Riassunto Geometria

Numeri complessi

( )++ + ( + );⁄ ⁄(cos + sin ) = + ; cos = ; sin = ;) ));× (cos( + + sin( +;= × ×= × = 0,1, … , − 1;√ ( )Se è radice di allora anche sarà radice di e avrà ala stessa molteplicità di ;̅( )

Spazi vettoriali e sottospazi

Proprietà da verificare negli spazi vettoriali

• + = + , ,
• 0 +0 =∃
• + = 0 , ∃
• + = + ,

( )=( )1. , ∈ (∃2. à) 1 = ( )1. + = + , ∈ ( )=2. + + , ∈

Proprietà da verificare nei sottospazi vettoriali

• , ℎ +
• ∈
• 0

Operazioni tra sottospazi

( )∩ è ℎ 0 ∈ 0 ∈( )∪ 3( )+ + = + | ∈ , ∈( )⨁ è ℎ ∩ = 0

Operazioni tra vettori

( , ) | || |Prodotto scalare ∗ = (= 0 ⊥ )| | il prodotto scalare di un vettore per se stesso e uguale alla norma al∗ =o quadrato di quel lo steso vettore.

 | || |Prodotto vettoriale ∧ = (= 0 ∥ )| |La norma del prodotto vettoriale corrisponde all’ area del rettangolo che ha per basi∧o i due vettori.

 ∗( )=Prodotto misto e la sua norma e l’ area del∧parallelepipedo che ha per base il rettangolo formato dai due vettori in prodotto vettoriale e come altezza la norma del vettore in prodotto scalare.

 ∗Proiezione ortogonale di su ∶ ′ = ∗‖ ‖

Matrici

Matrice simmetrica =Matrice Diagonale e una matrice simmetrica con tutti zeri tranne che ce sulla diagonale.

Matrice antisimmetrica = −Matrice Triangolare Alta se sotto la diagonale sono tutti zeri.

Matrice triangolare bassa se sopra la diagonale sono tutti zeri.

Determinanti

Calcolo del determinante con formula di Laplace

( )= =( )−( )= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =( )−( )= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =( )−( )= (−1) ∗ ∗ = (−1) ∗ ∗ ∗ ∗ =( )=| |= Vale pure per matrici n x n con n>3+ +

Non per forza si devono usare gli elementi della prima riga come riferimento più in generale si preferisce la riga con un maggior numero di zeri così da facilitare i calcoli.

( )≠0 ( )= ( ) ∃ 1( )= ( )ℎ − . . . = ℎ 1 = ( )= 0( )= ∗ ∗………∗

Proprietà determinante

( )= ( )∗ ( )( )= ( ) ℎ .( ) ( )è = → = ±1

Determinante nella riduzione per righe

ℎ → ( ).1 →.2 → 2 ‼‼→ + ( )( )→ 18( )≠0

Invertire matrice ∈ ( , )

Modo 1( )| ~ … ~ ~ … ~ ( | )

Modo 2 (Complemento Algebrico) (−1) ( )Si indica con e corrisponde ad dove la matrice B e la matrice A escluse riga e= ∗colonna questo serve per calcolare l inversa della matrice; ( )=0

Una matrice si può invertire solo se =( )1= → = …( )

Modo 3Vale solo se ∈ ( , ) ( , )Esempio: | ⋰ ⋱=( )| ∈ ( ), ⋯( )= ∗ ∧ = ∗ ∧ = ∗ ∧∧1 ∧= ( ) ∧

Potenza di matrici: Si svolgono come n moltiplicazioni di una matrice per se stessa.

Teorema di Rouche-Capelli

(Dato un sistema lineare )=( )< ( )⋰ ( )= ( )=( | )= ⋯⋱ ( )= ( )< ∞( )=

Primo teorema di Laplace

( )+ ⋯+Il determinante di a si può ottenere moltiplicando gli elementi di A per i rispettivi complementi algebricistesso vale per le colonne.

Secondo teorema di Laplace

( + ⋯+ = 0)Moltiplicando gli elementi di una riga per i complementi algebrici di un'altra riga e sommando viene zerostesso vale per le colonne.

Regola di Cramer

∆Sia un sistema lineare e A invertibile si ha un'unica soluzione ed è dove e il= = ∆( )determinante della matrice A con la i-esima colonna sostituita dalla colonna B quindi si dovranno calcolaretutti i determinanti.

Applicazioni lineari (o funzioni lineari)

= +( ) ( ) ( )Solo se valgono le proprietà . =( ) ( )

Nucleo di un applicazione lineare

( )Si indica con ed e composto da tutte le quindi gli si prendono gli elementi della( ) = 0funzione e si pongono a zero e un sottospazio del dominio.( )

Iniettività una funzione si dice iniettiva se insieme col solo vettore= 0 0

Immagine di un applicazione lineare

Si indica con ed è generata dai vettori colonna L.I. della matrice associata nelle base canonica( ) ( )

Surriettività Una funzione lineare e surriettiva se e codominio di hanno la stessa dimensione.

Isomorfismo

E un applicazione lineare sia iniettivache surriettiva.

Teorema della dimensione

) )sia : → dim( = dim( + dim( )

Cambio di base

Genera una matrice simile con diverse proprietà:Siano simili allora =o ( ) ( ))

Siano simili allora′ det( = det( )o

Due matrici sono simili se =

La matrice del cambio di base ha per colonne i vettori che compongono la nuova base scritti nel nostri)riferimento attuale(in genere quella canonica) se il si puo invertiredet( ≠ 0e applicare alla matrice della nostra funzione lineare.

Passaggio da una matrice ad un'altra : = ∗ ∗

Passaggio da un elemento ad un altro : = ∗

Passaggio da un immagine all’ altra : = ∗( ) ( )

Punti stazionari

Prima trovare ovvero formato dalle due o piu