Riassunto Geometria

Numeri Complessi ( )+

+ + ( + );

⁄ ⁄

(cos + sin ) = + ; cos = ; sin = ;

) ));

× (cos( + + sin( +

;

= × ×

= × = 0,1, … , − 1;

√ ( )

Se è radice di allora anche sarà radice di e avrà ala stessa molteplicità di ;

̅

( ) ( )

Spazi vettoriali e sottospazi

Proprietà da verificare negli spazi vettoriali:

 ( ) ( )+ +( )

1. + = + , ,

 (∃ )

2. 0 +0 =

 (∃ )

3. + = 0 ,

 ( )

4. + = + ,

 ( )=( )

1. , ∈

 (∃

2. à) 1 =

 ( )

1. + = + , ∈

 ( )=

2. + + , ∈

Proprietà da verificare nei sottospazi vettoriali:

1. , ℎ +

2. ∈

3. 0

Operazioni tra sottospazi:

( )

∩ è ℎ 0 ∈ 0 ∈

( )

∪ 3

( )

+ + = + | ∈ , ∈

( )

⨁ è ℎ ∩ = 0

Operazioni Tra vettori ( , )

 | || |

Prodotto scalare ∗ = (= 0 ⊥ )

| | il prodotto scalare di un vettore per se stesso e uguale alla norma al

∗ =

o quadrato di quel lo steso vettore.

 | || |

Prodotto vettoriale ∧ = (= 0 ∥ )

| |

La norma del prodotto vettoriale corrisponde all’ area del rettangolo che ha per basi

∧

o i due vettori.

 ∗( )=

Prodotto misto e la sua norma e l’ area del

∧

parallelepipedo che ha per base il rettangolo formato dai due vettori in prodotto vettoriale e come

altezza la norma del vettore in prodotto scalare

 ∗

Proiezione ortogonale di su ∶ ′ = ∗

‖ ‖

17

Matrici

Matrice Simmetrica =

Matrice Diagonale e una matrice simmetrica con tutti zeri tranne che ce sulla diagonale

Matrice Antisimmetrica = −

Matrice Triangolare Alta se sotto la diagonale sono tutti zeri

Matrice Triangolare Bassa se sopra la diagonale sono tutti zeri

Determinanti

Calcolo del determinante con Formula di Laplace

( )= =

( )−( )

= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =

( )−( )

= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =

( )−( )

= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =

( )=| |= Vale pure per matrici n x n con n>3

+ +

Non per forza si devono usare gli elementi della prima riga come riferimento più in generale si preferisce la riga con

un maggior numero di zeri cosi da facilitare i calcoli

( )≠0 ( )= ( )

 ∃

 1

( )=

 ( )

ℎ − . .

 . = ℎ 1 =

 ( )= 0



( )= ∗ ∗………∗

Proprietà Determinante.

( )= ( )∗ ( )

( )= ( ) ℎ .

( ) ( )

è = → = ±1

Determinante nella riduzione per righe.

ℎ → ( )

.1 →

.2 → 2 ‼‼

→ + ( )

( )

→ 18

( )≠0

Invertire matrice ∈ ( , )

Modo 1

( )

| ~ … ~ ~ … ~ ( | )

Modo 2(Complemento Algebrico) (−1) ( )

Si indica con e corrisponde ad dove la matrice B e la matrice A escluse riga e

= ∗

colonna questo serve per calcolare l inversa della matrice; ( )=0

Una matrice si può invertire solo se =

( )

1

= → = …

( )

Modo 3

Vale solo se ∈ ( , ) ( , )

Esempio: | ⋰ ⋱

=( )

| ∈ ( )

, ⋯

( )= ∗ ∧ = ∗ ∧ = ∗ ∧

∧

1 ∧

= ( ) ∧

Potenza di matrici : Si svolgono come n moltiplicazioni di una matrice per se stessa.

Teorema di Rouche-Capelli (Dato un sistema lineare )

=

( )< ( )

⋰ ( )= ( )=

( | )= ⋯

⋱ ( )= ( )< ∞

( )=

Primo Teorema di Laplace( )

+ ⋯+

Il determinante di a si può ottenere moltiplicando gli elementi di A per i rispettivi complementi algebrici

stesso vale per le colonne

Secondo Teorema di Laplace( + ⋯+ = 0)

Moltiplicando gli elementi di una riga per i complementi algebrici di un'altra riga e sommando viene zero

stesso vale per le colonne.

Regola di Cramer ∆

Sia un sistema lineare e A invertibile si ha un'unica soluzione ed è dove e il

= = ∆

( )

determinante della matrice A con la i-esima colonna sostituita dalla colonna B quindi si dovranno calcolare

tutti i determinanti 19

Applicazioni Lineari (o funzioni lineari)

. = +

( ) ( ) ( )

Solo se valgono le proprietà . =

( ) ( )

Nucleo di un applicazione lineare ( )

Si indica con ed e composto da tutte le quindi gli si prendono gli elementi della

( ) = 0

funzione e si pongono a zero e un sottospazio del dominio.

( )

Iniettività una funzione si dice iniettiva se insieme col solo vettore

= 0 0

Immagine di un applicazione lineare

Si indica con ed è generata dai vettori colonna L.I. della matrice associata nelle base canonica

( ) ( )

Surriettività Una funzione lineare e surriettiva se e codominio di hanno la stessa dimensione.

Isomorfismo

E un applicazione lineare sia iniettivache surriettiva

Teorema della dimensione ) )

sia : → dim( = dim( + dim

( )

Cambio di base

Genera una matrice simile con diverse proprietà:

Siano simili allora =

o ( ) ( )

)

Siano simili allora

′ det( = det

( )

o

Due matrici sono simili se =

La matrice del cambio di base ha per colonne i vettori che compongono la nuova base scritti nel nostri

)

riferimento attuale(in genere quella canonica) se il si puo invertire

det( ≠ 0

e applicare alla matrice della nostra funzione lineare

Passaggio da una matrice ad un'altra : = ∗ ∗

Passaggio da un elemento ad un altro : = ∗

Passaggio da un immagine all’ altra : = ∗

( ) ( )

Punti stazionari

Prima trovare ovvero formato dalle due o piu