazione cartesiana di U un qualunque sistema omogeneo S tale che U = Sol(S), ovvero tale che U sia esprimibile come l’insieme delle soluzioni del sistema S. A livello pratico, dati i generatori di un sottospazio, questi vanno messi in una matrice per colonna assieme ad un vettore aggiuntivo che presenta solo le variabili x, y, z, t. Eliminando i vettori sovrabbondanti e poi riducendo a scala tale matrice si ottiene l’equazione(i) cartesiana(e) che descrive(ono) il sottospazio. Le equazioni da prendere sono quelle che si trovano sulle righe che NON presentano pivot.

Studio di intersezione tra due sottospazi vettoriali

Se si vuole una rappresentazione cartesiana S per l’intersezione di U ∩ V, questa si ottiene mettendo a sistema le equazioni che formano una rappresentazione cartesiana di U con quelle che formano una rappresentazione cartesiana di V. Ne segue che risolvendo tale sistema, si ottiene una base e la dimensione di U ∩ V.

Teoria esercizio 2

Matrice invertibile

Una matrice quadrata A di ordine n si dice invertibile se esiste una matrice quadrata B di ordine n tale che AB = BA = I. In tal caso B diciamo matrice inversa di A e si denota con il simbolo A^-1 = B.

• Se A è invertibile, la sua inversa è unica
• Se A è invertible allora lo è anche la sua inversa
• La matrice identica I è invertibile, ed anche la sua inversa lo è
• Se A e B sono invertibili allora anche A*B è invertibile

Il rango di una matrice

Sia R il sottospazio di Rⁿ generato dalle righe di A: A ⊆ R = Span(A₁, …, A_m) ⊆ Rⁿ. R è lo spazio delle righe di A. Allo stesso modo possiamo definire lo spazio delle colonne di A: C_A ⊆ Rⁿ = Span(A₁, …, A_m). Questi spazi hanno la stessa dimensione e tale dimensione dicesi rango. Il teorema del rango dice che dim(R_A) = dim(C_A).

Per provare il teorema del rango si inizia fissando una base B per lo spazio delle colonne, μ dimensione spazio righe, ψ dimensione spazio colonne (si vuole provare che sono uguali). Ogni colonna in B è una combinazione lineare dei vettori di tale base: A_j = k_j1A₁ + … + k_jψA_ψ. Se esplicito la componente A_j ottengo A_j = k_j1(a_ij1) + … + k_jψ(a_ijψ). Da questo si deduce che le componenti A_i (ovvero le righe della matrice) si esprimono come: A_i = (a_ij1)k₁ + … + (a_ijψ)k_ψ. Ciò implica che lo spazio delle righe è contenuto nel sottospazio di Rⁿ generato dai ψ vettori k₁, k₂, …, k_ψ. Quindi la dimensione dello spazio delle righe di A μ è al massimo ψ e μ ≤ ψ. Se si ripete lo stesso ragionamento per la matrice trasposta si conclude che ψ ≤ μ, dunque coincidono.

Calcolo del rango

Per calcolare il rango ci sono più metodi:

• Controllo delle relazioni ed eliminazione vettori sovrabbondanti
• Metodo basato sulle operazioni elementari (algoritmo di Gauss)
• Metodo del determinante

Calcolo del rango tramite operazioni elementari

Sia A una matrice qualsiasi di tipo m × n. Sulle righe di A si possono eseguire 3 tipi di operazioni elementari:

• L’operazione p_ij, che significa scambiare la riga A_i di A con la riga A_j.
• L’operazione e_ij(k), che significa sommare alla riga A_i di A la riga A_j moltiplicata per lo scalare k (in questa operazione si assume i ≠ j). In altre parole, alla riga A_i si sostituisce la riga A_i + kA_j.
• L’operazione e_i(k), che significa moltiplicare la riga A_i per lo scalare k (in questa operazione si assume k ≠ 0).

In modo analogo, anche le operazioni elementari sulle colonne. Sono di tre tipi, cioè p_ij, e_ij(k) ed e_i(k).

Matrici elementari

Una matrice elementare è, per definizione, una matrice quadrata che si ottiene dalla matrice I tramite una sola operazione sulle righe. Perciò avremo tre tipi di matrici elementari, che denoteremo con P_ij, E_ij(k), E_i(k). Eseguire un’operazione elementare "e" sulle righe di una matrice A equivale a moltiplicare a sinistra di A per la matrice elementare E.

• Una matrice inversa di una elementare è ancora una elementare
• Una matrice trasposta di una elementare è ancora una elementare

Matrici equivalenti per righe

Siano A e B due matrici m*n. Diremo che A è equivalente per righe a B, e scriveremo A ∼ B, se B si ottiene da A tramite un numero finito di operazioni elementari sulle righe di A. L’equivalenza per righe è riflessiva, simmetrica e transitiva. Inoltre, se due matrici sono equivalenti per righe, lo spazio delle colonne ed il rango di A coincide on quello di B. Allo stesso modo, vale l’equivalenza per colonne.

Calcolo del rango e riduzione a scala con algoritmo di Gauss

Sia A una matrice qualsiasi. Sia S una matrice a scala equivalente per righe ad A, a cui si perviene tramite l’algoritmo di Gauss. Poiché A è equivalente per righe ad S, allora lo spazio delle righe di A coincide con lo spazio delle righe di S. D’altra parte le righe non nulle di S sono linearmente indipendenti, e perciò formano una base per R_A (=R_S), ed il rango di A coincide con il numero di righe non nulle di S. L’algoritmo di Gauss per la riduzione a scala è il seguente:

• Se la matrice A è formata da una sola riga, l’algoritmo termina
• Si individua la colonna non nulla con indice più basso e il suo pivot (primo elemento non nullo sulla riga, a partire da sinistra).
• Se il pivot è nella riga di posto i, scambiare tale riga con la prima
• Rendere nulle tutte le componenti della colonna sotto il pivot, sommando alle varie righe opportuni multipli della prima.
• Ripetere la procedura dal passo 1 sulla seconda riga (schermando la prima), fino all’esaurimento dei pivot sulle righe (l’algoritmo può essere eseguito anche con operazioni sulle colonne).

Le righe non nulle di tale matrice a scala S sono linearmente indipendenti mentre le righe azzerate sono vettori sovrabbondanti di A. Essendo S equivalente per righe ad A, allora il rango di S, dato dal numero di righe non nulle, è uguale a quello di A.

Il concetto di determinante

Detto M = R^n×n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n, si definisce determinante la funzione che mappa elementi di M su elementi di R, con le seguenti proprietà:

• det(I) = 1
• det(A) = det(A^T)
• Data A, allora rk(A) = n <-> det(A) ≠ 0.
• Data una matrice A:
  • Se B è ottenuta da A scambiando tra loro due righe o due colonne, allora det(B) = -det(A).
  • Se B è ottenuta da A moltiplicando una riga o una colonna per un numero reale k, allora det(B) = k × det(A) (multilinearità).
  • Se B è ottenuta da A sommando una riga o una colonna a un’altra, allora det(B) = det(A). Si può dimostrare che esiste una sola funzione...