Riassunto Geometria

Siano simili allora

′ det( = det

( )

o

Due matrici sono simili se =

La matrice del cambio di base ha per colonne i vettori che compongono la nuova base scritti nel nostri

)

riferimento attuale(in genere quella canonica) se il si puo invertire

det( ≠ 0

e applicare alla matrice della nostra funzione lineare

Passaggio da una matrice ad un'altra : = ∗ ∗

Passaggio da un elemento ad un altro : = ∗

Passaggio da un immagine all’ altra : = ∗

( ) ( )

Punti stazionari

Prima trovare ovvero formato dalle due o piu derivate parziali porlo uguale a zero e trovare

∇ ( ′, ′) ′′ ′′

i punti stazionari poi trovare la matrice hessiana e sostituire x,y con quelle dei punti

= ′′ ′′

stazionari poi trovare gli autovalori ricordando che quindi calcolando il det si puo capire

det = …

che tipo di punto stazionario sia quindi si possono verificare i seguenti casi :

 stesso segno il punto è un MAX Relativo (se <0) o un MIN Relativo (se >0)

…

 non tutti dello stesso segno il punto è una sella

…

 almeno uno zero non possiamo presumere niente sul suo comportamento.

…

Funzioni di più variabili ( )= ( ), ( )

: → … … … … … , …

Questa funzione è Continua se lo sono tutte le sue componenti

Derivabile se lo sono tutte le sue componenti

Differenziabile se lo sono tutte le sue componenti

Di classe se lo sono tutte le sue componenti

20

′ ⋯ ′

∇

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Matrice jacobiana = =

∇f ′ ⋯ ′ ′ ′ −

Differenziale applicato in = → | = ∗ = = −

′ ′

∗

Jacobiana e differenziale hanno significato solo se differenziabile altrimenti si possono calcolare ma non

hanno significato.

Polinomio di Taylor di 1° ordine per funzioni a piu variabili per →

( ) ( ) non moltiplica ma è il vettore applicato tipo ;

→ + | − −

( ) ∗ ( )

Polinomio di Taylor fino al 2° ordine , → ( , )

1 −

∗( )+ ( )∗

= + ∇ | − , − − , − | ∗ + ( , )

−

2 ( )

( , ) ( , ) ( , ) ,

( ) (‖( )‖ )

Parte lineare → , = − , −

( )

( ) ( )

: = lim

Derivata Direzzionale di lungo il vettore e uguale a →

Autovettori Autovalori − ⋯

− ⋯

( )

Polinomio Caratteristico della matrice A e il − → ⋯ ⋯ −

Ricorda in questo caso il Det si calcola con lo sviluppo di laplace non con la riduzione

( )

Autovalori Sono gli zeri del polinomio Caratteristico (e si indicano in genere col simbolo

− = 0

“Lambda”

Autovettori fanno riferimento ai diversi autovalori e si calcolano come = ker

( − )

( )

Ricorda autovettori derivati da autospazi diversi sono sempre Ortogonali

Autospazio Spazio generato dagli autovettori derivati dallo stesso autovalore;

Molteplicita Algebrica ( molteplicita del autovalore come radice del Polinomio caratteristico

)

( )

Molteplicita Geometrica ( corrisponde alla dimensione del autospazio generato dal autovettore di e

)

( )

corrisponde al numero delle Righe L.I.

Una Matrice le cui colonne sono composte da autovettori Ortonormalizzati (P) da una matrice Diagonale

Simile alla matrice di partenza che ha nella diagonale gli autovalori ovvero:

0 0

0 ⋱ 0

= 0 0

Questa matrice appunto sarà simile alla nostra matrice ma secondo la base composta dai nostri autovettori

ortonormalizzati.

Ortogonalizzare due Vettori appartenenti allo stesso autospazio = =

| |

Normalizzare vettore = | | 21

Geometria piana

Retta

Perpendicolare solo in

( , ) ⊥ ( , − )

Forma cartesiana + + =0

( )=( )+

Forma parametrica , , ( , )

Passaggio parametrico -> Cartesiano =

( )=( )+

Retta per 2 punti parametrica , , ( − , − )

Retta per 2 punti cartesiana = − =0 : = ; − =0 : =

− − ( )<2

3 punti allineati , , ∶ . .

− −

1

1 =0

1

− =−

⁄

Forma segmentaria + =0 = ; (

, , , 0), (0, )

=− =−

Forma ridotta : = + = tan ; (0, ), − ,0

Angolo tra 2 rette : : + + =0

: + + =0

) ∗ dove

cos( , = = + ; = + ;

| || |

Intersezione tra 2 rette: + + =0 3

+ + =0

 Caso 1 – una sola soluzione rette incidente

 Caso 2 – sistema incompatibile rette parallele distinte

 Caso 3 – Infinite soluzioni rette parallele coincidenti

( )=( )+

, , ( , ) + = + ′

ℎ →

( ) ( )

, = , + ( ′, ′) + = + ′

In questo caso si trovano le coordinate in x,y del punto di intersezione. | |

(ℎ, ) ( )=

Distanza punto retta : + + =0 ; = → , √

( )+ ( )=0

Fascio di Rette : + + + +

( )= ( )

− − ( , )

Cambiamento di coordinate

+ − ′ ′

cos sin

→ = + = +

′ ′

+ ′ + ′ − sin cos

Esempio: −

= + = − =

= −

: + + =0 + + +

√ √ √ =

∥ |

: − + =0 = − + = + =

= + + + +

√ √ √

∥ ′

+ +

2 2

2 2

= + ′

− + +

2 2

2 2

22

Rette parallele

: + + =0 ; : + + = 0;

Sono parallele se e solo se sono paralleli cioe

+ + <2 − =0

′ ′

:( ) ( ) ;

, = , + ( , ) : + + =0

Sono parallele se e solo se sono ortogonali ovvero

+ + + =0

:( ) ( ) ( ) ( )

;

, = , + ( , ) ′: , = , + ′( ′, ′)

Sono parallele se e solo se sono paralleli ovvero

+ ′ + ′ ′+ ′ =0

;

= + = +

Sono parallele se e solo se m=m’

Rette ortogonali ;

: + + =0 : + + =0

Sono ortogonali se e solo se sono ortogonali i vettori quindi se e solo se

= + = +

ovvero

∗ = 0 + =0

:( ) ( ) ;

, = , + ( , ) : + + =0

Sono ortogonali se e solo se sono paralleli ovvero

+ + − =0

( )= ( )

, , ≠0

:( ) ( ) ( ) ( )

;

, = , + ( , ) ′: , = , + ′( ′, ′)

Sono parallele se e solo se sono ortogonali ovvero

+ ′ + ′ ′+ ′ =0

;

= + = +

Sono ortogonali se e solo se +1=0

Circonferenza =( )

Equazione cartesiana ( − ) +( − ) = , , =

= + cos =( )

Equazione parametrica , , =

= + sin

Equazione polare = =

Intersezione Retta Circonferenza:

+ + =0 3 :

( ) +( )

− − =

1. Due soluzioni (secante) ∆> 0

2. Una soluzione (tangente) ∆= 0

3. Nessuna soluzione ∆< 0

Retta tangente a un punto della circonferenza :

( ) ( ) ( )

sia una circonferenza e un suo punto la retta tangente alla

: − + − = ,

( )

circonferenza in quel punto sara ortogonale a e quindi sarà:

− = − + ( − )

( )( ) ( )( )

: − − + − − = 0

Rette tangenti alla circonferenza passanti per un punto del piano :

( )

1. Punto P esterno alla circonferenza ovvero due rette tangenti alla circonferenza

, > (

passanti per P , ℱ) =

( )

2. Punto P sulla circonferenza ovvero una sola retta tangente alla circonferenza

, =

( )

3. Punto P interno alla circonferenza ovvero nessuna retta tangente alla circonferenza

, <

23

Intersezione tra 2 circonferenze : + + + =0

: + + + =0

Sottraendo la seconda equazione dalla prima vediamo che e equivalente a:

+ + + =0

( )

− +( − ) + − =0

Quindi ha al più due soluzioni ;

Fasci di circonferenza : ( )+ ( )=0

+ + + + + +

Oppure

( )+ ( )=0

+ + + + +

rappresentano tutte le equazioni del fascio esclusa quella dove = −

Ci sono due tipi di faci :

1. Tutte le circonferenze passanti per due punti distinti (primo tipo)

2. Tutte le circonferenze tangenti ad una retta r in un suo punto P (secondo tipo)

Imporre il passaggio di una circonferenza del fascio per un punto si sostituiscono e

( , ) = , =

si ricavano

Circonferenza per tre punti non allineati :

La circonferenza che li conterrà si può scrivere come :

, , 3 + 1

1

+ =0

+ 1

1

+ 24

Ellisse

 Equazione cartesiana : Γ: + =1

 Simmetrie : Rispetto all’ Asse x e all’ asse y con l origine (O) centro di simmetria

 ( (−

Regione dello spazio : racchiusa nel rettangolo di rette i punti

= ± , = ± , 0), , 0),

(0, ) (0, ) sono i vertici dell ellisse e le rette sono

− = ± , = ±

le tangenti ai vertici

 ( (0, )

Fuochi : = , 0), = − =√ −

 ( ) ( )

Luogo geometrico : , + , = 2 =

= + a cos

 ( ) ( )

Traslata in :

= ( , ) + =1 → Γ: = + sin

=

= cos

 Equazione parametrica : Γ: = tan Γ:

= sin =

Iperbole

 Equazione cartesiana : Γ: − =1

 Simmetrie : Rispetto all’ Asse x e all’ asse y con l origine (O) centro di simmetria

 Regione dello spazio : e individuata dalle seguenti disuguaglianze ≥ ≤−

( (−

i punti sono i vertici dell’ iperbole.La retta

− ≤ ≤ , 0), , 0)

AA’ si chiama asse trasverso ed e uo degli assi di simmetria

 ( (0, )

Fuochi : = , 0), = − =√ +

 | ( )

Luogo geometrico : , − ( , ′)| = = Γ

= +

= + cosh

 ( ) ( )

Traslata in :

=( , ) − =1 = + sinh = +

=

= cosh

 Equazione parametrica : Γ: Γ: ≠ ±1

= sinh =

Parabola

 Equazione cartesiana : Γ: y = 2 = + +

 Simmetrie : Rispetto all’ Asse x non ha centro di simmetria

 Regione dello spazio :

 Fuochi : = ,0

 ( ) ( )

Luogo geometrico : , = , =

 Equazione parametrica : Γ: = + +



Eccentricità ( )=

Definiamo il luogo dei punti tale che: , ( , )

 =1

 0< <1 + =1 = , = √1 −

 >1 − =1 = , = √ −1

25

Coniche +2 + +2 +2 +

= ; = ⋰ >0

=0 <0

det = det = ⋯

≠0 ⋱ =0

+ +

∶ + +

( ) ( )

Per trovare i semiassi di un ellisse :si porta nella forma : ricorda Assi 2a e 2b

+ =1

Coniche in forma polare : in tutti i casi tranne per il secondo ramo delle iperboli

= =

Caso Iperbole : = = √ −1

Caso Ellisse : = = √1 −

Proprieta Iperbole : = − ⁄

=± → =

Portare a forma canonica una conica a cent