Riassunto Analisi 2 - Prima parte

Capitolo 8 di serie, serie numeriche, potenze e serie numeriche

Serie numeriche

{ } Un reali di numeri successione = n e a€ serie Iz numerica =, termini serie della definizione ✗ È { } E Diremo ( ) detta la { che } converge convergente an ak è successione su se serie o una =, 1 1 M K = = convergente chiamiamo lim tale è parziali somma successione delle S su in somme delle caso: =, , n +→ ono€ serie Sdm scriviamo e =.

La line line diverge su serie su + 0 se o oppure: = - =, → + o + → n an La indeterminata line e lim esiste è su serie o non se oppure: =, n a +0>+ n →-

Serie armonica

Serie armonica precedente termine media di quello cui in d i è ogni serie armonica suo e = 2 tue quello ☒ ancio è successivo 72: =, 11 Ì an -11am - • quadrato infiniti triangoli la superficie del % esauriscono § [ f-f- 1+ ++ =, = . .. ma all' quadrato la loro infinita totale del delle E 1 iale : è ossia a re aa re a ,

Teorema di condizione

(Teorema di condizione o FI convergente se e in la an O allora an serie è; =, → n + a )

Criteri di convergenza e Cauchy

Cauchy la convergenza per criteri di convergenza a La È È /' sempre + += =. . . Si risultati seguenti mostrare, ni possono:

• Se convergenti ) È si si convergente (la bn alla bn allora è due serie serie a n an + e sono converge e , E E ben somma + an Ei ✗ Xan convergente 22amE
• Se anch' ha la è R allora serie Ean converge e n ae somma se per e, comportamento esiste EbnSe NE stesso E hanno IN tu le ha tale lo N bn allora che mieansi can> e =,

Teorema per serie a termini non negativi

Teorema o Sia Allora convergente negativi E termine divergente data la an 0 du è serie serie > a una non oppure., 1M =

Criterio del confronto

Criterio del confronto - 0a FÈ£ Nbn # Supponiamo che bn abbia 0 date allora Ean le an E si serie m ee :, ,, ,1m = È È Ebn bn che Se è bn i la nche1 an < converge converge an segue ;. , 1, n = 1M ante maggior = È € Se che tu anche diverge diverge 2 an segue. , .1 ,M =

Teorema del confronto asintotico

Teorema criteri asintotico confronto del - N dm1 bn che che Supponiamo Un 0 lime K0 0 +mt =/>= ee a=. , , Dm+a→~0 § lo stesso carattere hanno Allora Ef bn le du due serie e ,,, a FÈ £7 anche2 la ben § la allora bn Se K K0 la invece serie du +0 serie se serie converge converge ee =;=. , ,, , , o E anche la allora diverge diverge serie an, 1~ =

Teorema di condensazione

Teorema di condensazione criterio - ✗ Supponiamo decrescente Allora § { positivi } la che an di numeri serie an successione se sia converge una. , 0€ la solo "2 serie clane converge se ,

Teorema o E ÈÈ | convergente 1 se la anche la convergente allora è il è am serie serie n, 1n =

Criterio del rapporto

Criterio del rapporto - 1Ant Supponiamo che < line abbia Quvi 1 = 0 =: , 1+ |→n a am Allora re: a& la convergente 2 <1 ) assolutamente (1 è naan serie;. o convergente la £2 12 an è serie > ; non. 1n = criterio carattere della L tale informazioni 1 usando 3 dare sul possiamo serie non;=. .,

Criterio della radice

Criterio teorema radice della - "line Supponiamo 1 L che I abbia am si = +→n a§ Qn Allora stesse teorema conclusioni della precedente 3 le 1 valgono 2 serie per ,,,

Formula di Stirling

Formula Stirling mmm Di ! e- zitnm =:

Criterio di Leibniz per serie a segni alterni

Leibniz criterio teorema criterio segni di alterni serie a delle o - O Supponiamo Allora che neo21 line la Un convergente tu Un070 non an Un (1) è E 70 serie +1 e: = .. .., + a→n

Criterio integrale

Teorema criterio integrale - f Se funzione decrescente intervallo nell' [ continua la allora ] positiva è serie 1 + una ae, , , o +a§ [f carattere lo hanno stesso l' integrale) dx( f ( )x e n; .,

Serie di potenze

Definizione di serie di potenze

Serie di potenze definizione a Una neo Di serie tipo }{ del an è potenze di X cui " in serie è successione u n aa n una variabile reali è numeri × e

Teorema sulle serie di potenze

Teorema a ȧ convergente E Se la allora la 1 è serie Uno an ✗ mW un serie € converge per. , 0M = assolutamente che tali tutti Regli I 1I In€ ✗✗ < per a ȧ convergente Se la WER allora la 2 è serie Uno an ✗ m un non serie converge non per ,. OM = che tali tutti Regli I 1I In€ > ✗✗ per

Definizione di raggio di convergenza

Definizione O Sia una serie di potenze: diciamo che (eventualmente ) È R0R +anxn 7 a = 0M = È è il raggio di convergenza della serie se converge per tutti R✗ EanxnOn = e non converge per tutti. Nessuna affermazione può, in generale, essere fatta II R✗ > per. L’intervallo ( - R, R) è detto anche l’intervallo di convergenza della serie R±✗ = di potenze. Se R = + allora l’intervallo di convergenza è. EO

Serie di potenze di centro X

Definizione È ☒ Si chiama serie di potenze di centro X una serie della forma: ( ) an nE XoO x -0n = E i solo fa è 12 divergente convergente 1 E > se se e e ma, n = Fanliryy questo Per è 2 < -0 0 divergente in = / caso •

Serie di potenze, seconda definizione

Serie di potenze definizione Una { variabile serie reali } è di tipo ^ di del potenze è in ✗ cui serie ✗ è successione an e an una n una . . . ◦

Teorema È § 1 ☒ assolutamente gli tutti la la allora convergente Se 'an Wule dnxn serie e serie converge per per e ,. ◦ 0n = M = tali ☒ che I WIII < ✗ e ✗ . no § Pr ' RIE tutti la la gli convergente; allora Se n una 2 è serie amen serie Ele e per ✗ converge n o n n o n per ,. , ◦ ◦ n = che tali I.InI I ✗ >

Capitolo 1: successioni e serie di funzioni

Definizione di funzioni

Definizione definizione capitolo 1 Successioni Serie di funzioni e Successioni 11. Funzioni Di O § serie fuf ( ) funzioni ) Di uno ( stesso IN × ×: = , ed fu tale = L limite finito I fa ☒ f su esiste dalla Iuliano di A) definizione (k )) (Su (( è ) serie ) ) se ✗ + c- × + × + x × c: . .. funzioni } limite { della di Su ( ) successione × µ Ì Ptt (Successione ) lui { Ica } reale = Unix reali di variabile funzioni di) e funzioni ) con × una: " naturali nell' IN funzioni Applicazione delle dall' dei insieme numeri insieme

Convergenza puntuale

Convergenza puntuale definizione te fingo che Si funzione ha Y la fissato (funzioni lfnlx alla ) dice Ix) I ) puntualmente di y converge se XE si successione ✗: =, ,, NB Se funzioni nell'intervallo continue I tutte possibile qui le funzioni è) sono ×. , La? che anche la continua funzione f. ( negativo risposta generale dire ) è è µ in × una 1) Upsilon = ¥

Definizione nel IN ( line limite lfnlx tale ) µ 0,7 che di ) ✗ E × caso E > = → n +0 ha tu 14 /Unix( E si V ) ) < × >: -, Il EIIN I fissato da dipende 0 da di ✗ ✗ numero € E E × c- può sia sia variare > ✗, ,

Convergenza uniforme

Convergenza uniforme Nel funzioni che { } I la solo da di da qui D dipende dice successione si caso ) e in cui × E ✗ non , uniformemente } la f. { alla ( nell') I Unix converge uniformemente ) µ insieme × converge succ a. ( /IN /#Y t.c.tn et) ha Yuk3- YEII ( )) E × 0 E V ✗ E < → se in > x si >: - ., , N La B puntuale uniforme quella implica converga. . successione uniformemente convergente

Teorema sulla convergenza uniforme

Teorema { la che } funzioni I R { sia Supponiamo puntualmente definite Yuk } data di ) qui successione successione) C convenga una in × ., la Allora Nn uniformemente {f. EI l} /t f. solo ( posto Puk alla Unix alla ( )(I se y4µ ) )) FEL se e converge × successione × ✗ i n = -. line ha Mn 0 si = + an →

Dimostrazione della convergenza uniforme

Dimostrazione: t.c.tn {1) :/7 E Se } V7 la YEN ha /qlx qui PK0) IUnix uniformi E EI ))) V succ converge si > i n × e < a > -. . otteniamo IIIINn /Yuk EY IN) <: -= Mn 2) line ha t.c.tn Mnte DEI7- Perciò vale 0 0 dunque V Emi > < ; > = → + n o

Viceversa: VII 1) /2) Nn Yn Sia line Y I7te It.c.tn ( E/ )) ho Nn0 Ynlx0 (Y c-( E < × × V ) V E # < E ¥ < > ) > ovvero si x: -= - -. on +→ La f. { } Unix uniformemente I (funzioni alla Y ) di ) in successione converge ×

Teorema di continuità del limite

Teorema uniformemente {Sia f.} f. convergenti alla le I definite ☒ qui You funzioni IC ( Se ( di 4 )) in ) succ × i n × sono una × .. funzioni continue f. la Xo (allora XO I ' continua) y e i n E in × ., .

Dimostrazione determinare funzioni t.c.tn Fisso 1) { f} Poiché ( I uniforme INcfulx0 ) E la 4 di V è) Every posso > × in succ con a >. .. . ./I You § ha ll (+ I )( ) × E ✗ mi × e <: -,

Fissato: /2) § ha Luit.c.lt/-cIS continuità 3-f I /S la lfuUn I ✗ 0 Ho) di {Mi ) ✗) ✗ ) in \ > × < × si per < o > o --. ,, , , tx /3) Quindi § It pfui /8 f-I // Yuko qui I (I :/ Yu € § ha ) quo YI ) 4K Xo Ho ) +)4k ) ✗ )) × ✗ ) E + + si × << o < =- ----,, ,

Teorema sul passaggio al limite sotto il segno di integrale

Teorema {sia convergenti f. uniformemente funzione fa} I alla (qui continue )]b) µ di × i nu n a × ivisucc e = ,. . b[ line = / ha Allora YK di dxIn ) si: → + • n a

Dimostrazione: la 1) {Essendo } convergente ( integrabile f. uniformemente la 4 f. la (qui ) continua) Iab]) IaYsucc è × è in × × i n ☐ ,. Fisso 2) /t.c.tn tiIN determinare la Per unif0 EraYuk YE ha (IV I ) )1) E c- × > posso Conv < si e >: -. . . , balli [I ![ !/ =/ // tu SJ Ia ha dxok dxY /YukI(xD YYou dx qui (dx V ) () E)) <) E × si × × >: - =- - µ PS (cercata relazione la da = segue cui

Teorema sulla derivata

Teorema f. Sia f { derivata (Unix continua} ) punti di IbI alla Y) Io ] successione una × i n inconnery con prima = , ,. .. .. che { la } Supponiamo ha (uniforme ( (Allora f4L alla)( )) ) Y µ Y 'X ovvero succ × mia × converge si × := ,.. . .. Life % (( Io4' )) b] × X E ✗ = ,,

Dimostrazione: La [ dt-IYH.lt { } 1) f. YK f. % fingo uniformi ) alla (4hr dt) himt) Ia di b] (4h ) × t non nuca very i n. ,.. + • → an La { Ia 2) t} CIAYK BI unif 4 ha ) intervallo ☒ i n succ con v. a ,. ,. :[ fondamentale dt 3) ha qu' continua Ult Per (a) Yulfulx essendo formula la integrale ( ) ) del calcolo ) × si = -, :[ 4) dt (a)(ha A) = p ll) ✗ × si - 5) # Derivando G)( Iceint 'ottiene bY ) ] del tuo = p calcolo dal X ✗ E si: ,..

Serie di funzioni

Definizione di serie di funzioni

Serie di funzioni 1. Di 2 { f.fu definite reali } reale variabile che I di di ( ) succ in × una = . È tale Associo fu # serie che convergente EI è (I convergente) successione è essa a ✗ u n a × se in, n = fu convergente definita f. } falxf.I Snk) )(({ da ) la è ) Su di X1-in X è -1( ) + se succ × = ... .

Convergenza uniforme di una serie di funzioni

È La fncx f funzione uniformemente alla I } ( la convergente dice {) ) Su a in ) X succ si serie se .1N = f. Se fu f anche continue f. f I le inoltre alla uniformemente allora ( le)) (I converge Xx sono i n i n .,. f (K) continue ) continua II è Su X in e in sono

Serie integrabile termine a termine

Serie termine integrabile termine a teorema % f. fuf tale che le continua Sia I Ia uniformi la data Supponiamo ( b) di )( dove ] serie serie converga in × × sono = .. ,, ., bE) Sab[ È f ha fuf. fin falla I dx( ok