Riassunto analisi e gestione dei rischi prof. Leone Paola

i A A B B A B A B A B

La presenza di una correlazione positiva aumenta la variabilità della perdita in quanto vi è una tendenza ad

uno spostamento congiunto sull’esito delle due esposizioni. Al contrario, una correlazione negativa riduce la

variabilità del portafoglio poiché la tendenza al movimento inverso tra le due esposizioni compensa le

singole variabilità.

La contribuzione marginale di un singolo prestito

Ai fini della politica dei prestiti in una logica di portafoglio è interessante stimare il contributo marginale del

singolo prestito sul rischio complessivo di portafoglio (ULMCi), per verificarne vuoi l’impatto sulla

redditività attesa, vuoi l’effetto sul livello di diversificazione e, quindi, sul grado di concentrazione.

Definiamo contribuzione di rischio marginale come l’incremento marginale di rischio della singola

esposizione sul rischio complessivo del portafoglio. Analiticamente si deve calcolare la derivata parziale

della perdita attesa del portafoglio rispetto alla perdita attesa del prestito i-esimo.

( )

n n n

∑ ∑ ∑

∂ UL UL ρ UL ρ

/2

1

( ) ( )

2 2 j k jk

−1

∂ UL ∂ UL j ij

( )

( )

)

∂(UL 1 1 j=1 k=1

( )

P P

P 2 j=1

2

= = = = =

ULMC UL

i P

∂UL ∂UL 2 ∂ UL 2 UL ∂UL UL

i i i P i P

Dalla formula si evince come il contributo marginale di ciascun prestito alla volatilità del portafoglio

dipenda dall’incidenza percentuale della perdita attesa dei singoli prestiti caratterizzanti il portafoglio.

Volendo esprimere la volatilità del portafoglio in termini di volatilità del prestito i-esimo, possiamo anche

riscrivere la formula del contributo marginale come segue:

n

∑ UL ρ n

j ij ∑

j=1

= =

∂ UL ∂ UL ULMC ∂UL

P I i i

∂ UL i i=1

Se l’incidenza percentuale di ciascun prestito nel portafoglio rimane costante risulta costante anche il

contributo marginale della volatilità di ciascun prestito sulla volatilità complessiva del portafoglio Posto che

ULi/ULP sia costante, si ha che:

n

∑

= ∗UL

UL ULMC

P i i

i=1

La relazione esprime come la volatilità del portafoglio sia pari al prodotto della sommatoria dei contributi

marginali di ciascun componente del portafoglio per la UL di ogni prestito. Possiamo pertanto stimare il

contributo totale della volatilità di ciascun prestito (ULCi) come:

n

∑ UL ρ

j ij

j=1

=ULMC ∗UL =

ULC UL

i i i i

UL P 92

da cui si desume la proprietà che la sommatoria degli ULCi equivale alla volatilità del portafoglio, essendo:

n n n

∑ ∑ ∑

UL ρ UL UL ρ 2

n n j ij i j ij UL

∑ ∑ j=1 i=1 j=1 P

= = =UL

ULC UL UL=

i i P

∂ UL ∂ UL UL

i=1 i=1 P P P

Ne consegue che la contribuzione marginale è una misura di rischio non diversificabile della singola

posizione sull’intero portafoglio.

Contribuzione marginale e correlazione di default

Assumendo che il portafoglio sia caratterizzato da n prestiti che approssimativamente presentano le stesse

=ρ=costante

ρ ≠

caratteristiche e sono di importo uguale (1/n), si ha che (per tutti i J).

ij

√ √

n n n n

∑ ∑ ∑ ∑

= =

UL cov var cov

P i , j i , j

i=1 j=1 i=1 j , i≠ j

da cui si dovrebbe ulteriormente derivare che:

√ √ √

n n n (n−1)

n √

∑ ∑ ∑ ∑

2 2 2 2 2

( )

= +2 = +2 = +2 = [n+ ]

UL UL cov UL ρ UL UL n UL ρ UL ρn n−1 UL

P i i , j i i j i i i

2

i=1 i , j< j i=1 i ,i< j

si ha, pertanto, che:

√ 2

=UL −n)

UL n+ ρ( n

P i

Assumendo quindi l’ipotesi di crediti di analogo importo possiamo riscrivere la contribuzione marginale del

prestito i-esimo (ULCi) come: √ ( )

UL 1 1 1

√

P 2

= = −n)=UL +

ULC UL n+ ρ(n ρ 1−

i i i

n n n n

che per valore di n elevati può essere ridotta:

√

=UL

ULC ρ

i i

ρ

Dove esprime la media ponderata delle correlazioni tra i prestiti.

Correlazioni e concentrazione del rischio e diversificazione attraverso la stima dell’asset correlation

La correlazione, la concentrazione del rischio e la diversificazione sono aspetti diversi di un unico problema.

Una delle metodologie al riguardo utilizzate per la stima della correlazione si basa sul modello di option

pricing, secondo il quale la probabilità congiunta di insolvenza di due imprese viene determinata in funzione

del grado di correlazione fra le variazioni del valore di mercato delle loro attività, che può determinare

l’insolvenza di entrambe. Si può pertanto raffigurare la distribuzione di probabilità di tutti i possibili valori

futuri, ad esempio, di due imprese e stimarne la probabilità di default in ipotesi di scenari più sfavorevoli in

cui il valore dell’attivo sia inferiore a quello del debito. Si procede, quindi, alla valutazione congiunta delle

probabilità di default delle due imprese, appartenenti allo stesso “cluster” geosettoriale, con le stesse

modalità analizzate nel paragrafo precedente. L’ipotesi di correlazione e quindi il calcolo delle probabilità,

associate ai relativi eventi, richiede di analizzare i fattori dai quali dipendono le variazioni degli attivi delle

due imprese. Supponendo di individuare due componenti, una macroeconomica e una idiosincratica, le

variazioni di valore risultano essere pari alla media ponderata delle variazioni dei due fattori.

Occorre verificare per un’attenta politica della diversificazione del portafoglio se, e in che misura, le

imprese appartenenti allo stesso cluster siano correlate tra insolvenze all’interno dello stesso segmento e se,

e in che misura, imprese appartenenti a cluster diversi siano tra loro correlate in relazione a singoli fattori

macroeconomici. Nel primo caso occorre accertare la presenza o meno di sensibili escursioni del tasso di

insolvenza medio; analiticamente, indicando con σ2 la volatilità delle serie storiche dei tassi di decadimento,

il grado di correlazione medio tra i default dello stesso cluster è dato:

2

σ

ρ= 2

μ−μ

dove μ indica la probabilità di default di lungo periodo della variabile binaria x che descrive il default dell’i-

N

1 ∑

μ= x

esimo prenditore del cluster, ossia: i

n i=1

Al fine di stimare la correlazione media tra segmenti diversi collocati tra aree geografiche o settori distinti, si

deve stimare il coefficiente di correlazione media di due imprese appartenenti a cluster x e y: 93

( )

cov μ , μ

x y

=

ρ xy 2 2

( ) ( )

− −

μ μ́ μ μ́

x x y y

dove μx e μy sono le probabilità di insolvenza di lungo periodo dei segmenti x e y.

La distribuzione delle perdite ed il capitale economico

Nella misurazione del rischio di un portafoglio crediti è di fondamentale importanza la valutazione

congiunta del valore atteso delle perdite e della loro variabilità. La prima misura rappresenta un indicatore

dell’ordine di grandezza della perdita. La seconda, invece, fornisce un’indicazione sulla significatività del

valore atteso come indice di sintesi rappresentativo di una distribuzione. In altre parole, calcolando la

variabilità delle perdite intorno al valore atteso, si cerca di determinare una misura dello stato di incertezza

sull’esito finale del portafoglio.

la perdita attesa non rappresenta la vera incognita di un portafoglio di esposizioni. Qualora un’istituzione

finanziaria decida di concedere un prestito ad una controparte, con la consapevolezza che questa potrà subire

un deterioramento della propria condizione di solvibilità, è verosimile ritenere che tale ipotesi venga

congruamente presa in considerazione con la scelta di un appropriato tasso di interesse sul prestito. Il rischio

di credito, quindi, è più propriamente rappresentato dalla perdita inattesa, ovvero dalla variabilità dell’evento

dannoso intorno al suo valore atteso.

La distribuzione delle perdite di un portafoglio crediti (dal tratto più marcato) viene confrontata con una

distribuzione simmetrica avente lo stesso valore atteso e scarto quadratico medio. La distribuzione delle

perdite è generalmente caratterizzata da una notevole asimmetria positiva, cioè da una coda verso destra

(long tail). Ciò è dovuto alle specifiche caratteristiche del rischio di credito. Da un lato, infatti, l’evento di

default tende a verificarsi con probabilità piuttosto ridotta, ma dando origine a perdite consistenti. Dall’altro,

l’evento di non-default, che si verifica con un’alta probabilità, dà luogo ad una perdita nulla.

Lo scarto quadratico medio viene definito come una misura simmetrica della variabilità, in quanto non

20

distingue fra scarti positivi e negativi rispetto al valore atteso . Per distribuzioni simmetriche, rispetto alle

quali la probabilità di avere scarti positivi è la stessa degli scarti negativi, lo scarto quadratico medio

fornisce un’indicazione di quanto più o meno strette siano le code della distribuzione intorno al valore

atteso.

20 Lo scarto quadratico medio non è altro che la radice quadrata della varianza. Poiché nella varianza viene computato il quadrato

degli scarti, in modo da evitare che scarti positivi vengano compensati da scarti negativi, se ne calcola la radice quadrata per

esprimere la variabilità nella stessa unità di misura del fenomeno. 94

Viceversa, per distribuzioni fortemente asimmetriche, quale la distribuzione delle perdite di portafoglio, la

variabilità è principalmente imputabile agli scarti positivi, ovvero alla coda lunga. Se ne deduce, allora, che

per una corretta misurazione dello stato di incertezza che caratterizza un portafoglio è necessario valutare “il

peso” della coda. Per superare tale problema si ricorre alla scelta di opportuni intervalli di confidenza.

Nota la distribuzione delle perdite ed assegnata una probabilità arbitraria P%, si può calcolare il percentile

LP% che caratterizza l’intervallo di confidenza [0,LP%] rispetto al quale è possibile a priori affermare che la

perdita effettiva tende a collocarsi con probabilità P%. Nella figura 7.14 viene tracciata la distribuzione delle

perdite. All’area al di sotto dell’intera curva, tratteggiata diagonalmente, viene assegnato il valore di 100 (o,

più formalmente, di 1). L’area omb