Riassunto completo di Fisica 1

Prodotto scalare

Il prodotto scalare e quello vettoriale costituiscono due modi particolarmente utili per operare con i vettori. Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b, la grandezza scalare che si ottiene moltiplicando fra loro i moduli (a*b = a*b cosO) dei due vettori e il coseno dell'angolo compreso. Il risultato del prodotto scalare dei due vettori è dunque una grandezza scalare, cioè un numero reale accompagnato dall'appropriata unità di misura.

Sarà un numero positivo se l'angolo O è minore di 90° e negativo se maggiore, nullo quando O = 90° (vettori sono ortogonali). Valgono le seguenti proprietà:

• Commutativo: a*b = b*a dato che a*b cosO = a*b cos(-O)
• Proprietà distributiva rispetto alla somma: a*(b+c) = a*b + a*c
• a*a = a² anche a*(λb) = (aλ)*b; gli scalari possono essere spostati

L'interpretazione geometrica del prodotto scalare sta nella proiezione ortogonale: si potrebbe infatti enunciare come "il prodotto del modulo di uno dei due vettori per la proiezione ortogonale dell'altro sul primo". Quindi, quando utilizziamo le componenti, possiamo vedere che:

a · b = axbx + ayby + cxcy

Cioè, la componente di un vettore su un asse cartesiano si può esprimere come prodotto scalare del vettore per il versore dell'asse. "Il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle componenti omologhe dei singoli vettori".

Un esempio di grandezza fisica è il lavoro definibile come prodotto scalare della forza per lo spostamento del suo punto di applicazione. Si osservi che lo spostamento delta r è quello del punto materiale su cui agisce la forza. Per le proprietà del prodotto scalare il lavoro può essere positivo (lavoro motore), negativo (resistente) o nullo a seconda del valore dell'angolo formato dai vettori f e delta r.

Prodotto vettoriale

Il prodotto scalare e quello vettoriale costituiscono due modi particolarmente utili per operare con i vettori. Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b che formano un angolo O il vettore c = a x b che ha le seguenti caratteristiche: direzione perpendicolare al piano formato da a e b, il verso è destrorso rispetto alla rotazione a - b (regola della mano destra) e il modulo è c = ab sin O, e corrisponde all'area del parallelogramma formato da a e b. In base alla definizione, si hanno le seguenti proprietà:

• Proprietà anticommutativa: a x b = - (b x a)
• Proprietà distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c
• a x (λb) = λ(a x b)
• Non vale la proprietà associativa; in caso di prodotto iterato, l'ordine è importante: a x (b x c) ≠ (a x b) x c

Otteniamo ora l'espressione del prodotto vettoriale per mezzo delle componenti cartesiane. Dati due vettori a e b, espressi come:

c = a x b = (aybz - azby)i + (azbx - axbz)j + (axby - aybx)k

Scrivere per mezzo del determinante di una matrice.

Tre principi di Newton

Aristotele riteneva che il moto fosse causato dalla forza e che lo stato "naturale" dei corpi fosse la quiete. Newton invece afferma che sono le forze a causare ogni cambiamento di velocità di un corpo. Così la luna gira intorno alla Terra (ovvero la sua velocità cambia continuamente direzione) a causa della forza gravitazionale esercitata dalla Terra.

"Se un corpo non interagisce con altri corpi, si può trovare un sistema di riferimento nel quale la sua accelerazione è nulla." (Sdr inerziale). È detta Legge di Inerzia (tendenza di ogni corpo a NON modificare il moto). In base alla prima legge, osservando da un sdr inerziale un corpo che sta accelerando, concludiamo che su di esso sta agendo una forza.

Quindi in base alla prima legge definiamo: La forza è ciò che provoca la variazione di moto di un corpo. Una classe di sistemi di riferimento inerziali è costituita da tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Le leggi di Newton sono formulate considerando sdr inerziali, che quindi sono i sdr privilegiati per lo studio del moto dei corpi; è possibile studiare la dinamica di un sistema anche in un sistema di riferimento non inerziale, anzi a volte può essere conveniente.

La massa è la proprietà di un corpo che rappresenta quanta resistenza esso oppone ai cambiamenti di velocità (proprietà intrinseca; proprietà additiva). F = ma. F è la somma di tutte le forze agenti sul corpo ed una forza detta forza risultante. Componenti cartesiane: Fx = max; Fy = may; Fz = maz. Un Newton (N) è uguale a 1 kg m/s². Le forze sono interazioni tra due corpi. Se due corpi interagiscono tra loro, la forza F₁₂ esercitata dal corpo 1 sul corpo 2 è uguale in intensità e direzione ed opposta in verso alla forza F₂₁ esercitata dal corpo 2 sul corpo 1: legge di azione e reazione.

Teorema dell'energia cinetica

Questo teorema connette lavoro con l'energia cinetica o energia di moto. L'energia di un sistema è una misura della sua capacità di compiere lavoro. Consideriamo per semplicità un caso unidimensionale e in particolare di un corpo puntiforme che si muove lungo una linea retta che scegliamo come asse x sotto l'azione di una forza risultante costante. Per la seconda legge di Newton, la componente dell'accelerazione è anche essa costante.

Mentre il corpo si sposta da xi a xf la sua velocità varia da vi a vf. Partendo dalla definizione di lavoro, costruiamo con alcuni passaggi la relazione quantitativa fra lavoro totale, che è uguale a quello compiuto dalla risultante di tutte le forze agenti sul corpo, e la corrispondente variazione di energia cinetica del corpo:

∫ F dx = ∫ ma dx = m ∫ dv dv = m ∫ v dv = ½ mvf² - ½ mvi²

Definiamo una nuova quantità: l'energia cinetica Kf - Ki, quindi la relazione appena ricavata può essere scritta come L = ΔK. Quando si compie lavoro su un sistema ottenendo esclusivamente una variazione della sua velocità, il lavoro complessivo è uguale alla variazione della sua energia cinetica. K aumenta se L > 0, K diminuisce se L < 0. Il teorema consente di considerare solo le velocità iniziali e finali; molto utile per capire come si muoverà un corpo dopo che è stato fatto un certo lavoro, potendo ignorare ciò che succede durante il moto intermedio.

Forze conservative e non conservative

Pensiamo alla forza peso. Consideriamo un corpo che possa passare da una quota h a una quota 0 in due modi: verticalmente (a sinistra in figura) o scivolando (senza attrito) lungo un piano inclinato di un angolo 0 rispetto all'orizzontale. L_vert = mgh cos(O) = mgh, L_obliq = mg sin h0 cos(π/2 - 0) = mgh quindi il lavoro fatto dalla forza peso è lo stesso per i due percorsi. Contano solo l'altezza iniziale e l'altezza finale.

Pensiamo ora a una forza di tipo completamente diverso, la forza di attrito dinamico. Ho un punto materiale poggiato sul piano che si sposta dalla posizione A alla posizione B. La forza di attrito è sempre presente.