Riassunto Analisi 2 - Seconda parte

DERIVATE DIREZIONALI

Non ] derivata lt del

3-

in direzione

variabili

2 piano

unica

un' ne una

ma

, rappresentata

arbitraria nel (

direzione

prendiamo a)

da

piano ✓

vi.

✓

versare

una u n

,

Definizione valori R

in

a

f ' A 1

(

R )

( )

R va

A v1

( →

C V

e

siano n o n n a

) con

e

y

×

y

× : =

= ,

,

,

, ]

DIREZIONALE villini

lungo finito

definisce f

di

Derivata direzione

Si ( di

) se :

y

× , ,

2£ & f

( )

tua

tu ( )

✗ 4 y

+ ×

+

line - ,

( )

y ,

✗ =

, t

av t o

→ ÷

vettore

dato di 1

Se viene V

=/

n

un norma = ,

Esempio : punto

f (

lungo (

) )

è nel

( 4) y 2,0

3,4

il

× = =

, TÈ (

a- %

Hull %)

-1-1 V

s

=

= =

= ,

Hull

costruisco limite

il It

è

G- t

Et ) +

It 4

K

A f EZ

( )

+ zio line

lime .

-

. =

= g-

t t 0

+ →

o +

→ Et

è

+ è

It -0

èy O

e =

.

DERIVATE PARZIALI

Del Prendiamo 2 punto

f- aperto D

definita (

vuoto ☒

ordine DC )

primo yo

i n ✗ e

un

: non e

un o ,

La parzialmente rispetto

f punto il

finito variabile

derivabile nel lime

3-

alla (

variabile

è in

yo ) 1

✗ ✗ se :

o ,

¥ & A

le

( 40 ) (

§ )

no

✗ ✗

line +

)

( o

yo -

✗ ☐

. ,

o =

, .

lr

h o

→

La parzialmente rispetto

f punto il

finito variabile

derivabile nel lime

7

alla (

variabile

è in

y yo ) 1

✗ se :

o ,

& (

¥ th ) f )

✗ (

40 yo

✗

°

fino o,

-

940) i

( ✗ = K

¥ 2¥

Per indicarle dxf

fx fy a yf 4)

( (

) (

( 4)

) × U ×

× y ×

e

: ,

, , ,

, ,

,

,

Esempio :

Derivata punto

f ) nel

rispetto di (

( )

)

( sin 0,0

y

✗ ✗

× +

y

×

a =

, # ( A

h ) ( )

che QO

termini =L 0

line +

o

f

il lime 0

consideriamo f

h )

( (

)

( 0,0

i h

sin

)

vari 0 ' -

o

compongono + = =

, , le

le o

→

* )

h

( line A

finito

sin lime

I l 7

line ( O

0,0 )

h

sin )

( ×

= - =

.

_

la

le O le 0

→ →

^

INSIEME ( f continua

tutte aperto

formato definite A sottoinsieme

insieme le

da di

su

: ,

continua

2 A

derivate

☒ fy A.

)

(

(

prime )

parziali y

y e ×

e con su

✗ × ,

, FUNZIONE

CLASSE APPARTENENZA

DI di una

DEFINIZIONE "

classe continuità

derivabile volte

R

aperto

f R di K

C A è

A è insieme se con

→ su in

un

una

: :

sull' A.

insieme (A)

FUNZIONE ci

liscia :

ci (A) A f

continua

le 1×1 derivabile

f ✗

( ) è

sciupio 0

in

F- ×

sono su non

: =

=

B

N derivabile

punti la potrà

f. f. di

esistono

f. dei in cui è K

se superiore

in essere

una non non

. . f

GRADIENTE di una f ammette

aperto

f #

definita di ☒ derivare (

valori A

in

insieme prima )

i n e

su × y

a

un ,

. (

f ( #

) )

Y fy

)

✗

Il )

Y

(

( Y

f X

ltf X

(

vettore fx

il fa

in che

è )

(

di ( (

) 4) )

GRADIENTE )

× ( 4

y ×

×

y

× =

= (

,

, ,

,

, ,

, ,

PROCEDIMENTO PARZIALI

DERIVATE

PER LE

CALCOLARE

f f Y

Z 5×2 64+3×4

(

)

( 4) t

4

× ×

= =

, ,

. ,

ti

¥

costante # ¥3

¥-5 ¥-64

a) YI

Considero 34=10×1-34

[5×2+64+3

variabile 0

2 +

y

✗ come +

✗ +

l o ✗

y

✗

+

come ✗

: =

= =

,

b) 2¥ § [ ] +3

6

6

5×2+64+3 +

0 ✗

3

y + ✗

✗ = =

=

CONTINUITÀ DIFFERENZIA BILITÀ

e

Esercizi

.

1 continuità tàin

Studiare funzione f

differenziabili là

della

( E

)

0,0 →

e :

. { 411 )

fcx costui )

Xy )

(

#

4) - 0,0

=

, lnlltx )

" +44 (

0 )

(

4)

× 0,0

=

,

continuità :

La flay

continua tim

fè ( f

) /

in 0,03=0

)

0,0 se =

( ( )

4) → 0,0

× ,

fe'

Quando nulla

✗ 4=0 411 limiti

) )

) 1- cosa

costui

line notevoli linee £

sexy i

-

o uso

# = =

( te

) + o

( ) )

cogli

90

✗ it →

a

→ ya

+

✗ +

4=10

✗ 1

1

2 " )

) ( ✗

( +44

costui ) 242

4 243

✗

1 line ✗

line -

= =

242 (

log ( 21×4+4

✗ ) )

"

"

ix. ) (

4) )

ltxu +4 4+44

( 4) (

✗ )

0,0 × 0,0

→ →

,

41=0

✗ loglltt )

line 1

=

t

+ o

→

Svolgo coordinate

limite applicando le polari

il :

{ 243

✗

0 E

cosa

✗ =p )

"

( qu

2

primo +

✗

4 = à(O)Èm3(o

>

p

>

> (

conto) )

pssin

p 0 =P

£

=

ZLP " ) )

panini

cos'

" )

(a) ca÷

( 0 (

2Pa

+

243 TÈ O perché

✗

0 E )

(

£ ( 4) 0,0

→

× ,

)

Zcxutyu 411 )

line )

costui

-

lnlltx )

"

( )

4)

IX. +44

0,0

→

41=0

✗ La

Quindi funzione continua

limfk.it '

)=f( )

(

) in 0,0

e

0,0

(

( 4) )

0,0

× →

,

Derivate parziali : l'

¥ )

flat )

{ °

Alto ¥-10,0

Aloi

)

lim f-

¥

)

( figg

-

linee '

line =D

)

0,0 - )

"

= =

=

=

+ t

o +

+

→ + o o

→ →

) )

411

( 411

costo)

line

01 )

cosi

0 1- -1

line =D °

- =

=

lnlltx ) 4)

" lnlltocety

" f)

+0

-30

y o

→

Sono nulle nell' origine

Differenziabile

.to : #

¥-1010 )

( (

) ( )

0,0)

Aku Aloi

) ) y

×

DEFINIZIONE tà him

Differenziabili

Di ( , -

-

)

in - , =p

0,0 : 4)

IX. ( )

0,0 2+42

→ ✗

dixit )

) ( 1-

it

(

) 0,0 ✗

O Hill )

line line °

.

-

- =p NÉ

(

) )

( (

0,0)

0,0 4)

14 (

→ →

2+42

✗ ×

✗ , 243

( )

1 ( )

4 cos ✗

linee ✗ line

y °

- 0 =

= NÈ

)

(

pà

(

( ,

log 4 yu

4) a ya

( (

)

010

✗ ✗ )

e 2 ✗

(

→ 4) 0,0

+ + +

✗ →

' i •"ÉÌT

30 LI

PZ #

sin

0 3

cosa P 1

E =

=

a) Otsinao

#

( (

paesino p

o cosa

2

"

2 +

cosa

P me

determiniamo

Non funzione

una

infinitesima l'

che confermi limite

esistenza

ci del . )

(

f

che )

cose

Dimostra 4 4

1-

differenziabile ( line

)

è in °

0,0

non =/

: )

( log

4) "

) "+

0,0

( ( 4

× 2+42

→ ✗

i t ✗

,

t »

( t

cos' #

^

}

{

R la

line Era

line f differenziabile

t

t.tl 0 -

( in

è

0 )

( 0,0

# n o n

>

: =

= = #

are

+ +

(1+2+4) ☒

+

t → ☐

ln

o

→

FUNZIONE DIFFERENZIABILE varia

in 2 Esile

f definita R2 differenziabile (

aperto ☒ A

vuoto )

valori

E è

A

in

) i n

( insieme Xo yo

i n s

E s

y

× s

a

non

un , .

, .

incremento

forma

A f

lineare le della

)

L l'

h dove

(

h )

f h

(

( )

( è

( K2

li

yo

t

) K K

Xo )

yo 2

K ✗ ✗

0

: + ×

+

+

una +

+

c. o

=

o =

, -

.

.

. ,

incremento

mentre l'

variabile K è

y Y

yo

× per

= -

, definizione

di

insieme

a Rappresenta nello

2 0h

lrt R2

h

( spazio

ln codominio

) PER

(

13 ) piano

K -2

a

K 2 → K

e

K u n

e

= ,

, ,

, , punto

coefficienti ( )

che 40

dal Xo

dipendono ,

f (

2h

th f

( ) )

( 13K

Xotk ) U2

✗

✗ ka

40 +

t + 0 t

o

o =

, , È

COME f DIFFERENZIABILE

STABILIRE 2 UAR

A

UNA

CHE .

punto continua (

(

f ammette derivate

f

differenziabile )

) f

1

se ( in A

yo yo

' 2

è (

in

) ( )

Xo

Xo )

c-

un y

×

× e

y

y × ;

,

, ,

,

. .

,

al ¥

3

Rt

direzionali ( D=

lungo 2

direzione

in 40 ) ( 0,40

)

(

✗ 0,40

V )

E ; ✗ ✗

o = ,

.

, g. × BIUITÀ

DIFFERENZIA

SUFFICIENTE

CONDIZIONE NECESSARIA PER LA

e

f aperto differenzi

definita

Una A

( è

sottoinsieme A (

R2 i n s

) E

in S

s

yo E

× ) :

✗

y un o

. , . .

,

, pento

7 derivate

le nel (

parziali

1 )

prime yo

xo

. ,

-1h f

A f

) fu

( )

( ( h

40 )

40 (

+ ✗

K 40 )

✗ 40

Xo Xo K

×

leur o o,

- - 0

z -

, , , =

. ( le

h ) ( ) t.KZ

K 0,0

→

,

sempio :

= differenzi

continuità seguenti

abilità

la

tà

Vogliamo la

studiare la tutte

derivabili delle

le direzioni

lungo e

,

f punto

nel ( )

0,0

È

?

{ )

(

4)

se 0.0

( =/

×

f ,

yz

( )

y

× =

, ( )

4)

( 0,0

o ×

se =

,

La continua finor

f

restrizione 12

perché la

f f E

f

è sulla f

vole

2 (

( 2)

2) dunque 0

)

✗

y ✗ (

✗

non × 0,0

#

×

e

: =

= =

=

,

,

flat

Controlliamo f (

)

2¥ '

diventa

bt %

) bt

0,0 d'

che

linee

impostando linee

dire

le (

der ( )

)

in

-2 0,0 -

0,0 ,

: =

=

. ,

. t beta tu

t an

o

→ t o +

→

f

Gf A

( (0,01

)

ti

è finor

Per 0

lungo )

b (

der ✓

0 dire O

1,0

-2 -

:

= = = =

. . t

la f tutte

ammette le (

der dire )

0,0

in

-2

. .

L' f

N punto continuità

tutte derivate

B direzionali

le la

esistenza generale

implica

di

di in

in una non

un

. . punto !

f

della

abilità tale

differenzi

la in

e

Geometricamente punto punto

passante

f differenziabile il

7 il tang in

è in se per

piano

una un linearmente

approssimare

intorno possibile

del è

quale

un

Esempio : fx

f associate fy

&

le

( alla

2 der (

42 (

prime )

sono

✗ 4)

+ 24

e ×

) 2x

y y

×

× = =

= ,

, ,

.

, punto

Tony

Cortes

L' fx

nel f

( f

è

del (

) (

) 1)

(

1,1 1)

piano 2- 1) ( 1)

0 (

0

0 0

-0 +

+

eeq y

×

= × -

, ,

,

,

. .

1+24

2- -2=24-1

-2

= GRADIENTE

DEFINIZIONE DI

9.

Ff fu )

(

( 0,40) (

)

(

✗ fx 0,40)

40 ✗

Xo

= , ,

Ff fy

( fx )

) ( )

( Xo fz

Zo (

(

Zo -20

)

-20

40 )

Yo Yo

Xo

Xo

Xo Yo

= ,

,

, ,

,

,

, ,

, ,

Esempio :

f (

2 ( ) )

+42

( in

4) 1,0

✗

0,40

✗

× :

=

=

,

f fy fx fy

( )

( ( 4) (

4) 0

)

ZX 1,0 1,0

2

24

× ×

✗ =

=

= =

, ,

, ,

Ff ( )

( )

0

t zio

=

,

Esempio :

f (

) )

ln

( ( 42 in 2)

1

y

× ✗

= -

,

, ¥

¥ fx

fx 1

(

# 2)

( 1

4)

× =

-

= =

, . , Ff ( 2)

¥ 1)

(

fa fu

2×4<=2-4

( ( -1 1

2) 1

4) 1

× =

- -

=

= - ,

, . ,

,

ESEMPIO :

{ ti 41

se ( )

0,0

=/

f ( ) a

y

× =

, ( 4) )

(

0,0

se ×

o =

, & t

fx )

(010

(

hi

f )

° K

( t

)

0 ( ) (

)

f

0,0 line (

fy

( )

( 0,0

0

-

)

Gyo 0,0

) '

0,0

0

0,0 - e =

=

= =

=

le 0

K → K

Sia f fdiffer.in

R' Dato risulta

(

A che

A b)

A (

qualsiasi

yo )

c- → E

Xo ✓

versare

: una a

un :

= ,

, .

fu

7 la der (

dir

1 yo)

i n ✗

o

. .

. ,

fu Tf

( (

)

2 ) ✓

Xo 40

40

Xo = .

,

. , nor ma

a.

fu Il

GEOMETRICAMENTE =/

( Tf Il 0€ [QTI

) costo

(

I )

40 )

v11

✗ yo

Xo con

: o , ,

Il rapidamente

punto f-

f la

gradiente fornisce direzione più

di quali

nei

e

in verso cresce

un

una .

gradiente la

opposto

Nel al de

massima

avviene

verso crescenza

.

Massimi Minimi RELATIVI

3.7 e relativo

Data CHE punto

nell' )

A Po

aperto )

( la

derivabile A

A R Se ha (

f. f

yo

insieme Xo mix min

→ in e un o

un =

.

, , ,

sufficienti

)

(

allora £

necessariamente sono condizioni

Ho

f

deve ) necessarie

yo 0

yo) 0 ma non

(

essere Xo e

= =

,

, ,

PUNTO precedente

che

/ la

critico soddisfa condizione

STAZIONARIO punto Po )

Xo yo

(

: = .

, D=

intorno 8)

SELLA punti

PUNTO tuo (

( )

punto 40 )

(

Un Xo PO

Po I sono

Di

è per

ci y

un se ×

in

= , ,

, punti f

f

f- (

f-

0,40)

( ( 4) )

40

( cui

4)

cui per Xo

✗ ✗ 7

e

× < i

, ,

Per estremi

punti

determinare i si usa : matrice

MATRICE HESSIANA la simmetrica

A

Ri

f feci

aperto

☒ (A) è

Ac

di insieme

una con

→ :

e

:

, ,

tu fy

) ha

fxy KM essendo

) Schwarz fxy

( fe #

B

IV. (A)

il 4)

(

« A

il t

teorema 4)

✗ di 4)

( E

vi ×

×

per : =

. , ,

,

,

fyx )

( il fyy

✗ ( 4)

× . ) %

¥ ' )

"

" "

"

H

HESSIANO 4)

f- (

( fa f

di ( '

4)

)

( X )

( fxycx )

il )

y ✗

× 4

→

× = -

=

, , ,

, 44

fyx fyy 4)

) (

( it ×

✗ ,

TEOR