Riassunto Analisi 2 - Terza parte

INTEGRALI

Capitolo MULTIPLE

5 -

INTEGRALI DOPPI

1

5. }

Un rettangolo chiuso DI

R

R dato {

{

dall' Ic

R

} BI

è R2 Ia

d

b

insieme )

( e ✗

: ✗

✗

a ≤

≤ ≤

y e ≤

×

= : = ,

, ,

,

I lati formano 212

DA

BC CD

AB , ,

, 12º tutti

RETTANGOLO } R

(

( formato interni

punti di

b) da

d) d

12º

APERTO R2

{ b è i

4

a. ( )

c «

E ✗

a

y <

: ovvero <

×

✗ <

:

= =

, , ,

,

( )

pi

mia

o

AREA (A) d-

RETTANGOLO

DEL ( c)

(

b a)

mia

: -

=

{ {

}

Po partizione } partizione

Q ]

b id

[ [

b

Xn di ] 4m di

b 40=441 4mi

Xn

✗ ✗

a e

a

-1

◦ e =

= =

=

= ,

, ,

, .

.

. ,

, . .

.

. ,

partizioni [

Tali rettangoli ]

4

determinano Ri

Rij ]

[ 4

dove ✗

M ✗

e

in 1,2

i

con m

con 5=1,2

n

✗ ✗

] i

=

= -1

i

.

, . ,

, .

, ]

.

. ,

. i

, ,

]

.

limitata

limitata anche Fi

che R

R2

R

f A Ri

Sia è

supponiamo i n

→ in

e ]

]

: , Mij

tra

Perciò inferiore estremo

funzione Rig

tale estremo NU in

ij superiore

un

e

un .

,Ki-✗iÌÉÈÈÌ È

È

?_? SÉ

SOMMA (

a)

INTEGRALE )

(f a)

partizioni

relativa Rig

SH

INFERIORE Pea

di f- alle P Mis

mi

P

( mi

è

)

y s

× : =

; ;

= ,

, ,

, ,

, -1

1

F- i

,

negativa il

aventi

Se parallelepipedi

degli

la inf rappresenta volumi

la

f base

dei

) è

( somma ciascuno

y per

mm

somma

non

× , .

rettangolo che

Rig altezza segmento misura

e per m i

un ]

P.az?Ii&.,Mi,(xi-xiIfyEiEI- IN

È

SOMMA Sit ( )

INTEGRALE SUPERIORE a)

(t

:S Rig

P Mis

=

;

; , IJ

-1

1

F- i

Al reali limitato

superiormente

Q }

l'

P dei

di a)

(

{

• f

variare P

insieme è

numeri s

e : ; ,

S inferiormente

reali limitato

i }

l'insieme dei a)

(f

{ P è

numeri ; ,

L' l

estremo L

dell'

inferiore delle

dell'

delle estremo inferiori

è

insieme superiore

≥ insieme somme

somme superiori .

FUNZIONE INTEGRABILE

Definizione Daf rettangolo

l che chiama doppio

integrabile nel

integrale

L f R

di

tal

In

rettangolo l

sul dxdy

indica (

La R

f- 4)

=L y)

( si

è

( 4) si × ×

con

caso

se

× =

, ,

,

.

PROPRIETÀ le

4) anche

allora funzioni

R

f-

se )

integrabili ☒

(

le (

)

( KE

f 4)

( Kf

4) ( 4)

( 4) 4

( 4

×

ne

sono +

g m

e

× con

g

×

e ×

×

×

× =

=

, , , ,

,

, ,

,

ha

integrabili R si

e

su

sono :

Proprietà {

/ /

^ fa

dxdy

additiva dxdy

)

(f ) dxdyt (

( ( 4)

4)

ix. 4)

4 g ✗

+ y ×

: ×

= i

,

,

ffpnkf

Proprietà µ

/

omogeneità

' dxdy

di ( 4) dxdy

4)

(

K

: × ×

= ,

. Iff

Proprietà #

monotonia ftp.glxilldxdy

- di ☒

f- dxdy

(

4)

( ≤

4)

( (

se 4) €

g 4)

≤ × ×

× ×

, ,

, ,

TEOREMA che

Supponiamo che tx-Ia.BIZ

[ l'

]

rettangolo

sia ad

f semplice G

nel integrale

R

valori integrabile Io dy

f b (

)

]

R ( 4)

4)

( e

× ×

in

a

una

× ✗

= =

, .

, , ,

"

[

Iff

GCX sull' vole

Allora (

integrabile Ia ]

intervallo b ) DX

) dy

dxdy { f

sia ( 4)

( 4)

× ×

=

, ,

. ,

TEOREMA If che

H

]

Supponiamo

sia lty

te integrabile Ic l'

valori Ic semplice dx H

d integrale

4) (

)

f- 7 )

]

b d

] (

R [ sia

(

( c-

in in e

4)

y ×

a

× a. ✗ = ×

=

, ,

, .

, ,

" [

{

Dati )

dxdy (

integrabile dy

intervallo

sull' dx

DI

[ 4) f 4)

(

× ×

c. =

, , limitato

limitata R' ☒

definita D

integrale

definire f

l' f

Vogliamo )

(

di insieme

y su

una × →

C

un

, {

contiene t' )

rettangolo ED

(

D "

che se il

✗ )

*

l' ✗

Rc pe

Sia *

g-

R

Sia g-

a i

insieme → )

(

un y

: × =

,

. 0 RID

4)

(

se × E

,

La * integrabile R =/ dxdy

*

f- faf

dxdy

) f f

è (

D

( )

INTEGRABILE è (

y pone ( 4)

y e

su

se

su si )

× × × y

×

, , ,

,

R

f) scelta

infatti dalla

dipende di

dxdy

f 4)

( × n on

,

D

MISURA INSIEME

di UN

2

5. { D

È 1 4)

(

la

limitato FUNZIONE se

D £

☒ caratteristica

Rt

sia ✗

✗ ✗

→ cioè

sua )

(

insieme '

c un y

sia

e ×

: :

☐ =

☐ ,

, D

\

☒

4)

0 E

( ×

re ,

INSIEME che

MISURABILE l' caratteristica

misurabile tal

D

diciamo la D;

f integrabile

è (

✗ )

insieme in

è su

se y

: ×

☐ ,

chiameremo negativo CR

dell' il (D)

reale =/ dxdy

fax

D

misura )

(

insieme mia ☐

numero

caso y

non ×

☐ ,

" ha

scelta

Tale definizione indipendente della =/

R 0

di dxdy

(D)

è ↳

mia misura =

!

=)

}

Se { funzioni

D= Rt (D)

:[ E continue allora (PK dx

]

YEB

b )

( (

(

4) b

) )

) ( )

2 2

mia

a 2,13

×

E E ×

E

✗

× E a

con

x

: -

, ,

, ,

INSIEME Misurabile

DEFINIZIONE l'

interni D

rettangoli coincide

l' Rij

delle estremo

misurabile estremo della

d' dei

D con

è superiore aree

insieme somma

se a ,

,

rettangoli

della

inferiore la

che valore

intersecano

dei Tale

Rij

delle l' D. misura

è

aree

somma comune

insieme

dell' D.

insieme

TEOREMA

] ha

☒ }

:[ Allora nulla

( {

f continua Ri

b b

grafico

sia Y =p

) l'

4

il )

cioè (

di )

→ misura

4

E

a

una (

× E

insieme ✗

y

a e x

× :

, . ,

, ,

:[

LUNGHEZZA GRAFICO DX

'

(q

DI )

UN )

' (

1 + ×

a

limitato nulla

la

solo frontiera

Un ha

misurabile

D ad

è

insieme misura

se sua

se e .

PROPRIETÀ MISURA di

DELLA insieme

un ( 2)

)

(

1) Da

misurabili

D= Di D

Di

Di due mia

insiemi

sono suis e

e con c

, ( (

) )

)

misurabile Dn

L' ha

Dal Di

De ( D

\

Da

è mia

insieme Mis

mis

mi

e z -

=

: nulla

ha

sottoinsieme

Ogni di nulla

2) di misura

insieme misura

un

L' ha

misurabile

intersezione

l'

3) Da misurabili

Di

due

di è insieme

insiemi

unione e

e si

u n

e :

a)

(

) Din D

(

)

(D)

( D=

U Mis

D

tuis

Di

Mis mia z -

= ha

particolare ha

=P nulla (

)

( (

Di )

allora

Da

In Dc

D= ) Dn

D=

Di U

Di

n

n mia

se misura suis

se +

mia

si

o =

,

,

CALCOLO INTEGRALI DOPPI

DEGLI

5. 3

TEOREMA limitata

] eccetto

f- Se 4)

f E continua

Ic R

] R

f al

d

b (

R è

Ia insieme

più

in

→

sia ×

una

e un

✗ :

= , ,

.

, nulla R

allora f integrabile

di )

y

S è

misura ( i n

×

, .

, Ha fafcx

ERIS

( dxdy

Se =/

4)

4) dxdy

continua (

t.c.gl f-

inoltre R f 4)

☒ R 4)

( 4)

è

→ ×

× g

in ×

una

g ×

: =

, , , ,

,

continua D

f eccetto

Una nulla

al dice

di

più insieme

in misura

un si

, ,

generalmente D

continua in . Dominio }

X

RE

{ ALL'

} NORMALE ASSE

Rispetto

b

D= 13K

4

( )

4) E

E

X ( insiemi

a )

2 sono

E

E ✗ E x

:

, , Y

Dominio chiari limitati

d } ALL'

NORMALE ASSE

Rispetto

{

D= ERI Y e

4 )

( Y

(

( )

y

E

4) ✗ E

E 4 E

:c

× ,

,

TEOREMA } continue

b

rispetto 13 ]

X

sia b

{ :[

2,13 ☒

Rt

all'

normale D= E (

D f

)

dominio 4

cioè (

asse a E

)

2

( E

y) E ✗ × →

a

sia con

e

un ×

× :

, , ,

, "

b ) )

=/

ha

R (

sia f Allora

f continua f integrabile dxdy

D DX

) dy

D ( )

(

4)

( su

y si

è

una f- × y

×

e

×

: ,

, ,

. ( )

2

a X

TEOREMA YEOL

D

Sia rispetto :[

{ Sia

Ri } d

normale ] D E

all'

dominio A f

Y Y

Y continue

( ) Y

)

Y ( y

cioè D= funzioni

( →

) →

E

E ✗

y E

y : c

asse con c

e

sia

un × :

, .

,

, ,

, ¥

[

[ )

( dy

ha dxdy

continua

f integrabile

Allora f

Desi

f DX

) 4)

(

(

una (

)

è

y y

su ×

× ×

: = ,

,

. , 9141 allora

Da che

f- Di

integrabile ( f

Danda 0

) )

Sia domini è

normali )

( y Mis ( y

su sono con

× ×

e =

, , ,

dxdy

+1ft

ha /

integrabile f

dxdy / dxdy

D= UDZ

Di 4)

(

(

4)

f- ( 4)

si ×

su e × ×

=

, , ,

Di DZ

MEDIA

TEOREMA della

Sia È

D limitato

chiuso T

:D

misurabile Sia 3- Po (

f D

Allora

a 40 )

f

e continua

connesso

insieme Xo

→

c e :c

un una = .

.

, .

, ,

(

f

/ Po (D)

dxdy

µ )

( 4) mis

✗ =

i

VALOR MEDIO FUNZIONE

DELLA D

f ( )

il su

✗ / /

| dxdy

§

SI /

integrabile dxd4

integrabile f-

D 1 /

D

g- If

) E )

f

se è

( 4)

(

( (

4)

su su

il è Y

×

× ×

✗ , , ,

,

>

FORMULA LEIBNIZ

Di

BH

)

B K) {

{ dy )

' )

+13

4) '

(

dy (

2 (

( )

13

)

( ( ) )

( ) (

2

×

Y g × X

× ×

y

8 × ×

g

×

= -

, , , ,

✗

2K) )

(

2 X

APPLICAZIONI

4

5. INTEGRALI DOPPI

DEGLI

con delle

doppi

gli int calcolare le superfici

aree

si possono

. { ( )

✗ MN

✗

=

Data chiuso

limitato

D misurabile

R

regolare g ) D

(

superficie (

y è

) connesso

E

v v

una y n e

C

; n

= , ,

,

,

( )

Z

Z v

n

= , D= UJA aperto

A

A R

C insieme

con

AREA f)

della dv

SUPERFICIE del

REGOLARE ( =

( ( ) )

S 2 it Lee

) Iz Is

( ) )

Ii ( ) nn

+ v

v

n

= ,

,

) ☐

(

Yu ( )

MN Zu Luiz

MN )

Il a

=

= (

4 )

2

( MN

) )

(

MN 2- v

te

✓ 2 <

✓ =

, ( (

) )

47 y

2 ×

(

2

( = (

( )

'

( )

)

Ii ) °

Iz ) ( Zi

) a

( I

) ×

+

+ +

+ v ,

v

n } n

MN =

, , ( )

2 v lui

a

( µ ) 2 )

) (

( V

Zu ✗ MN

)

MN v ,

n

u ,

IZ l'

( )

a esiste

Zix integrale

= ( )

( ) Xv MN

zu v

µ lui

a )

, 0

'

( ' (

(

se '

S ( )

)

Ii )

regolare Iz ) (

) ( I

) +

+ v MN

è >

n }

MN ,

(

Yu )

( )

✗ MN v

n

u , ( 4)

I3 ×

a ,

= ( )

✓

(

) Yu

v

✗ n 2 )

mi (

MN

✓ ,

AREA ROTAZIONE

SUPERFICIE di

di

TEOREMA lunghezza

dal

data della

prodotto della

L' ad

A della

superficie retta ruota

che

intorno lunghezza

la

rotazione

di di Y

è curva

una

una per

, ,

dell'

della

dal

distanza di

baricentro

avente la

circonferenza rotazione

raggio asse

cur va

per .

INTEGRALE SUPERFICIE

DI superficie

f S

di sulla il

)

( -2 numero

y

× :

,

, §

# dv

del

( fds

) f- ds

) '

<

(

) ) )

( Pt )

)

(

I

( Lee (

MN

) (MN )

( + Is

MN -2

lui)

In

-2

( 4 4

v

nn ×

2

✗ =

=

, ,

,

,

,

TRASFORMAZIONE VARIABILI

5. 5 di

limitato ( )

Prendiamo misurabile D= '

D

4

Di che

insieme sia

e

un anche

' misurabile

misurabile

Si che D D è

è

può se

provare , ,

matrice 4)

) che

della

al della trasformazione (

( 0

determinante

it Jacobianco Of

jacobi

✗ ✗

il

sia Ed

=/ )

) supponiamo cm v

ama i

; ,

) )

MN (

( 2

2 MN

è

la CAMBIAMENTO VARIABILI (

f)

Gli INTEGRALI

PER °

FORMULA )

DOPPI

DI

DI TRASFORMAZIONE 4

✗ du

=/ du

: dxdy

) ff )

g-(

o )

)

( ( '

(

y y

) v

× v n

n

, ✗

, , ,

, , )

(

2 MN

D

D

continua

f-

dove è ☐

( in

)

y

× , CENNI INTEGRALI

sugli MULTIPLE

6 IMPROPRI

5.

FUNZIONE INTEGRABILE IN IMPROPRIO

SENSO

DEFINIZIONE generalizzato /

limite figo dxdy finito

) fanlf

integrabile (

f- D /

i l

è improprio

senso

in è

su

) ( )

( y il

se ✗

× o

, [ otxdy

ffauf

Il (

lime D

chiama

dxdy dif indica

)

GENERALIZZATO

INTEGRALE IMPROPRIO ) f- )

IN

( (

(

SENSO e

y si y

O

4) con

su

× ×

si

× , ,

,

+ a

n →

N B integrale D.

precedente

integrabile il della f-

limite coincide l'

del

D

f allora doppio

valore

è y)

(

su ne

) con

proprio

( y ×

se ×

. ,

. , ,

MISURA Limitato

INSIEME NON NECESSARIAMENTE

UN

DI

DEFINIZIONE limitato

misurabile Qn

quadrato che

limitato l'

ha

In

necessariamente t ]

MI

En

dice

Da Ri

un insieme

si

se

insieme n

si

non ✗

= , ,

, , ,

,

Qnn D misurabile

è { } limitati

Una chiusi t

Du misurabili

di insiemi

successione e c. :

.

,

µ

ne anche

Du

UE Rt Dn misurabile

Se

b) D

tutti Dn

misurabile

Due allora

a) Denti è è

insieme

un

=

, ,

line b)