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CONVERGENZA UNIFORME

E×caso E>= →n +0hatu 14 /Unix( EsiV ) ) <×> : -,Il EIIN I fissatodadipende 0da di✗ ✗numero €E E ×c- puòsiasia variare> ✗, ,CONVERGENZA UNIFORMENel funzioniche { }I lasolo da dida quiD dipende dice successionesicaso )ein cui ×E✗non , uniformemente}laf. {alla ( nell') I UnixCONVERGE UNIFORMEMENTE )µ insieme× convergesucc a.( /IN /#Y t.c.tn et) ha Yuk3- YEII ( )) E× 0E V ✗E <→sein > xsi> : - ., ,N LaB puntualeuniforme quellaimplicaconverga. .successione UNIFORMEMENTECONVERGENTETEOREMA {lache }funzioni I R{sia Supponiamo puntualmentedefinite Yuk}data di )quisuccessione successione) C convengauna in× .,laAllora Nnuniformemente{f. EI l} /t f. solo( posto PukallaUnixalla ( )(Ise y4µ ) )) FELseeconverge ×successione× ✗ i n = -.lineha Mn 0si =+ an →DIMOSTRAZIONE : t.c.tn{1) :/7 ESe } V7la YEN ha /qlx qui PK0) IUnix uniformi E EI ))) Vsucc converge si>i n

×e <a > -. .otteniamo IIIINn /Yuk EY IN) <: -= Mn2) linehat.c.tn Mnte DEI7-Perciò vale0 0dunqueV Emi> < ;> =→ +n oVICEVERSA : VII1) /2)Nn YnSia line Y I7te It.c.tn ( E/ ))ho Nn0 Ynlx0 (Y c-( E <××V )V E # <E ¥<> )> ovverosi x: -= - -.on +→La f.{ }Unix uniformemente I(funzioni alla Y )di ) insuccessione converge ×TEOREMA uniformemente{Sia f.} f.convergenti alla leIdefinite ☒ quiYou funzioniIC ( Se( di 4 )) in )succ ×i n × sonouna× ..funzioni continue f.la Xo(alloraXO I ' continua)y e i nEin × ., .Dimostrazione determinarefunzioni t.c.tnFisso1) { f}Poiché ( Iuniforme INcfulx0 )E la 4di Vè) Every posso> × insucc con a >. .. . ./I You §ha ll (+ I )( ) ×E✗ mi ×e <: -,Fissato :/2) §ha Luit.c.lt/-cIScontinuità 3-f I /Sla lfuUn I✗ 0 Ho) di {Mi )✗) ✗ )in\ >× < ×siper <o> o --. ,, , ,tx /3) Quindi

§It pfui /8 f-I // YukoquiI (I :/ Yu €§ha )quo YI ) 4K XoHo ) +)4k )✗ )) ×✗ )E + +si × <<o < =- ----,, ,TEOREMA{sia convergentif. uniformemente funzionefa} I alla (qui continue )]b) µdi ×i nu n a× ivisucc e= ,. .b[line =/haAllora YKdi dxIn )si : → + •n aDIMOSTRAZIONE :la1) {Essendo } convergente ( integrabilef.uniformemente la 4f.la (qui )continua) Iab]) IaYsucc è× è in× ×i n ☐,.Fisso2) /t.c.tn tiINdeterminarelaPer unif0 EraYuk YE ha (IV I ) )1) E c- ×> possoConv <sie> : -. . . ,balli[I ![ !/ =/ //tu SJ Iaha dxok dx Y /YukI(xD YYou dx qui (dxV ) () E)) <) E×si ××> : - =- - µ PS (cercatarelazionelada =seguecuiTEOREMA f.Sia f{ derivata (Unix continua} )puntedi IbI alla Y) Io ]successioneuna ×i n inconnerycon prima = , ,. .. ..che {la }Supponiamo ha(uniforme ( (Alloraf4L alla)( )) )Y µ Y 'X ovverosucc × mia

×converge si × := ,.. . ..Life % (( Io4' )) b]× X E✗= ,,Dimostrazione:La [ dt-IYH.lt{ }1) f. YKf. %fingouniformi )alla(4hr dt) himt)Iadi b] (4h )× tnonnuca very i n. ,.. +•→anLa { Ia2) t} CIAYK BIunif4ha ) intervallo ☒i nsucc con v. a ,. ,. :[fondamentale dt3) ha qu' continua UltPer (a)Yulfulxessendoformulala integrale ( ) )del calcolo )×si = -,:[4) dt (a)(ha A) =p ll)✗ ×si -5) #Derivando G)( Iceint 'ottiene bY ) ]deltuo =pcalcolodal X ✗ Esi : ,..Serie Funzioni1. Di2{ f.fu definitereali} realevariabile cheIdidi( ) succ in× una= . ÈtaleAssocio fu #SERIEche convergente EIè( ICONVERGENTE)successione èessaa ✗u n a× sein,n = fuconvergente definitaf. } falxf.I Snk) )(({ da )laè )Sudi X1-in X è -1( ) +se succ ×= ... .ÈLa fncx ffunzioneUNIFORMEMENTE allaI }( laCONVERGENTEdice {) ) Suain )X succsiserie se .1N = f.Se fu fanche continuef. fIl testo formattato con i tag HTML è il seguente:

Ileinoltreallauniformemente allora( le)) (Iconverge Xx sonoi n i n .,.f (K) continue ) continua II èSu X ineinsonoSERIE TERMINEINTEGRABILE TERMINE aTEOREMA %f. fuf talechele continuaSia I Ia uniformiladata Supponiamo( b)di )( dove ] serieserie convergain×× sono = .. ,, ., bE) Sab[Èf ha fuf. fin falla I dx( oka)d) (si )x i n x×: = =. ,a,n=SERIE TERMINEDERIVABILE TERMINE aTEOREMA Ifa laSupponiamo chehannosia fncx f 'la b (fu derivatala continuadata )]ledove ( ))serie serie xi nprimax n, ., È fu lafuniformemente Allora f.che laI )( ) ( Iderivabilein I in( è)serie converga × xinconverga e × a ;.,~'ha f 'inoltre f )(( )si ×× =: n,,o ÈE dettaIan :se lala | allora CluCONVERGENTE serie èèserie , 1M1i l == CONVERGENTESERIE ASSOLUTAMENTETEOREMA Èla {che esistafucxdatasia } t.c.tt/-cInegativiSupponiamo di Un) numerisuccessioneserie siu n a non. ,uniformementeSe/ laabbia data/

Formattazione del testo

Ialloraan) E seriean convergeserie converge i n×: . , .Dimostrazione :fu1) #chehaDa confrontoI assolutamente criteriofissato datala/ / delilClu( E) E convergeseriesix per✗ ., , }questa {cheProviamoSia f ( la delledi Su) parzialila )(serie× sommesuccessione convergesuesomma x. ha¥uniformemente f EII.( ) si✗×a i n :ÈÈÈ EEEun IIfk / =/=/ lìCHI / Iti /fai .fi /&su) )» ( Il== ×= K-- - Kenai K, n+=È2) {Poiché }ha detta parzialidellela laan onSconverge sua somma succ sommeesi :, .,1m = ÈÈÈ È / limIs /line out0 fingo dkunok -= =- =, K 1+ +aa u tn→ →n = a3) N hat.c.tnPerciò /definizione /f Eline cheha et7dalla # V XEI0 E)di UKSukD ( EEE )×> s i <si > -, 1MtK =Serie O1. POTENZE xè3 EDi (an ✗= -0m =Può anchescritta ( )() Xo "( anXoao an ✗ t X+ +az× +essere Xcome t: - -- . .. .. .I ☒ dett

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Ginevra701
A.A. 2020-2021
22 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Ginevra701 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Firenze o del prof Spadini Marco.