Riassunto esame Geometria analitica con algebra lineare, prof. De Fabritiis, libro consigliato De Fabritis

A M R A

Sia , la matrice ottenuta cancellando riga i e colonna j di A è detta minore di A.

n, n ij

Sviluppo di Laplace ( )

n ( )

∑ +

i j

= −

det A 1 a det A

Del determinante lungo la colonna j-esima (o la riga i-esima): ij ij

=

j 1

( )

( )

∈ =

A M R T

Sia , allora .

det A det A

n, n

Teorema di Binet

( ) ( ) ( )( )

∈ =

B M R

Se A, allora .

det AB det A det B

n, n ( )

−

≠ ⇔ =

1

Se , A è invertibile .

det A 0 det A 1 det A

( ) ′

∈

A M R A

Sia ; una sottomatrice di ordine p di A è una matrice ottenuta considerando solo p

n, n ′

A

righe e colonne di A. Orlare : aggiungere un’altra riga e colonna di A ad .

1

A

Teorema degli orlati

( ) ′

∈ = ⇔

A M R A

rgA r

Sia ; allora esiste una sottomatrice di ordine r di A non singolare, e tutte

n, n ′

+ =

A

le sottomatrici di ordine ottenute orlando hanno .

det 0

r 1

7. G EOMETRIA AFFINE

Equazioni cartesiane Equazioni parametriche

2 + + = ′

ax by cz d

Piano nello spazio = + +

 x x ls l t

0

 ′

= + +

y y ms m t

 0

 ′

= + +

z z ns n t

 0 ′

l l ′

= + +

P P s m t m

0 ′

n n

+ + =

ax by cz d

Retta nello spazio = +

 x x lt l

0



′ ′ ′ ′

+ + =

a x b y c z d = +

y y mt = +

 P P t m

0

0

 n

= +

z z nt

 0

Posizioni reciproche ( ) ( ) ( )

Retta e punto = +

− + − + − = 

 x x lt

a x x b y y c z z 0 0

0 0 0 



(spazio) ( ) ( ) ( ) = +

′ ′ ′ y y mt



− + − + − =

a x x b y y c z z 0

 0

0 0 0  = +

z z nt

 0 ( )

( )( ) ( )( )

Retta e 2 punti = + −

− − + − − = 

 x x x x t

y y x x x x y y 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0

 

(spazio) ( )( ) ( )( ) ( )

− − + − − = = + −

z z x x x x z z 0 y y y y t



 1 0 0 1 0 0 0 1 0

 ( )

= + −

z z z z t

 0 1 0

( ) ( ) ( )

− + − + − = ′

Un piano e 1 punto = + +

a x x b y y c z z 0  x x ls l t

0 0 0 0

 ′

= + +

y y ms m t

 0

 ′

= + +

z z ns n t

 0 ( )

Un piano e 2 punti Ricavare a, b o c da: = + − +

 x x s x x lt

0 1 0

( ) ( ) ( ) 

− + − + − = ( )

a x x b y y c z z 0 = + − +

y y s y y mt



1 0 1 0 1 0 0 1 0



e sostituirlo in: ( )

= + − +

z z s z z nt



( ) ( ) ( ) 0 1 0

− + − + − =

a x x b y y c z z 0

0 0 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Un piano e 3 punti = + − + −

− + − + − = 

 a x x b y y c z z 0 x x s x x t x x

1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + − = = + − + −

a x x b y y c z z 0 y y s y y t y y



 2 0 2 0 2 0 0 1 0 2 0

 ( ) ( )

= + − + −

z z s z z t z z

 0 1 0 2 0

Due rette sono: incidenti (se si intersecano in 1 punto); parallele (se non si intersecano ed hanno

vettori direttori paralleli); coincidenti (sono stessa retta); sghembe (non sono nessuna delle altre).

2 rette (eq, param.) −P = −P = −P =

rg v v P 1 rg v v P 2 rg v v P 3

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

coincidenti parallele

=

rg v v 1

0 1 incidenti sghembe

=

rg v v 2

0 1 1

2 rette A b A b A b

0 0 0 0 0 0

= = =

rg 2 rg 3 rg 4

(eq. A b A b A b

1 1 1 1 1 1

cartesiane)

A

0 =

rg 2 Coincidenti parallele

A

1 3

A =

0

rg 3 incidenti sghembe

A

1 ′

+ = + +

P sv P tv t v

dal sistema

A 0 0 1 1 2

≠ incidenti;

det v v v 0 

0 0 1 2

≠ π

d et 0 = r contenuta in se il sistema

det v v v 0 

0 1 2

incidenti se ; ha una retta di soluzioni;

α T − = ≠ =

se rg v v v P P 3 2 rg v v v

0 1 2 0 1 0 1 2

parelleli



Una retta r A

e

un piano 0 =

π d et 0

paralleli se ,

α T

A b π

=

0 0

rg 2

se r contenuta in

α T d

. ( ) ( )

′ ′ ′ ′

λ µ λ µ

+ + + + + = + = + +

ax by cz a x b y c z d d P P tv sv

Fascio di piani 0 0 = + + −

Un piano, P P tv s ( P P )

0 0 1 0

una retta e ( )( ) ( )( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

+ + − + + − + + + − + + − =

a x b y c z d ax by cz d ax by cz d a x b y c z d 0

un punto 1 1 1 1 1 1 = paralleli

rg v w v w 2

a b c  

0 0 1 1

=

0 0 0

rg 1 paralleli

  −P =

rg v w v w P 2

a b c 

0 0 1 1 0 1

1 1 1 coincidenti;

a b c d

0 0 0 0 =

rg 1 coincidenti;

2 piani  = incidenti .

rg v w v w 3 

a b c d 0 0 1 1

1 1 1 1

a b c =

0 0 0

rg 2 incidenti.



a b c

1 1 1

Un piano e = = −

rg v v 2 rg v v rg P P v v

rette incidenti o sghembe, contenute solo se ;



0 1 0 1 0 1 0 1

due rette = + + −

= P P tv s ( P P )

rg v v 1 rette parallele basta piano di equazione

  0 0 1 0

0 1 ( )

RA O , A , A , A

Un sistema di riferimento affine in consiste in una quaterna ordinata di

3

A

1 2 3

∈ 3

O , A , A , A A

punti non complanari . Il punto O è l’origine del sistema; i tre vettori

1 2 3 3

V

formano una base di . P ha coordinate affini se e solo se:

OA , OA , OA O

1 2 3

= + + .

OP x OA x OA x OA

1 1 2 2 3 3 ′

= +

x B

x c

= , B matrice camb. di base .

* * *

OA OA OA OA OA OA B 

1 2 3 1 2 3

R e R’, sistemi di riferimento affine, hanno la stessa orientazione se la matrice B del cambiamento

> <

di coordinate affini da R a R’ ha ; R e R’ hanno orientazione opposta se .

det 0 det 0

8. P RODOTTI SCALARI

4 ⟨⋅ ⋅ ⟩ × →

n n

, : R R R

Il prodotto scalare canonico su è la funzione data da:

n

R

⟨ ⟩ = + + = ⋅

T

v , w v w ... v w w v

1 1 n n ( ) 1 2

+

⋅ → = ⟨ ⟩ = + +

n 2 2

La norma (del prod. scalare) è la funzione , data da: .

: R R v v , v v ... v

1 n

Proprietà prodotto scalare: lineare rispetto alla prima variabile, lineare rispetto alla seconda,

simmetrico, non degenere, definito positivo. Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica.

⟨⋅,

⋅⟩ ⟨ ⟩ =

∈ ∈

v , w 0

Il nucleo di è l’insieme dei vettori tali che per ogni .

⊥ v V w V

V { }

⊥ =

Un prodotto scalare su V si dice non degenere se ; degenere altrimenti.

V O

Prodotto scalare è ⟨ ⟩

− ∀ ≠

>

v , w 0 <

definito positivo se (negativo se ) in entrambi i casi è non

v O 0 

degenere; ⟨ ⟩ =

⟨ ⟩ ≥

− ∀ v v , v 0

v , w 0

è semidefinito positivo se ed esiste con (negativo se

v 0 0 0

≤ 0 ) in entrambi i casi è degenere.



− altrimenti è indefinito. ⟨⋅,

⋅⟩

Uno spazio vettoriale metrico è uno spazio vettoriale V su R provvisto di un prodotto scalare

definito positivo. La norma in esso è definita .

= ⟨ ⟩

v v , v

⟨⋅ ⋅ ⟩ × →

n n

, : C C C

Il prodotto Hermitiano canonico su è la funzione data da

n

C

T . Proprietà: lineare rispetto prima variabile, additivo e

⟨ ⟩ = + + = ⋅

v , w v w ... v w w v

1 1 n n

antiomogeneo rispetto seconda, non degenere, definito positivo e .

⟨ ⟩ =

⟨ ⟩

w

, v v , w

⟨ ⟩

v , w

[ ] =

cos vw

π

Angolo fra v e w numero reale tale che: .

∈

vw 0

, v w

( ) = −

Distanza tra due punti: .

d v , w w v ⟨ ⟩ =

v , w 0

Due vettori v e w si dicono ortogonali se . { }

v ,..., v

Una base ortogonale di uno spazio vett. metrico V è una base di V composta da vettori 1 n

a due a due ortogonali. Una base ortonormale di V è una base ortogonale composta da vettori di

lunghezza unitaria. → = ⟨ ⟩ + + ⟨ ⟩

P : V V P v , u u ... v , u u

L’applicazione lineare , tale che , si dice proiezione

U U 1 1 r r

u ,..., u

ortogonale di V su U ( base di U).

1 r ⊆ ⊥

L’ortogonale di un sottoinsieme è l’insieme di tutti gli elementi di V ortogonali a S.

S V S

⟨⋅,

⋅⟩ ( ) ( )

( ) ′ ′

= =

∈ x F v y F w

S M R matrice associata a rispetto a B’ (con e );

n, n B B

⟨ ⟩ = T ; C matrice di cambiamento di base da B e B’ (a cui associate S e S’), si ha

v , w y Sx

′ = .

T

S C SC ( ) ( )

′ ∈ ∈

A M R C GL R

Due matrici A, sono congruenti se esiste una matrice invertibile tale che

n, n n

′ = . La classe di congruenza C della matrice A è l’insieme delle matrici congruenti ad A.

T

A C AC A

( )

∈

A M R = = −

Una matrice quadrata si dice simmetrica se ; antisimmetrica se .

T T

A A A A

n, n 5

( ) ( )

⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

T v , v v , T v

T endomorfismo: T è simmetrico se .

1 2 1 2 ⟨⋅,

⋅⟩

T endomorfismo (con A associata a T rispetto B, S associata rispetto B), si ha

( ) ( )

⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = ⇔ =

T T T

e T è simmetrico .

T

T v , w y SAx v , T w y A Sx SA A S



T endomorfismo di sp. vett. metrico V. T è un’isometria o endomorfismo ortogonale se

( ) ( )

⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ ∈

T v , T v v , v v , v V

per ogni .

1 2 1 2 1 2 ( )

∈ =

T

A M R

− − −

A A I =

⇔ =

T è ortogonale . è ortogonale se

1 1 T T 1



A S A S A A

n, n n

9. G EOMETRIA EUCLIDEA ( )

RC O , A , A , A ε