Riassunto esame Analisi matematica 2, quarta parte, prof. Zamboni

Teoria dell'integrazione

Definizione: Intervallo di R^m

Dati a_i < b_i i = 1, ..., m intervalli di R chiamiamo intervallo di R^m il prodotto cartesiano Q = [a₁,b₁] × ... × [a_m,b_m]. Ad ogni Q possiamo associare una misura, cioè |Q| = (b₁-a₁) ... (b_m-a_m) cioè la misura è finita e positiva.

Misura dei Plurintervalli R^m

Sia R = ∪_i=1ⁿ Q_i : Q_i ∩ Q_i+1 = ∅ cioè non hanno punti interni in comune i rettangoli non si devono sovrapporre e |R| = ∑_i=1ⁿ |Q_i|. Quindi la misura dipende dalla decomposizione di R in altri intervalli.

Misura Numeri Aperti limitati e non vuoti.

Sia A aperto, limitato e ≠ ∅, consideriamo il R ⊂ A e il |R| cioè { |R|, R ⊂ A }. A non vuoto ⇒ ∃x₀ ∈ A A è aperto ⇒ ∃r_x(x₀) ⊂ A

A è limitato ⇒ ∀Q ⊃ A ⇒ R ⊂ Q ⇒ |R| ≤ |Q|, |Q| è l'ugualmente quindi viene sup finito. Chiameremo misura di A = |A| = = sup { |R|, R ⊂ A }, 0 ≤ |A| < +∞.

Minima Intermi: Compatti

Sia R >= C consideriamo {|R|, R >= C}.

d'_inf dei punti eappartiene e lo minimo del C, cioè |C| = inf {|R|, R >= C} .

Esempio:

Calcolare ∅, un compatto e dimostrare ∅= 0.

Vuol dire inf {|R|=0} => cioè |∅| soddisfa le proprietà elementari.

1. |R| > 0 => verifcato
2. Ɐ E >0 Ǝ RE ( RE<E => ⇒ [ -^M/₂ ; ^M/₂ ] = ( ^√E/₂ ) = ^E/₂ < E )

Criterio da Minoreabilità ₁

Consideriamo ⊂ ℝ^m finito, E≠∅

E≠∅ = limitato ⇒ E ⊆ A

E ≠ non vuoto ⇒ C ⊆ E

Vinta questa condizione e poniamo condizion in { |A| A >= E } e sup {|E|⟨ ; ⊆ C ⊆ E_j}, "un'inusuale punte": e chiaro |E* = inf è la minore esterna di E, e |E|_x= sup minore esterna di Ee vuol dire |E|_x ≤ |E|*. Possiamo affermare che E⁺ minorese |E|* = |E|^*. Si verifica |E|* < |E|*, l'inverso non èminore secondo di bisogno.

Proprietà delle funzioni numerabili

Siano f,g : E ⊆ ℝ, f,E → ℝ. f(x) = g(x) quasi ovunque in E, allora (f = g) = {x ∈ E | f(x) = g(x)}, dove |Eφ| = 0.

Allora se g è numerabile, f è numerabile.

N.B. Motivo per cui D(x) è numerabile!

Definizione

Sia E ⊆ ℝ^m numerabile, E,E',L , f : E → ℝ, f ≥ 0, chiuso chero

nell'acquaface L(f, E) := {(x, y) ∈ ℝ^m+1 : x ∈ E , 0 ≤ y ≤ f(x)}

f è numerabile ⟺ Γ(f,E) è numerabile in ℝ^m+1

L'insieme delle funzioni numerabili si indica con M_E

Integrazione secondo Lebesgue

Sia E ⊆ ℝ^m numerabile, |E| <+∞ sei e suma finata.

Sia f : E → ℝ, f ∈ M_E, limitato ⇒ sup _E f, down_E ∈ ℝ,

Conveniamo _E small f = E ⟶ sup _E nono quella forrottella

[a, b];

Significato geometrico.

Sia E ⊆ R^m ℓ ⊆ ℓ |ℓ| < ∞, sia f: E → ℝ, f ∈ M, limitata e f ≥ 0.

Definizione:

Trascinamenti ⇒ Γ^-1(f, E) = {(x, y) ∈ ℝ^(m+1) | x ∈ E e 0 ≤ y ≤ f(x)}Allora f(x) dx = |Γ(f, E)|

Ora possiamo chiedere a qualcuno se l'integrale di funzioni è univoco qualunquefunzioni siano minimanti:

1. 1^o Poniamo,

Se E ⊆ ℝ^m e ℓ ⊂ ℓ |ℓ| < ∞ e f: E → ℝ, f ∈ M, f ≥ 0

Consideriamo la traiettoria di f al limite K, posto K ∈ ℕ, la traiettoriadif^{k}(f G -K) delle leggi {f^{k}(x) = f(x) se f(x) ≤ K K se f(x) > K

Ora f^{k} è limitato, e M perché f