Riassunto Analisi 2 - Quarta parte

Capitolo DIFFERENZIALI

EQUAZIONI

7 -

differenziale

F- indipendenti

incognita le

la

coinvolge le stessa

derivate variabili

che f.

f.

di e

leq

q sue

una

= . ,

. differenziali alle derivate parziali

incognita f. di variabili

se è

la equazioni 1

più

f. una differenziali

variabile

sola

incognita f. ordinarie

di

Se è

la equazioni

f. una 2

una

Esempi aie sin incognita

1 f

la (

t

If )

dove è × y

u

+

= , ,

42

0×2 a incognita

la ( )

dove

2 f

&

1 è

" ( )

-144 ' y x

4 + e ×

xp -

=

Data chiama

+ < differenziale

can di

ordinaria

F aperto

☒ )

( EDO

equazione

-1

d- insieme si

una → con

: , ( ) "

' 0

0 ^ )

(

( ) ( n

ordine ) '

seguente F

la ) ) (

In 4

' ( (

X 4,4 Y

4

F ' ) )

4 y - )

-1 n

4 X

equazione X

× ×

×

n o

: =

= ,

, . .

, , .

. ,

,

. , ,

,

.

SOLUZIONE DO

DELL' F-

DEFINIZIONE t.c.lt abbia

EI

intervallo ☒

I derivabile

definita I

) O volte

Yin f.

) ✗

(

dell' EDO ) si

si ' ' Ylx in

)

"

F M

"

4

dice in

4,4 un

soluzione c

una :

× =

.

, ,

, , ,

,

. ,

.

( )

" a

(

'

{ 4 ) ( )

)

' ( ) E

X

n n

Y

4 (

( ) - X

× 4 ×

× , . ,

, _

,

.

.

, " "

'

' )

)

(

F (

n

) O

)

( 4

4 -

' ( ( Y

✗ X

)

X

y × ×

, =

.

,

, .

. ,

,

ER della

soluzioni F-DO

tutte )

f.

le del (

tipo Y' (

KY

1pct ( t

) t

)

Kt )

C sono

cexp =

= -

,

tale detta anche soluzione integrale generale

soluzione chiama

è generale ( )

f. ) EDO

integrale di generale

In

( una si

o o

. fissati

f

F-DO di dipendente parametri arbitrari

valori

reali

(

di ordine dei

da T

)

Cn

M ce

Cf y ✗ ca Cn

una Cz

una ( n

n

= c.

e

, , ,

, .

. .

.

. , , ,

,

. .

,

. assegnata

soluzione

precedente ordine

F- DO

della

fornisce

l'

parametri di n

Cn

cz

C1 espressione una .

.

, .

. . ,

,

SOLUZIONI soluzioni ottenute

SINGOLARI che generale mediante alcuna

soluzione

da

essere

possono

non una

= scelta costanti

delle

RISOLVERE significa soluzione generale differenziale

dell'

EDO trovare

)

INTEGRARE

( un' equazione

o una .

Vi esistenza differenziali

soluzioni reali

(funzioni 2+1=0

(y

1) 1)

di lol

di

di esempio

)

cari

essere non

possono :

. costanti

2) formata sola

la dipende

soluzione

Casi generale che dalle

funzione

da

cui è Cn

Cz

in ce

una non .

, ,

, .

.

f.

la

soluzione

che nulla

ha

2+42=0

( )

ESEMPIO come

'

4

:

soluzione implicita

La

3) )

forma

presentare (

generale EDO 0

✗ Cn

di Ca

ci

4

X

può

si

' :

in

un ; =

,

, , . .

.

,

Un scritta

dice

diff )

f

IN

' )

yen

NORMALE Yin )

ordine FORMA

di è ^

così

lol (

si '

4,4

se -

m ×

: = .

,

. . ,

. , .

forma '

consideriamo ordine

del

F-DO normale continua

f aperto

I f.

f

un' car A

( ) d-

Y

in y in

A- →

× con

= :

,

questa

Vogliamo fissato

soluzioni diff vogliamo

vedere t ( vedere

punto

7 ( )

Yo )

di

ycx a-

di

)

) 0,40

(

Xo

Y ✗

se eq c. com ;

=

. . . { )

t'

) il

PROBLEMA 4

di '

seguente

sotto CAUCHY ✗

(

7 del problema

soluzioni

ipotesi

quali

quindi =

: ) 40

(

Y Xo =

quali

sotto soluzione

tale

ipotesi è unica

e derivabile

intorno del punto

definita

Cauchy I t.c.lt/-cI ha

I

soluzione Xo

del )

4=4

problema (

di X in

in un si

: :

, ,

Xo

f- ) 40

( Y (

)

'

) 4

-1

( ( 4 )

(

)

4

× E e

×

× ✗ =

=

, ,

TEOREMA ESISTENZA UNICITÀ

di e rettangolo

{ Rec

chiuso

41=5-1×14

Sia Cauchy

dato f

) continua

chi

problema

il (

A f 7

Se -1

di aperto

a 1 yo ) -1

✗ un

con €

e

in

→

: o

, . ,

40

(

Y Xo

) = Cauchy

t.ci/f(X,4D-f(X,Yz)f-LIYi-YzlV- il

(

7 Lipschitz di

] prob

[40-13,40+13] ( )

condizione allora

)

IXO R

R ) di

L 0

a

✗ ya

(

cui

+ ×

41

-2 e

> ×

per

✗

o

= .

, , ,

,

,

ha soluzione

sola

ed

una una

DIMOSTRAZIONE ha che

Cauchy continua

Problema f

del essendo

di ipotesi

Se 7 allora f

soluzione ycx

) ( una

y) si

una per ×

: , , , ,

,

"

:[

identità

fra l'

' =/

integrando

C ( Xo

Dunque I f

) ottiene ds

4 ) f

I '

4 A) )

✗ ( ds

(

E ( ) '

e ( s

4 ( )

y

e si

× s y )

x s

=

. , ,

, ✗

o

#

formula fondamentale

Applicando del

la otteniamo

integrale

calcolo ds

( Y ( f

y ) )

Xo ( )

× ( )

y s

s

: =

-

, ,

.

EQUAZIONE VOLTERRA

INTEGRALE Cauchy questa

di soddisfa che

problema

soluzione del di è

ycx

ogni equazione

)

: :

✗

/ f ds

4 ( 40 (

) (

X + )

)

4

s s

= ,

✗

o

Viceversa innanzitutto

ha

precedente 40

allora

dell' integrale

continua (

soluzione

( Xo

)

è y

) si

equazione

y

se × una : =

,

, entrambi continuità

Derivando ottiene

integrale la

dell' '

membri (

(

di ( f xD

4 ) 4

equazione )

i si X ×

y (

:

per x =

, ,

, Quindi continue del

tutte soluzioni

sole

dell'

soluzione Cauchy le

derivabile integrale

Dunque del le

f

( problema soluzioni

ed

Y ) di

X è è sono

eq e

una .

.

Cauchy

problema di

CONDIZIONE LIPSCHITZ ha

verificata

questa

di continuo

la derivata fy

condizione g-

è se ( il)

)

( y ✗

×

: ,

rettangolo

assoluto

In tal nel

il teorema tale

il R essendo

/

Weierstrass ha

la lfy

di

-2 caso ( y) mal

per

in ×

. , , ,

chiuso il

Quindi f

limitato teorema f

alla considerata della sola

di Y

applicato (

Lagrange

insieme )

y come

per

e ×

. , ,

,

# *

ha /

/

/

/ #

(

LI (42,41) {

R If / -41

-41

142

Ye 42 <

f ( 4

( 41,42) }

( 42) dove

) fy ) lfyk.nl

%) *

%) (

( ≤

si c-

× 4 €12

€

E

× e ix. 4)

y

× × oppure

× Max

: =

=

-

, , , , ,

,

,

TEOREMA Lipschitz verificata continua

PEANO d-

la

la condizione fa

di è ) è

di e

se in

: non y ,

,

tale

ha

problema soluzione

almeno

Cauchy

il soluzione

allora di essere

può unica

non

ma

una ,

Tipi

7. 2 DIFFERENZIALI

EQUAZIONE PRIMO ORDINE

ORDINARIE

DI DEL

F- 1°

DO LINEARE ordine

DEL

- continue intervallo Ic ☒

f

)

' )

qlx

(

4 pcx in

PKIY )

× un

+ q con e =

= Moltiplichiamo entrambi

della termini

Sia f.pk dell'

P primitiva ottiene

diff

( (

lxp

)

) )

i

X P (

eq per ×

una ) si :

. .

. , primitiva f

della

' )

4 (

( (

) ( )

tp

PK PG

)

( )

PK

4 (

(

)

) (

e )

)

e

xp e xp

) P ) e

× ( X

)

× q

xp × xp ×

q :

= È =/

all'

equivalente uguaglianza

questa

Essendo relazione dxtc

otteniamo (

P (

' ( da 4

) ) )

è )

(

( (y ( ( PK)

) P

) )

) )

( ) X

Pcx) qcx

PN lxp (

X )

) cui

( )

exp

e

x

=p X

q e

xp

× xp :

: x

=

,

Moltiplicando membri

entrambi c)

(

otteniamo di

C- fqcx (

i ) 4K )

P

lxp PK)

( C-

)

) )

Pk) e

X )

exp xp +

per : =

,

ESEMPIO tutte dell' I°

fornisce del

diff lineare

le

sole soluzioni ordine

: 41 ✗

-2 eq

e

✗ = . . (

Applicando formula c)

C) ( "

ha la £

svolgimento P lit

C- )

2 dxtc

)

(

( 2) ×

essendo )

( ) (

ZX ✗ X2 exp

(

4 x2

X lxp

X ce

) -

ti ( -

✗ ✗ )

exp +

X xp

p x2 + =

=

: = =

= -

- -

, . 2

EQUAZIONI SEPARABILI

VARIABILI

DIFFERENZIABILI A

- continue

f- definita R

intervallo

f f. di

)

( (

( )

)

(y) Y

' g

Y i n

×

×

g e

con ciascuna un

=

= .

, È

ha

primitiva data

Dall' regola )

'

f f KGK

diff F

f. composta

f- la

Sia '

di derivazione (y (

(

( -1-(41×1)

y) di Y' ) (

)

(y ) )

)

di ( 4

(

mq y

una )

si

per ✗

una ×

×

: × =

=

.

. . ,

,

Sgcx

ottiene primitiva

G F

ok Sia GCX

di

F ) ( ) )

) (4)

si ( X gcx 1-

) c.

+ C

ycx ) una

: = =

ESEMPIO 2

424 '

: ✗

= TÈ ¥

G

Fly (

Svolgimento )

f 2 )

)

42 gcx X

(4) ✗ e

e

: =

=

= = È

4£ # ha

funzione

forma

Soluzione (

di 4

ricavando X )

implicita X

y

te si

i n

in : =

= = , ulteriormente

Cauchy che

soluzione

SOLUZIONE I del

☒

MASSIMALE problema di può

4 essere

è →

una non

:

:

estesa intervallo

ad alcun I

j > OMOGENEO

MEMBRO Manfredi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI )

SECONDO

A (

• di

o

(

(

¥ ¥

¥ separabili

diff

)

continua R

intervallo

' ) f.

4 di avremmo

sennò var

un' a

leq

≠

e g

in supponiamo

g g un

con

= = .

.

.

Poniamo ottiene K)

(

' )

(

4 '

così 2-

)

( Z

)

Z X X +

✗

si

× =

= nell' '

data Z

differenziale otteniamo

tali

Sostituendo ¥

valori ( )

' 2-

XZ g.

1- Z

leq ovvero

: = =

,

. z

g

( )

Z -

4

ESEMPIO ✗

'

4

: = 42

2

✗ - ¥

data scriverla '

Svolgimento l' 4

come

posso

eq

: = =

. È

1- data XZZ ed

nell' diff avariato

è

Sostituendo Iza

Poniamo ' '

' Z

( 4 ' 2-

XZK XZ

xz leq

ovvero

+

) 4 sep

2- +

Z eq

✗

) + una

× > = =

=

=

= . . .

.

.

zza

2- ,

✗

✗

Iz

¥ Ed Iza

DX

f-

¥ 1- ln

ln /

1-2-2

' IZI It

2- '

Z ✗

-2 ci

> - -

= = = =

= , -23 3

2-

Ponendo ¥

( -2×1

CI

-2¥

lnc È

lucci

ln ln 1)

ottiene da

)

(

IZI

ci )

lxp

cioè

CHI

si cui

✗

2-

: =

=

- =

= -

,

Tenendo iniziale ¥

della

conto (

sostituzione ) CHI

xp

e

> =

= - ,

Le soluzioni data

diff

singolari dell'

f 0

0 0 41×1=0

4K ) × eq

<

> sono

✗

: = ,

, .

, .

EQUAZIONI DIFFERENZIALI f

≠ tipo

del (2×+134)

'

4 =

f- intervallo Per risolvere

continua

f. ' (

2×+134 ( 2=134

Z (

( )

) ) )

Z

poniamo X

è '

X

un ×

in X

una = -

:

.

Sostituendolo diff

nell' ottiene che

EDO separabili

data variabili

' diff

2- =p è

g-

un' (E) a

lq +

si un' eq

: a

. .

. , .

ÌITY

41=2×+4

ESEMPIO +

: te '

Svolgimento data

Sostituendo nell' Z +2=1

'

'

( ( Zt

) (

) ' 2-

( cui ) leq

-2

2×+4 21-4 ) +2

da

2- X ovvero

X

poniamo X ×

:

: :

= = =

. tre

2-

/

ha dx

Poniamo 31-2 =/

dt

1 dt

| ≥

t dz

^ 37

=/

dz

ha d

si 2- da

ad da dx si ovvero

cui :

2- × cui = =

=

# ¥+2 t.tt

t } 2

≤ +

+ III

It-111

G- ln ( t ln

a)

t2 f- autan ✗ +c

+

+ - =

-

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ESATTE

• ' È

4 O

F aperto

G continue

( f parziali

derivate

☒

( a

4) F.

dove

)

t Y G insieme

i n

d- sono

×

× u n

con

→

: c

= _

,

, È

Ponendo 0

dy differenziale

forma lineare

G F

di

' (

(

4 4)

× 4) + × =

= , ,

FORMA DIFFERENZIALE definita

ESATTA È *

potenziale

7 (

f. t F

( 4)

U GK ( -2

-1 )

) Y

)

se una 4 e

: e

y ×

c

i n

× ×

= = , ,

.

, . ,

,

definite implicitamente

l'

Se sole

esatta dall'

tutte

soluzioni

le

diff arbitraria

costante

le f. U )

(

) y

ycx cui

) In

è

eq eq C

sono )

×

e e y

×

=

, ,

. .

. intervallo

ad ICR

✗ e un

ESEMPIO 0

(3×+42) '

(2×41-43) 4

+

: =

Svolgimento RE essendo

semplicemente 2¥

definite

F ( ) ed

G

2×4+43 3×+42

( ( ) connesso

) in ( )

y e

insieme 24

y y

× × ×

e

: =

= =

, ,

, ,

ha che data esatta

Gf l' diff è

Zy

( si uq

4)

× = .

.

, perché

U 3¥ anche

0¥ 2¥

U 4) ( deve

(

Determiniamo )

(

3×+42 42

da +43

Y

) c

×

cui (

+ 4)

4 zxy

4) ✗ essere

+

( =

una × ×

×

: =

=

, ,

,

, % 3¥

sol generale %

la

otteniamo è

2×4+43 da 42

dunque

43 ci

(

c'

c' (4)

2×4 ✗

+

+

ccy

) + C

cui ovvero )

+ y : =

= =

= .

FAITORE che

INTEGRANTE deve §

f. GGI parziali

(

è derivate

alle

diff

essere )

una y

(

: )

y eq

×

× = ,

, . .

( ha infinite soluzioni

3¥ FEE

F 0¥ Gf

§§-

§ GGG aja

G 0

0

( (

( ( )

( 4)

(

t

4) 4) ( 4)

)

ovvero +

il) 4)

4)

(

✗ ×

il

✗ ×

✗ ✗ ×

× =

=

i i -

,

, , -

,

Non soluzioni

tali

sempre si riesce scrivere

a .

ESEMPIO 0

( '

4 Y)

1 4

+ ✗ ✗

: - = esatta

svolgimento è

¥ tale diff

-1 dunque

jy 44=1+2×4

( )

(

=/ non

lq

×

y +

: ✗ - = . . 0¥

0¥ lo

Poniamo 42)

) (1+2×4) $

Dovrà

(

Gi 42

0 ( (

(

Fi 4)