Riassunto Analisi 2 - Terza parte

UNADI SCIcon :, ))(f) ( (( ) B du2 du4a4 ✗Z ) a2- () )( ((( )A ) × )(C (( )) () ) ) Z 2-) v)4 v( 4 ( 4X2- MNtu + MN nMN vv n n✗+ 'v vn✗ i n' ,, ,, , ,, , , ,, ,( ( )(2☐ ) MNa) 2MN MNf) f)10Ldy dz dxndydiBsa C( (( ) t)1- su-2 4 Z-2 14 2- 4 )×× ×= =,,,, , , che haforma superficie puntochese coincideesteso 'addiintegraleconsideriamo l' Schi S2- ogniuna incon mauna ,orientatoil allora %ha :S W§opposto Wnelnormaleversone miverso = -, ,FLUSSO orientatasuperficieVETTORIALECAMPODEL F regolaresuperficielaattraverso SS( Z ) ey× con,, ,{ ( )✗ n✗ " / Nds= integralel' {Sam Fs : -)Lui V4=4 ( )2- n v-2 = , superficieoggetto N vettorialeF.integrale scolare deldell'integrale prodottoDove l' dièin campo(N ( ) d)2 Z)normale YIZ ahF col a ×versare , ,' '( () ( )a)MNa MNa v (n ( ), Bycuriata )Cz)Ti ( ✓ 4,7N -2 ×mi y×)( vn -= ,= , ,, _ IlIl (Te )11-2 () MN A-vn )) ((, (< -2<

<ZKM ✗ 44Luiz al Z) ✗-2 a) ) ×a ×+ + -, , , ,,lui )( () ) vav v2 an n ,, , Bx Ay- derivateche le lesuperficiecheR2 parametriche abbiamoSupponiamo nelle della☒f D2- equazioni4 compaiono× →: a,, ,. Supponiamolimitate Dcontinue nell'seconde che finitoD di semplicil'a diinsieme Yz☐ Yi Yuin curvee ununione numerosia ,. , , ,... ,chiuse generalmente regolari Alle chiaresuperficiedisgiuntedue sulladue corrispondonoYe YuYacurve semplicie curvea, . , . . ,., ,generalmente regolari che81 formanoSu superficie82 dellail bordo SBSe .. ., ,., N alla superficieOrienti osservatoreSi ilSu posto normalele 82 tmodo comecurveamo percorraversarein u nc. ,,.. ,., ..queste positivoloronel sinistrasuperficie alla lorolasciando lacurve versoTale orientazionechiama indotta della bordoorientazione suldall' superficieorientazionesi proprioROTORE VETTORIALECAMPODELDEFINIZIONE (vettsi F)( (vettoreF Bz )seguentenot (ildel AzRotore ( (y Ay (chiama Bx) ) (() )Cx ))-2

-2( )y -24 Z4 4-2 4Z ×× 4 -2campo × 4 ××× ×: - -- ,,. , ,, ,,, , , ,, ,, ,,5 Eè ESEMPIO Fdet E)( ( rotf () 2 )yzz-2 ZZ4 -14- 42 2×-2×4a¥ × ✗a Z: +✗ ✗= =, ,, ,, ,az,a CA BTEOREMA STOCKESDi haCposto :SdzdyF } =/AlloraSiamo NdsA di) ) F.S B ( rot( )( (-2)mi 44 + -2 siZ in-2 X×4 4come× tsoprae ×= , ,. ,,, , ,, ,, BSorientatobordo precedenzail stabilitoBSdove è income avevamo .LEGGE AMPÈRE magnetico generalmentechiusala lungo sempliceDI circolazione di una curva ecampoun; ,attraversoall'intensità che lacorrente(regolare ) ugualeè di spinaSPIRA passaTEOREMA DIVERGENZA6. 5 DELLA ☒ FdefinitoSia C'vettoriale( aperto (1))F ()B (( ) A ) d-( )4 insiemeC4 4 in sia-2 -2 ECZZ campo× eu n× 4 × un×= ,,, , , ,, , , ,DIVERGENZA VETTORIALECAMPOdelDEFINIZIONE F) funzionesimboli Elavettoriale ( definita}del VF(chiama didiF adivergenza )si a4

→✓ cosìincampo z× c:,,F)( Ax) ( CZdiv ( ( () By )4 -2 )X + X -24 z 4 4× ×+ z=, , ,, ,,,, gradienteSe U È C'U Uyvettoriale (il il f. F (☒F( Uz(1) )potenziale (Uxa )è) cioè ((di )) )→ 4 Zcampo E -2×zy z zc 4una y: × ii.× ✗×=,, ,- , ,,, , , ,, ,2 ULAPLACIANO U indica(ha ZU U 2¥d'Uzz )diUyy (Uxxdivf conallora -2)tu 4 ediv × si+ +si + +: = = , ,,ya , a× ancheha not( ) (sottvettoriale il )ci tenendo (delUSe gradienteF )Schwarzil U(1)f conto di( teorema) 0,0è 00 0,0diz siunaycampo e× : == ,,, , . ,,vettoriale IRiltal ROTAZIONALEIn chiamaF )(campocaso -2y si× ,,FORMULA f) ) ) dsDIVERGENZA pFdxdyPIANO B(NELLA (NEL )A ( cosa +div ) Y cosy: ××= ,,JDD orientata chiaraQuesta ancheformula volere regolarecontinua sempliceJD generalmenteè ese cu r vaa u n a , .,TEOREMA SPAZIODIVERGENZA )Green nelloNELLO ( teoremadella spaziodiolimitato la

regolare superficie aperto orientata generalmente frontiera

aperto CR SF-sia aF-insieme Rc insieme unacuieviae eun u n s i a,punto direttot il esternomodo l'Nnormaleogni siain ✓ versoer roresuoinc.. vettoriale definito PEUponiamo FEV ✓E -1(ZE F( ) (1)C')Sia (B)-1 )(E Z in4 C4,7sia )A ez-2e ( × 4 campo c siay ×× ×= un=, ,, ,, ,,. , ,ha D) divfdxdydz § NdsAllora F.si : =✓ avvettorialiCampiDEFINIZIONE funzione definitavettorialiè valori insieme: suuna un nona componentivuoto " cheA vettore(F A RE ) AR ad di✗ ✗XaE associaE→ ✗ un n :o: e= n. ., ,. ., )fF fu( fi( )(( ) ✗(() ✗)✗ F ✗ ✗✗✗ ✗✗✗✗✗ ✗ )1= 11 220 2 2 n2 nn n1= , ,, ., .. ,. , .. . . ., , ., ,. .,, . .. , , ,lunghezzapunto datacon dalla 11applicazione FINIIdi XO e nonnavettore definitacomponenteciascuna f.del è Avaloriimmagine reali suu n a a .fi pentovalutato nelA km RI ( AXOi )E ✗ ✗ E21→ ✗con: n= 2e n=., , , .. .. . .,

,L' stessa dominio Rupartenza ill'di dimensionedevono lainsieme diinsieme èarrivo seavere ce :componentivettorialeilallora deve 3averecampoEsempio :F partenzal'quindi( ) Rt4) imput diIn sottoinsieme( variabili didue èinsieme× ✗ y4 riceve un= ;, ,.,l' componentivettoreRE hamembroperchésottoinsiemedi aldi il 2°insieme èarrivo 2 :u n R2tuttofi definita in( 4) y✗× =,fa Rtdefinitaanch' tutto4)K suy essa=. naturale vettoriale R2Il R' EFdel dunquedominio è →campo e : f.la #Non vettoriale Fvettoriale }REpoiché Rt daè invece F ) Rin(( )campo yy ✗ y →un ×× va:=, , ,Dominio :Interne componentichiamo punto L'intersezioneneltrovati èdelle singoledominidei1dominii .(F)vettorialedel A AKMA Anil ndon ndominioproprio 1campo 2: =: =. . .Esempio :(F €ne )log )( ) (✗y-24 y× = ,,,,F ha componentifunzioni3 .La TÈcomponente }{definita