Riassunto Analisi 2 - Quarta parte

Formattazione del testo

Xn nY4 (( ) - X× 4 ×× , . ,, _,.., " "'' ))(F (n) O)( 44 -' ( ( Y✗ X)Xy × ×, =.,, .. ,,ER dellasoluzioni F-DOtutte )f.le del (tipo Y' (KY1pct ( t) t)Kt )C sonocexp == -,tale detta anche soluzione integrale generalesoluzione chiamaè generale ( )f. ) EDOintegrale di generaleIn( una sio o. fissatifF-DO di dipendente parametri arbitrarivalorireali(di ordine deida T)CnM ceCf y ✗ ca Cnuna Czuna ( nn= c.e, , ,, .. ... , , ,,. .,. assegnatasoluzioneprecedente ordineF- DOdellaforniscel'parametri di nCnczC1 espressione una .., .. . ,,SOLUZIONI soluzioni ottenuteSINGOLARI che generale mediante alcunasoluzionedaesserepossononon una= scelta costantidelleRISOLVERE significa soluzione generale differenzialedell'EDO trovare)INTEGRARE( un' equazioneo una .Vi esistenza differenzialisoluzioni reali(funzioni 2+1=0(y1) 1)di loldidi esempio)cariessere nonpossono :. costanti2) formata solala dipendesoluzioneCasi generale

Che dalle funzioni da cui è CnCzin ceuna non ., ,, ..f.lasoluzione che nulla ha 2+42=0( )

ESEMPIO come '4:soluzione implicita La3) )forma presentare (generale EDO 0✗ Cndi Caci4Xpuò si' :in un ; =,, , . .., Un scritta dice diff )fIN' )yen NORMALE Yin )ordine FORMA di è ^così lol (si '4,4se -m ×: = .,. . ,. , . forma 'consideriamo ordine del F-DO normale continua f aperto I f.fun' car A( ) d-Yin y in A- →× con = :, questa Vogliamo fissato soluzioni diff vogliamo vedere t ( vedere punto7 ( )Yo )diycx a-di)) 0,40(XoY ✗se eq c. com ;=. . . { )t') il PROBLEMA 4di 'seguente sotto CAUCHY ✗(7 del problema soluzioni ipotesi qualiquindi =: ) 40(Y Xo =qualisotto soluzionetaleipotesi è unicae derivabileintorno del puntodefinita Cauchy I t.c.lt/-cI ha Isoluzione Xodel )4=4problema (di X inin un si: :, ,Xof- ) 40( Y ()') 4-1( ( 4 )()4× E e×× ✗ ==, ,TEOREMA ESISTENZA UNICITÀ di e rettangolo{

Recchiuso41=5-1×14Sia Cauchydato f) continuachiproblemail (A f 7Se -1di apertoa 1 yo ) -1✗ uncon €ein→: o, . ,40(Y Xo) = Cauchyt.ci/f(X,4D-f(X,Yz)f-LIYi-YzlV- il(7 Lipschitz di] prob[40-13,40+13] ( )condizione allora)IXO RR ) diL 0a✗ ya(cui+ ×41-2 e> ×per✗o= ., , ,,,ha soluzionesolaeduna unaDIMOSTRAZIONE ha cheCauchy continuaProblema fdel essendodi ipotesiSe 7 allora fsoluzione ycx) ( unay) siuna per ×: , , , ,,":[identitàfra l'' =/integrandoC ( XoDunque I f) ottiene ds4 ) fI '4 A) )✗ ( ds(E ( ) 'e ( s4 ( )ye si× s y )x s=. , ,, ✗o#formula fondamentaleApplicando della otteniamointegralecalcolo ds( Y ( fy ) )Xo ( )× ( )y ss: =-, ,.EQUAZIONE VOLTERRAINTEGRALE Cauchy questadi soddisfa cheproblemasoluzione del di èycxogni equazione): :✗/ f ds4 ( 40 () (X + ))4s s= ,✗oViceversa innanzituttohaprecedente 40alloradell' integralecontinua (soluzione( Xo)è y) siequazioneyse ×

una : =,, entrambi continuità

Derivando ottieneintegrale ladell' 'membri ((di ( f xD4 ) 4equazione )i si X ×y (:per x =, ,, Quindi continue deltutte soluzionisoledell'soluzione Cauchy lederivabile integraleDunque del lef( problema soluzioniedY ) diX è è sonoeq euna ..Cauchyproblema diCONDIZIONE LIPSCHITZ haverificataquestadi continuola derivata fycondizione g-è se ( il))( y ✗×: ,rettangoloassolutoIn tal nelil teorema taleil R essendo/Weierstrass hala lfydi-2 caso ( y) malperin ×. , , ,chiuso ilQuindi flimitato teorema falla considerata della soladi Yapplicato (Lagrangeinsieme )y comepere ×. , ,,# *ha //// #(LI (42,41) {R If / -41-41142Ye 42 <f ( 4( 41,42) }( 42) dove) fy ) lfyk.nl%) *%) (( ≤si c-× 4 €12€E× e ix. 4)y× × oppure× Max: ==-, , , , ,,,TEOREMA Lipschitz verificata continuaPEANO d-lala condizione fadi è ) èdi ese in: non y ,,talehaproblema

La soluzione almeno di Cauchy può essere unica, ma non sempre. Tipi di equazioni differenziali del primo ordine ordinarie di tipo lineare sono continue sull'intervallo I. Sia f(x) una primitiva di p(x) allora si ottiene l'equazione differenziale (lxp)' = q(x). Moltiplicando entrambi i membri per exp(x) si ottiene l'equazione equivalente exp(x)(lxp)' = exp(x)q(x). Essendo relazione di tipo cotteniamo (exp(x)p(x))' = exp(x)q(x) da cui si deduce che exp(x)p(x) = ∫exp(x)q(x)dx + C. Moltiplicando entrambi i membri per c(x) si ottiene l'equazione Cexp(x)p(x) = ∫c(x)exp(x)q(x)dx + K. L'esempio fornisce tutte le soluzioni dell'equazione differenziale lineare di primo ordine: f(x) = ∫c(x)exp(x)q(x)dx + K.X² exp(4x²) - t² exp(x²) + 2x = 0 EQUAZIONI SEPARABILI: - f(y) = g(x) * h(y) - f(y) = g(x) * h(y) * i(y) EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI: - continue - definite su un intervallo R - f(x) derivabile - f(x) composta da una funzione di derivazione Sia F(y) una primitiva di f(y) secondo la regola di derivazione: - F'(y) = f(y) Sia G(x) una primitiva di g(x): - G'(x) = g(x) Sia H(y) una primitiva di h(y): - H'(y) = h(y) Sia K(y) una primitiva di i(y): - K'(y) = i(y) ESEMPIO: - f(y) = 2y - 1 - (4y - 1)y - g(x) = 4x - h(y) = y - i(y) = 1 Svolgimento: - F(y) = 2y² - y³ + C - G(x) = 2x² + C - H(y) = y² + C - K(y) = y + C La soluzione del problema di Cauchy può essere una funzione implicita: - F(y) + G(x) + H(y) + K(y) = 0 SOLUZIONE I del problema di Cauchy: - F(y) + G(x) + H(y) + K(y) = 0Avremmo quindi varun' aleq≠e gin supponiamo g uncon= = ...Poniamo ottiene K)(' )(4 'così 2-)( Z)Z X X +✗si× == nell' 'data Zdifferenziale otteniamotaliSostituendo ¥valori ( )' 2-