Riassunto Analisi 2 - Seconda parte

Derivate direzionali

Non ] derivata lt del3-in direzionevariabili2 pianounicaun' ne unama, rappresentataarbitraria nel (direzioneprendiamo a)dapiano ✓vi.✓versareuna u n,Definizione valori Rinaf ' A 1(R )( )R vaA v1( →C Vesiano n o n n a) coney×y× : == ,,,, ]DIREZIONALE villinilungo finitodefinisce fdiDerivata direzioneSi ( di) se :y× , ,2£ & f( )tuatu ( )✗ 4 y+ ×+line - ,( )y ,✗ =, tav t o→ ÷vettoredato di 1Se viene V=/nun norma = ,Esempio : puntof (lungo () )è nel( 4) y 2,03,4il× = =, TÈ (a- %Hull %)-1-1 Vs== == ,Hullcostruisco limiteil ItèG- tEt ) +It 4KA f EZ( )+ zio linelime .-. == g-t t 0+ →o +→ Etè+ èIt -0èy Oe =.

Derivate parziali

Del Prendiamo 2 puntof- aperto Ddefinita (vuoto ☒ordine DC )primo yoi n ✗ eun: non eun o ,La parzialmente rispettof punto ilfinito variabilederivabile nel lime3-alla (variabileè inyo ) 1✗ ✗ se :o ,¥ & Ale( 40 ) (§ )no✗ ✗line +)( oyo -✗ ☐. ,o =, .lrh o→La parzialmente rispettof punto ilfinito variabilederivabile nel lime7alla (variabileè iny yo ) 1✗ se :o ,& (¥ th ) f )✗ (40 yo✗°fino o,-940) i( ✗ = K¥ 2¥Per indicarle dxffx fy a yf 4)( () (( 4)) × U ×× y ×e: ,, , ,, ,,,Esempio :Derivata puntof ) nelrispetto di (( ))( sin 0,0y✗ ✗× +y×a =, # ( Ah ) ( )che QOtermini =L 0line +ofil lime 0consideriamo fh )( ()( 0,0i hsin)vari 0 ' -ocompongono + = =, , lele o→* )h( line Afinitosin limeI l 7line ( O0,0 )hsin )( ×= - =._lale O le 0→ →^

Insieme

Insieme ( f continuatutte apertoformato definite A sottoinsiemeinsieme leda disu: ,continua2 Aderivate☒ fy A.)((prime )parziali yy e ×e con su✗ × ,,

Funzione classe appartenenza di

Funzione classe appartenenza di di unaDEFINIZIONE "classe continuitàderivabile volteRapertof R di KC A èA è insieme se con→ su inununa: :sull' A.insieme (A)FUNZIONE ciliscia :ci (A) A fcontinuale 1×1 derivabilef ✗( ) èsciupio 0inF- ×sono su non: ==BN derivabilepunti la potràf. f. diesistonof. dei in cui è Kse superiorein essereuna non non. . f

Gradiente

Gradiente di una f ammetteapertof #definita di ☒ derivare (valori Aininsieme prima )i n esu × yaun ,. (f ( #) )Y fy)✗Il )Y(( Yf Xltf X(vettore fxil fain cheè )(di ( () 4) )GRADIENTE )× ( 4y ××y× == (,, ,,, ,, ,

Procedimento per calcolare le derivate parziali

Procedimento parzialiderivateper lecalcolaref f YZ 5×2 64+3×4()( 4) t4× ×= =, ,. ,ti¥costante # ¥3¥-5 ¥-64a) YIConsidero 34=10×1-34[5×2+64+3variabile 02 +y✗ come +✗ +l o ✗y✗+come ✗: == =,b) 2¥ § [ ] +3665×2+64+3 +0 ✗3y + ✗✗ = ==

Continuità differenzia bilità

eEsercizi.1 continuità tàinStudiare funzione fdifferenziabili làdella( E)0,0 →e :. { 411 )fcx costui )Xy )(#4) - 0,0=, lnlltx )" +44 (0 )(4)× 0,0=,continuità :La flaycontinua timfè ( f) /in 0,03=0)0,0 se =( ( )4) → 0,0× ,fe'Quando nulla✗ 4=0 411 limiti) )) 1- cosacostuiline notevoli linee £sexy i-o uso# = =( te) + o( ) )cogli90✗ it →a→ ya+✗ +4=10✗ 112 " )) ( ✗( +44costui ) 2424 243✗1 line ✗line -= =242 (log ( 21×4+4✗ ) )""ix. ) (4) )ltxu +4 4+44( 4) (✗ )0,0 × 0,0→ →,41=0✗ loglltt )line 1=t+ o→Svolgo coordinatelimite applicando le polariil :{ 243✗0 Ecosa✗ =p )"( qu2primo +✗4 = à(O)Èm3(o>p>> (conto) )pssinp 0 =P£=ZLP " ) )paninicos'" )(a) ca÷( 0 (2Pa+243 TÈ O perché✗0 E )(£ ( 4) 0,0→× ,)Zcxutyu 411 )line )costui-lnlltx )"( )4)IX. +440,0→41=0✗ LaQuindi funzione continualimfk.it ')=f( )() in 0,0e0,0(( 4) )0,0× →,

Derivate parziali

Derivate parziali : l'¥ )flat ){ °Alto ¥-10,0Aloi)lim f-¥)( figg-linee 'line =D)0,0 - )"= ===+ to ++→ + o o→ →) )411( 411costo)line01 )cosi0 1- -1line =D °- ==lnlltx ) 4)" lnlltocety" f)+0-30y o→Sono nulle nell' origineDifferenziabile.to : #¥-1010 )( () ( )0,0)Aku Aloi) ) y×DEFINIZIONE tà himDifferenziabiliDi ( , --)in - , =p0,0 : 4)IX. ( )0,0 2+42→ ✗dixit )) ( 1-it() 0,0 ✗O Hill )line line °.-- =p NÉ() )( (0,0)0,0 4)14 (→ →2+42✗ ×✗ , 243( )1 ( )4 cos ✗linee ✗ liney °- 0 == NÈ)(pà(( ,log 4 yu4) a ya( ()010✗ ✗ )e 2 ✗(→ 4) 0,0+ + +✗ →' i •"ÉÌT30 LIPZ #sin0 3cosa P 1E ==a) Otsinao#( (paesino po cosa2"2 +cosaP medeterminiamoNon funzioneunainfinitesima l'che confermi limiteesistenzaci del . )(fche )coseDimostra 4 41-differenziabile ( line)è in °0,0non =/: )( log4) ") "+0,0( ( 4× 2+42→ ✗i t ✗,t »( tcos' #^}{R laline Eraline f differenziabilett.tl 0 -( inè0 )( 0,0# n o n>: == = #are+ +(1+2+4) ☒+t → ☐lno→

Funzione differenziabile

Funzione differenziabile variain 2 Esilef definita R2 differenziabile (aperto ☒ Avuoto )valoriE èAin) i n( insieme Xo yoi n sE sy× sanonun , ., .incrementoformaA flineare le della)L l'h dove(h )f h(( )( è( K2liyot) K KXo )yo 2K ✗ ✗0: + ×++una ++c. o=o =, -... ,incrementomentre l'variabile K èy Yyo× per= -, definizionediinsiemea Rappresenta nello2 0hlrt R2h( spazioln codominio) PER(13 ) pianoK -2aK 2 → KeK u ne= ,, ,, , puntocoefficienti ( )che 40dal Xodipendono ,f (2hth f( ) )( 13KXotk ) U2✗✗ ka40 +t + 0 too =, ,

Come stabilire una f differenziabile

ÈCOME f DIFFERENZIABILESTABILIRE 2 UARAUNACHE .punto continua ((f ammette derivatefdifferenziabile )) f1se ( in Ayo yo' 2è (in) ( )XoXo )c-un y×× eyy × ;,, ,,. .,al ¥3Rtdirezionali ( D=lungo 2direzionein 40 ) ( 0,40)(✗ 0,40V )E ; ✗ ✗o = ,., g. ×

Condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità

Condizione necessaria BIUITÀDIFFERENZIASUFFICIENTECONDIZIONE NECESSARIA PER LAef aperto differenzidefinitaUna A( èsottoinsieme A (R2 i n s) Ein Ssyo E× ) :✗y un o. , . .,, pento7 derivatele nel (parziali1 )prime yoxo. ,-1h fA f) fu( )( ( h40 )40 (+ ✗K 40 )✗ 40Xo Xo K×leur o o,- - 0z -, , , =. ( leh ) ( ) t.KZK 0,0→,sempio := differenzicontinuità seguentiabilitàlatàVogliamo lastudiare la tuttederivabili dellele direzionilungo e,f puntonel ( )0,0È?{ )(4)se 0.0( =/×f ,yz( )y× =, ( )4)( 0,0o ×se =,La continua finorfrestrizione 12perché laf f Efè sulla fvole2 (( 2)2) dunque 0)✗y ✗ (✗non × 0,0#×e: == ==,,flatControlliamo f ()2¥ 'diventabt %) bt0,0 d'chelineeimpostando lineedirele (der ( ))in-2 0,0 -0,0 ,: ==. ,. t beta tut ano→ t o +→fGf A( (0,01)tiè finorPer 0lungo )b (der ✓0 dire O1,0-2 -:= = = =. . tla f tutteammette le (der dire )0,0in-2. .L' fN punto continuitàtutte derivateB direzionalile laesistenza generaleimplicadidi inin una nonun. . punto !fdellaabilità taledifferenzila ineGeometricamente punto puntopassantef differenziabile il7 il tang inè in se perpianouna un linearmenteapprossimareintorno possibiledel èqualeunEsempio : fxf associate fy&le( alla2 der (42 (prime )sono✗ 4)+ 24e ×) 2xy y×× = == ,, ,., puntoTonyCortesL' fxnel f( fèdel () () 1)(1,1 1)piano 2- 1) ( 1)0 (00 0-0 ++eeq y×= × -, ,,,. .1+242- -2=24-1-2=

Gradiente definizione di

Gradiente definizione DI9.Ff fu )(( 0,40) ()(✗ fx 0,40)40 ✗Xo= , ,Ff fy( fx )) ( )( Xo fzZo ((Zo -20)-2040 )Yo YoXoXoXo Yo= ,,, ,,,, ,, ,Esempio :f (2 ( ) )+42( in4) 1,0✗0,40✗× :==,f fy fx fy( )( ( 4) (4) 0)ZX 1,0 1,0224× ×✗ === =, ,, ,Ff ( )( )0t zio=,Esempio :f () )ln( ( 42 in 2)1y× ✗= -,, ¥¥ fxfx 1(# 2)( 14)× =-= =, . , Ff ( 2)¥ 1)(fa fu2×4<=2-4( ( -1 12) 14) 1× =- -== - ,, . ,,ESEMPIO :{ ti 41se ( )0,0=/f ( ) ay× =, ( 4) )(0,0se ×o =, & tfx )(010(hif )° K( t)0 ( ) ()f0,0 line (fy( )( 0,00-)Gyo 0,0) '0,000,0 - e === ==le 0K → KSia f fdiffer.inR' Dato risulta(A cheA b)A (qualsiasiyo )c- → EXo ✓versare: una aun := ,, .fu7 la der (dir1 yo)i n ✗o. .. ,fu Tf( ()2 ) ✓Xo 4040Xo = .,. , nor maa.fu IlGEOMETRICAMENTE =/( Tf Il 0€ [QTI) costo(I )40 )v11✗ yoXo con: o , ,Il rapidamentepunto f-f lagradiente fornisce direzione piùdi qualineiein verso cresceununa .gradiente laoppostoNel al demassimaavvieneverso crescenza.

Massimi minimi relativi

Massimi minimi RELATIVI3.7 e relativoData CHE puntonell' )A Poaperto )( laderivabile AA R Se ha (f. fyoinsieme Xo mix min→ in e un oun =., , ,sufficienti)(allora £necessariamente sono condizioniHofdeve ) necessarieyo 0yo) 0 ma non(essere Xo e= =,, ,PUNTO precedenteche/ lacritico soddisfa condizioneSTAZIONARIO punto Po )Xo yo(: = ., D=intorno 8)SELLA puntiPUNTO tuo (( )punto 40 )(Un Xo POPo I sonoDiè perci yun se ×in= , ,, punti fff- (f-0,40)( ( 4) )40( cui4)cui per Xo✗ ✗ 7e× < i, ,Per estremipuntideterminare i si usa : matriceMATRICE HESSIANA la simmetricaARif feciaperto☒ (A) èAcdi insiemeuna con→ :e:, ,tu fy) hafxy KM essendo) Schwarz fxy( fe #BIV. (A)il 4)(« Ail tteorema 4)✗ di 4)( Evi ××per : =. , ,,,fyx )( il fyy✗ ( 4)× . ) %¥ ' )"" ""HHESSIANO 4)f- (( fa fdi ( '4))( X )( fxycx )il )y ✗× 4→× = -=, , ,, 44fyx fyy 4)) (( it ×✗ ,TEOREMA